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2012浙江高校第二次


绝密★启用前

浙江省名校新高考研究联盟 2012 届第二次联考

数学(理科)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
开始

1 . 设 全 集 U ? R , 集 合 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 2x ? 3 ? 0} , 则
2

S ? 0, n ? 2, k ? 1

(CU A) ? B ?

(

)


A. {x | ?3 ? x ? 0} C. {x | 0 ? x ? 1}

B. {x | ?1 ? x ? 0}


D. {x | 0 ? x ? 3}

S?S?

z 2 .已知复数 z1 ? m ? 2i , z 2 ? 2 ? i ,若 1 为实数,则实数 m 的值为 z2

1 n

输出S
结束

n?n?2 k ? k ?1
(第 3 题)

(

) A. 1

B. ?1 C. 4 D. ?4 1 1 1 1 1 3.右图是计算 ? ? ? ? 值的一个程序框图,其中判断框内应填 2 4 6 8 10 入的条件是 A. k ? 5 ? C. k ? 10 ? ( ) B. k ? 5 ? D. k ? 10 ? ( )

1 4.在 ( x 2 ? ) 5 的展开式中 x 的系数为 x
A. 5 C. 20 B. 10 D. 40

5 . 数 列 {an } 前 n 项 和 为 S n , 则 “ a2 ? 0 ” 是 “ 数 列 {S n } 为 递 增 数 列 ” 的 ( ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ( )

A. 充分不必要条件 C. 充要条件 6.下列命题中错误的是 ..

A. 如果平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? ? l ,那么 l ? ? B. 如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? C. 如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? D. 如果平面 ? ? 平面 ? ,过 ? 内任意一点作交线的垂线,那么此垂线必垂直于 ? 7.已知 F1 , F2 分别是双曲线
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 与双曲线的一

条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点 M,若 ?F1 MF2 为锐角,则双曲线离心率的取

值范围是 (

)

A. (1, 2 ) B. ( 2 , ? ?) C. (1, 2) D. (2, ? ? ) 8. 从集合 {1, 2, 3, ?, 10} 中任取 5 个数组成集合 A, A 中任意两个元素之和不等于 11 的概 则 率为 A. (
1 945 )

B.

4 63

C.

8 63

D.

16 63

1 ? ? x ? , ( x ? 0) x 9.已知函数 f ( x) ? ? ,则函数 F ( x) ? f (2x 2 ? x) ? a ( a ? 2 )的零点个数不 . ? x 3 ? 3, ( x ? 0) ?

可能为 .. A. 3 ( )

B. 4

C. 5

D. 6

10 . 在 ?A B C 中 , 已 知 AB ? 4 , cos B ? ( ) A.
3 6 8

34 7 , AC 边 上 的 中 线 BD ? , 则 s i nA ? 2 8 10 8 10 6

B.

6 6

C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本题共 7 道小题,每题 4 分,共 28 分;将答案直接答在答题卷上指定的位置) 11.已知 f (x) 为奇函数,且当 x ? 0 时 f ( x) ? log2 x ,则 f ( ?4) ? ▲ .

12.已知直线 y ? x ? b 交圆 x 2 ? y 2 ? 1 于 A、B 两点,且 ?AOB ? 60o (O 为原点) ,则实数
b 的值为
[来源:Zxxk.Com]

▲ . 13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
? x? y ?2 ? 14.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,则 z ?| 2 x ? y | 的最大值是 ?? 1 ? x ? 2 ?




1

1 1

▲ .

正视图

侧视图

15.将 3 个小球随机地放入 3 个盒子中,记放有 小球的盒子个数为 X,则 X 的均值 E ( X ) ? ▲ . 16.非零向量 a , b 夹角为 60 0 ,且 | a ? b |? 1 ,则 | a ? b | 的取值范围 为 ▲ .

1

俯视图 (第 13 题)

17.已知 P 为抛物线 C: y 2 ? 4 x 上的一点,F 为抛物线 C 的焦点,其准线与 x 轴交于点 N , 直线 NP 与抛物线交于另一点 Q ,且 PF ? 3 QF ,则点 P 坐标为 ▲ .

三、解答题:(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤.) 18. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( x ?R, A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ?

