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2017-2018学年高中数学 第三章 三角恒等变换 第27课时 两角和与差的正切 新人教B版必修4

第27课时 两角和与差的正切

1 说基础·名师导读

知识点 两角和与差的正切公式

名称

公式

符号简 记

使用条件

两角和的 正切

tan(α+β)=1t-anαta+nαttaannββ

T(α+β)

α,β,α+β≠kπ+π2 (k∈Z)

两角差的 正切

tan(α-β)=1t+anαta-nαttaannββ

T(α-β)

α,β,α-β≠kπ+π2 (k∈Z)

讲重点 公式 T(α±β)的结构特征和符号规律 (1)公式 T (α+β)的右侧为分式形式,其中分子为 tanα 和 tanβ 的和或差,分母为 1 与 tanαtanβ 的差或和.

2 说方法·分类探究 类型一 给角求值问题 【例 1】 求值: (1)1+3-3ttaann1155°°; (2)tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°.

解析:(1)原式=1t+an6ta0n°6-0°ttaann1155°° =tan(60°-15°)=tan45°=1. (2)∵tan(20°+40°)=1t-an2ta0n°2+0°ttaann4400°° ∴ tan20°+ tan40°= tan60°(1 - tan20°tan40°) = 3 - 3 tan20°tan40°. ∴原式= 3- 3tan20°tan40°+ 3tan20°tan40°= 3.

点评
在应用公式 T(α±β)时应注意以下几点: (1)公式的逆运用

一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换如

π tan4

=1,tanπ6= 33,tanπ3= 3等.

特别要注意 tan????π4+α????=11-+ttaannαα, tan????π4-α????=11+-ttaannαα (2)公式的变形运用 只要见到 tanα±tanβ,tanαtanβ 时,就要有灵活应用公式 T(α±β) 的意识,从而不难获得解题思路.

变式训练 1 求下列各式的值: (1)tan1π2; (2)11+ -ttaann1155°°; (3)(1+tan1°)(1+tan2°)…(1+tan44°).

解析:(1)tan1π2=tan????π4-π6????

=1t+antπ4a-nπ4t·atann6ππ6=11-+

3 33=2- 3

3.

(2)原式=1t-an4ta5n°4+5°ttaann1155°°=tan(45°+15°)=tan60°= 3. (3)(1+tan1°)·(1+tan44°)=1+(tan1°+tan44°)+tan1°·tan44° =1+tan(1°+44°)(1-tan1°·tan44°)+tan1°·tan44° =1+tan45°(1-tan1°·tan44°)+tan1°·tan44° =1+(1-tan1°·tan44°)+tan1°·tan44°=2. 同理(1+tan2°)·(1+tan43°)=2,…,∴原式=222.

类型二给值求值问题 【例 2】 已知 α 为锐角,cosα=35,tan(α-β)=31,求 tanα, tanβ,tan????β+π4????的值.

解析:∵cosα=35,且 α 为锐角,

∴sinα= 1-cos2α= ∴tanα=csoinsαα=43.

1-????53????2=54,

于是 tanβ=tan[α-(α-β)]=1t+anαta-nαttaann??αα--ββ??=143+-4313·31=193. tan????β+π4????=1t-anβta+nβttaann4ππ4=1-1931+ 93×1 1=121.

点评 在求两角和与差的正切时,若已知的是 α,β 的正、余弦的 值,此时求 α±β 的正切的方法有两种;①是先求 α±β 的正、余弦 而后应用商数关系;②是先求 tanα,tanβ,而后应用 α±β 的正切 公式,若已知的是 α,β 的正切,则直接应用正切公式求解即可.

变式训练 2 已知 tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求 tan2α, tan2β,tan????2α+π4????.

解析:tan2α=tan[(α+β)+(α-β)] =1t-an?taαn+?αβ+?+β?ttaann??αα--ββ??=1-5+5×3 3=-47, tan2β=tan[(α+β)-(α-β)]=1t+an?taαn+?αβ+?-β?ttaann??αα--ββ?? =1+5-5×3 3=18, tan????2α+π4????=1t-an2taαn+2αttaannπ4π4=1--????-47+47????1×1=131.

类型三 给值求角问题
【例 3】 已知 tanα=17,tanβ= 1100,且 α,β 为锐角,求 α +2β 的值.

解析:∵tanα=17<1 且 α 为锐角,∴0<α<π4. 又∵sinβ= 1100< 1500= 22且 β 为锐角. ∴0<β<π4,∴0<α+2β<34π.① 由 sinβ= 1100,β 为锐角,得 cosβ=31010,∴tanβ=13.

∴tan(α+β)=1t-anαta+nαttaannββ=1-17+17×13 13=12. ∴tan(α+2β)=1t-an?taαn+?αβ+?+β?ttaannββ=1-12+12×13 13=1.② 由①②可得 α+2β=π4.

点评 已知三角函数值求角,选择函数时,可按下列原则进行:
(1)已知正切函数值,选择正切函数; (2)已知正、余弦函数值,选择正弦函数或余弦函数;
(3)若角的范围是????0,π2????,可选择正弦函数,也可选择余弦函 数;
(4)若角的范围是????-π2,2π????,选择正弦函数比余弦函数更好; (5)若角的范围是(0,π),选择余弦函数比正弦函数更好.总 之,尽量选择在区间上单调的函数.

变式训练 3 已知 tan(α-β)=12,tanβ=-17,α,β∈(0,π), 求 2α-β.
解析:tanα=tan[(α-β)+β] =1t-an?taαn-?αβ-?+β?ttaannββ=1-1212×-????17-17????=13.


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