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11章1节课时活页训练

1.(2010 年福州市高中质量检查)在△ABC 中,a,b,c 是角 A, bsinB B,C 的对边,若 a,b,c 成等比数列,A=60° ,则 c =________. bsinA 解析:由题意知 b2=ac(*),由正弦定理可得 sinB= a 代入得 bsinB b2sinA bsinB 3 = ,又由 (*) 式可知结果是 = sin A = sin60° = c ac c 2. 3 答案: 2 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且( 3b -c)· cosA=acosC,则 cosA 的值等于________. 解 析 : ( 3 b - c)· cosA = a· cosC , 由 正 弦 定 理 得 3sinBcosA = 3 sinCcosA+cosCsinA? 3sinBcosA=sin(C+A)=sinB,即 cosA= 3 . 3 答案: 3 3.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,若 ccosB 2 =bcosC,且 cosA=3,则 sinB 等于________. b cosB sinB 解析: 由 ccosB=bcosC 可得c=cosC, 联系到正弦定理, 即得sinC cosB =cosC,化简得 sinBcosC-cosBsinC=0,即 sin(B-C)=0,可见 B π-A 1+cosA A 30 =C,所以 sinB=sin 2 =cos 2 = = 2 6 . 30 答案: 6 4.已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的 大小为________. 1 3 解析:由 S△ABC=2BC· CA· sin∠ACB=3 3,得 sin∠ACB= 2 , π 而△ABC 为锐角三角形,所以∠ACB=3. π 答案:3

AC 5. (2009 年高考湖南卷)在锐角△ABC 中, BC=1, B=2A, 则cosA 的值等于________,AC 的取值范围为________. BC AC 解析:由正弦定理:sinA=sinB, BC AC AC AC ∴sinA=sin2A=2sinAcosA,∴cosA=2BC=2. ∵A+B+C=π,∴3A+C=π,C=π-3A,

?0<A<2, ? π ∴?0<2A<2, ?0<π-3A<π, ? 2
π π ∴6<A<4, 2 3 ∴ 2 <cosA< 2 ,又 AC=2cosA, ∴ 2<AC< 3. 答案:2 ( 2, 3) 6.在△ABC 中,A=60° ,b=1,面积为 3,则 等于____________. 1 解析:∵S△ABC=2bcsinA, ∴c=4,a2=b2+c2-2bccosA=13, a+b+c a 2 39 ∴ =sinA= 3 . sinA+sinB+sinC 2 39 答案: 3 1 7.在△ABC 中,A、B、C 的对应边分别是 a、b、c 且 sinB=2, 3 sinC= 2 ,则 a∶b∶c=____________. 解析:若 B、C 均为锐角,则 B=30° ,C=60° , ∴A=90° , 则 a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC =sin90° ∶sin30° ∶sin60° a+b+c sinA+sinB+sinC

π

1 3 =1∶2∶ 2 =2∶1∶ 3. 若 B 为锐角,C 为钝角,则 B=30° ,C=120° , ∴A=30° ,则 a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC =sin30° ∶sin30° ∶sin120° 1 1 3 =2∶2∶ 2 =1∶1∶ 3. 答案:2∶1∶ 3或 1∶1∶ 3 A 8.已知△ABC 的面积 S=(b+c)2-a2,则 tan 2 的值为________. 解析:对余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA 配方得 a2= (b+c)2- 2bc(1+cosA). ∴(b+c)2-a2=2bc(1+cosA).代入 S=(b+c)2-a2 得:S=2bc(1 +cosA). 1 1 而 S=2bcsinA, 则有2bcsinA=2bc(1+cosA), 即 sinA=4(1+cosA). A A A ∴sin 2 cos 2 =4cos2 2 . A A A 由 0° <A<180° ,0° < 2 <90° 知 cos 2 ≠0.故 tan 2 =4. 答案:4 9.在△ABC 中,若 cos(2B+C)+2sinAsinB<0,则 cosA 与 cosC 的大小关系为________. 解析:cos(2B+C)+2sinAsinB<0,cos(π-A+B)+2sinAsinB<0, cos(π - A)cosB - sin(π - A)sinB + 2sinAsinB<0 , - cosAcosB + π sinAsinB<0,∴cos(A+B)>0,∴0<A+B<2,∴A,B 都是锐角,C 是 钝角. 答案:cosA>cosC π 1 10.(2009 年高考安徽卷)在△ABC 中,C-A=2,sinB=3. (1)求 sinA 的值; (2)设 AC= 6,求△ABC 的面积. π 解:(1)由 C-A=2和 A+B+C=π, π π 得 2A=2-B,0<A<4. 1 故 cos2A=sinB,即 1-2sin2A=3,

3 sinA= 3 . 6 (2)由(1)得 cosA= 3 . BC AC 又由正弦定理,得sinA=sinB, sinA BC=sinB· AC=3 2, 1 1 所以 S△ABC=2AC· BC· sinC=2AC· BC· cosA=3 2. 11.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,且 20 atanB= 3 ,bsinA=4. (1)求 cosB 和边长 a; (2)若△ABC 的面积 S=10,求 cos4C 的值. 20 解:(1)由 bsinA=4 得 asinB=4,由 atanB= 3 与 asinB=4 两式 相除, 3 有 cosB=5>0, 20 又通过 atanB= 3 知 tanB>0, 3 4 4 则 cosB=5,sinB=5,tanB=3,则 a=5. 1 (2)由 S=2acsinB 得 c=5,∴A=C. 3 ∴cos4C=2cos22C-1=2cos2(A+ C)-1=2cos2B-1=2×(5)2- 7 1=-25. 12.在斜三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 2 b -a2-c2 cos(A+C) 且 = sinAcosA . ac (1)求角 A; sinB (2)若cosC> 2,求角 C 的取值范围. b2-a2-c2 解:(1)∵ =-2cosB, ac cos(A+C) 2cos(A+C) 2cosB 且 sinAcosA = sin2A =- sin2A ,

-2cosB ∴-2cosB= sin2A , 而△ABC 为斜三角形, ∴cosB≠0,∴sin2A=1. π π ∵A∈(0,π),∴2A=2,A=4. 3π sin( 4 -C) 3π sinB (2)∵B+C= 4 ,∴cosC= cosC 3π 3π sin 4 cosC-cos 4 sinC 2 2 = = + cosC 2 2 tanC> 2, 3π 即 tanC>1.∵0<C< 4 , π π ∴4<C<2.


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