?
2

)图
5 , 2

| 象如图, 是图象的最高点, 为图象与 x 轴的交点, 为原点. | OQ |? 2 , OP |? P Q O 且

13 . 2 (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式; | PQ |?

(Ⅱ)将函数 y ? f (x) 图象向右平移 1 个单位后得到函 数 y ? g (x) 的 图 象 , 当 x ? [0, 2] 时 , 求 函 数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值.

y P

O

Q
(第 18 题)

x

19. (本题满分 14 分)数列 {an } 是公比为 数,且 ? ? 1) .

1 的等比数列,且 1 ? a2 是 a1 与 1 ? a3 的等比中项, 2 前 n 项和为 S n .数列 {bn } 是等差数列, b1 ? 8 ,前 n 项和 Tn 满足 Tn ? n? ? bn?1 (? 为常

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式及 ? 的值; 1 1 1 1 ??? (Ⅱ)比较 ? 与 Sn 的大小. T1 T2 Tn 2

? 20. (本题满分 14 分) 如图, 四边形 ABCD 中, BCD 为正三角形,AD ? AB ? 2 ,BD ? 2 3 ,

AC 与 BD 交于 O 点.将 ?ACD 沿边 AC 折起,使 D 点至 P 点,已知 PO 与平面 ABCD 所成的角为 ? , P 点在平面 ABCD 内的射影落在 ?ACD 且 P 内. (Ⅰ)求证: AC ? 平面 PBD; (Ⅱ)若已知二面角 A ? PB ? D 的余弦值为 大小.
21 ,求 ? 的 7
C

D A

O
(第 20 题)

B

x2 y2 21. 本题满分 15 分) ( 如图, 分别过椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b 左右焦点 F1 、 F2 的动直线 l1、l2 相交于 P 点,与椭圆 E 分别 交于 A、B 与 C、D 不同四点,直线 OA、OB、OC、OD 的斜 率 k 1 、 k 2 、 k 3 、 k 4 满足 k1 ? k 2 ? k 3 ? k 4 .已知当 l1 与 x 轴
F1

y

l2 C

A

l1

P
O

F2

x

B

D
(第 21 题)

重合时, | AB |? 2 3 , | CD |?

4 3 . 3

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)是否存在定点 M、N,使得 | PM | ? | PN | 为定值.若存在,求出 M、N 点坐标,若 不存在,说明理由.

22. (本题满分 15 分)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

a ? ln x ? a , x ?[1, e 2 ] . x (Ⅰ)当 a ? 3 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (3, f (3)) 处的切线方程;
(Ⅱ)若 f ( x) ?

3 恒成立,求实数 a 的取值 2

浙江省名校新高考研究联盟 2012 届第二次联考 数学(理科)试题 参考答案
1-5::B D A B B 11.-2; 15. 6--10: D D C A C 12. ?
6 ; 2

1 13. ; 3
17. (3, ? 2 3) .

14.5;

19 ; 9

16. (1, 3] ;

18.解(Ⅰ)由余弦定理得 cos ?POQ ? ∴ sin ?POQ ? ∴ A ?1,
2 5

| OP | 2 ? | OQ | 2 ? | PQ | 2 2 | OP || OQ |

?

1 5

, 分) (2

1 ,得 P 点坐标为 ( , 1) . (3 分) 2

2?

1 ? ? 由 f ( ) ? sin( ? ? ) ? 1 , 0 ? ? ? 得 ? ? . 2 6 2 3
∴ y ? f (x) 的解析式为 f ( x) ? sin( x ? ) . 分) (7 3 3 (Ⅱ) g ( x) ? sin

? ?

1 ? (5 ? 4(2 ? ) ? 6 , ? ? . 分) 2 3

?

?

?
3

(9 x , 分)

? ? ? 1 ? 3 ? ? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? sin( x ? ) sin x ? sin 2 x ? sin x cos x 3 3 3 2 3 2 3 3
? 1 ? cos 2? x 3 ? 3 sin 2? x ? 1 sin(2? x ? ? ) ? 1 . (12 分) 4 4 3 2 3 6 4

当 x ? [0, 2] 时,

2? ? ? 7? x ? ? [? , ], 3 6 6 6

∴ 当

2? ? ? 3 (14 分) x ? ? ,即 x ? 1 时 hmax ( x) ? . 3 6 2 4 1 1 a1 ) 2 ? a1 ( a1 ? 1) (2 分) 2 4

19.解(Ⅰ)由题意 (1 ? a2 ) 2 ? a1 (a3 ? 1) ,即 (1 ? 解得 a1 ?

1 1 ,∴ a n ? ( ) n (4 分) 2 2

?T ? ?b2 ?8 ? ? (8 ? d ) 又? 1 ,即 ? (6 分) ?16 ? d ? 2? (8 ? 2d ) ?T2 ? 2?b3

1 ? ?? ? 解得 ? 2 ?d ? 8 ?

?? ? 1 1 或? (舍)∴ ? ? (8 分) 2 ?d ? 0

1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 S n ? 1 ? ( ) n 2 1 1 1 1 S n ? ? ( ) n?1 ? ①(10 分) 2 2 2 4 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 又 Tn ? 4n 2 ? 4n , Tn 4n(n ? 1) 4 n n ? 1
∴ ∴
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ) ? ②(13 分) T1 T2 Tn 4 2 2 3 n n ?1 4 n ?1 4
1 1 1 1 ? ??? ? S n (14 分) T1 T2 Tn 2

由①②可知

20.解:(Ⅰ)易知 O 为 BD 的中点,则 AC ? BD ,又 AC ? PO , 又 BD ? PO ? O , BD, PO ? 平面 PBD , 所以 AC ? 平面 PBD (5 分) (Ⅱ)方法一:以 OB 为 x 轴, OC 为 y 轴,过 O 垂直于 平面 ABC 向上的直线为 z 轴建立如图所示空间 直角坐标系,则 A(0, ?1, 0) , B( 3,0,0)

P

z
C
y

? 易知平面 PBD 的法向量为 j ? (0,1,0)

P(? 3 cos θ,0, 3sin θ)

(7 分) (8 分)
B

??? ? ??? ? D AB ? ( 3,1,0) , AP ? (? 3 cos θ,1, 3sin θ) ? 设平面 ABP 的法向量为 n ? ( x, y, z) ? ??? ? ? ??? ? ? ? n ? AB n ? AB ? 3x ? y ? 0 ? ? 则由 ? ? ??? 得, ? ? ??? ? ? ? n ? AP ?n ? AP ? ? 3 cos θx ? y ? 3 sin θz=0 ? ?

O

x

A
(第 20 题)

? y ? ? 3x ? cos θ ? 1 ? 解得, ? cos θ+1 ,令 x ? 1 ,则 n ? (1, ? 3, sin θ ) (11 分) x ?z ? sin θ ? ? ? ? ? | n? j | 3 21 则 | cos ? n, j ?|? ? ? ? ? 2 7 | n || j | (cos θ+1) 4? sin 2 θ π 1 (cos θ+1) 2 ( = ? 3 ,即 3 sin θ ? cos θ=1,即 sin θ ? ) , 解得, 2 6 2 sin θ

( 又 θ ? 0, ) ,∴ θ=
故 θ=

π 2

π 3

π .(14 分) 3
C

方法二: P 作 OE ? PB ,连接 AE , 由(Ⅰ)知 AO ? 平面 PBD ,又 PB ? 平面 PBD , ∴ AO ? PB ,又 AO ? OE ? O , AO, OE ? 平面 AOE , ∴ PB ? 平面 AOE ,又 AE ? 平面 AOE , ∴ PB ? AE , D F ∴ ?AEO 即为二面角 A ? PB ? D 的平面角 (8 分) A 作 PF ? OD 于 F ,由 AC ? 平面 PBD 及 PF ? 平面 PBD 知,

E

O

B

AC ? PF

(第 20 题)

又 OD ? AC ? O , OD, AC ? 平面 ABCD ,所以 PF ? 平面 ABCD 所以 ?POF 即为直线 PO 与平面 ABCD 所成的角,即 ?POF ? θ (10 分) θ ?π θ? 在 Rt ?AOE 中, AO ? 1, OE ? 3 cos ? ? ? ? 3 sin , 2 2? 2 ? 由 cos ?AEO =

21 AO 1 2 3 知, tan ?AEO ? , ? ? θ OE 3 7 3 sin
2

π π π θ 1 ( ,所以 θ= ,故 θ= .(14 分) ? ,又 θ ? 0, ) 2 2 3 3 2 21.解(Ⅰ)当 l1 与 x 轴重合时, k1 ? k 2 ? k 3 ? k 4 ? 0 ,即 k 3 ? ?k 4 , 分) (2
则 sin
2b 2 4 3 ? , 分) (4 a 3 x2 y2 ? ? 1 . 分) 得a ? 3 ,b ? 2 , ∴ 椭圆 E 的方程为 (6 3 2 (Ⅱ)焦点 F1 、 F2 坐标分别为(-1, 0)、(1, 0).

∴ l2 垂直于 x 轴,得 | AB |? 2a ? 2 3 , | CD |?

当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,P 点坐标为(-1, 0)或(1, 0). 当直线 l1、l2 斜率存在时,设斜率分别为 m1 , m 2 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,
? x2 y2 ? ?1 ? 由? 3 得 2 ? y ? m ( x ? 1) 1 ?
2 2 2 (2 ? 3m1 ) x 2 ? 6m1 x ? 3m1 ? 6 ? 0 ,

∴ x1 ? x 2 ? ?

. 分) (8 2 2 2 ? 3m1 2 ? 3m1 y y x ? 1 x2 ? 1 x ? x2 k1 ? k 2 ? 1 ? 2 ? m1 ( 1 ? ) ? m1 (2 ? 1 ) x1 x 2 x1 x2 x1 x 2
? m1 (2 ?
2 2m1 2 m1

2 6m1

, x1 x 2 ? ?

2 3m1 ? 6

2 ?2 m1 ? 2 ?4 m 同理 k 3 ? k 4 ? 2 2 . m2 ? 2

)?

? 4m1

, (10 分)

∵ k1 ? k 2 ? k 3 ? k 4 , ∴

?4m1
2 m1

?2

?

?4m 2
2 m2 ? 2

,即 (m1m2 ? 2)(m2 ? m1 ) ? 0 .

由题意知 m1 ? m2 , ∴ m1 m2 ? 2 ? 0 . (12 分)

y2 y y ? x 2 ? 1 ( x ? ?1) , (14 分) ? ? 2 ? 0 ,即 2 x ?1 x ?1 由当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,P 点坐标为( -1, 0)或(1, 0)也满足, y2 ? x 2 ? 1 上, ∴ P( x, y ) 点椭圆 2

设 P( x, y ) ,则

∴ 存在点 M、N 其坐标分别为(0 , -1)、(0, 1),使得 | PM | ? | PN | 为定值 2 2 . (15 分) 3 22.解: (Ⅰ)当 a ? 3 时, f ( x) ? ? 3 ? ln x , 分) (2 x 3 1 2 (4 ? f ' ( x) ? ? 2 ? , f ' (3) ? ? , 分) 3 x x 又 f (3) ? 4 ? ln 3 ,? 曲线 y ? f (x) 在点 (3, f (3)) 处的切线方程为: 2 2 (6 y ? (4 ? ln 3) ? ? ( x ? 3) ,即: y ? ? x ? 6 ? ln 3 . 分) 3 3 (Ⅱ)由 x ?[1, e 2 ] 得 ln x ? [0,2] ①当 a ? 2 时 a 1 a f ( x) ? ? a ? ln x , f ?( x) ? ? 2 ? ? 0 ,∴ f (x) 在 [1, e 2 ] 上递减, x x x 3 3 ∴ f ( x) max ? f (1) ? 2a ? ,∴ a ? ,此时 a 不存在; 8 分) ( 2 4 ②当 0 ? a ? 2 时 a 若 1 ? x ? e a 时, f ( x) ? ? a ? ln x 由①得 f (x) 在 [1, e a ] 上递减, x 3 3 3 ∴? f ( x) max ? f (1) ? 2a ? ,? a ? ,此时 0 ? a ? (9 分) 2 4 4 a a 1 a 2 若 e ? x ? e 时 f ( x) ? ? ln x ? a,? f ?( x) ? ? 2 ? x x x ?( x) ? 0 得 x ? a ,又 g ( x) ? e x ? x 在 (0,2) 递增,故 e x ? x ? g (0) ? 1 令f ∴ a ? e a ,当 e a ? x ? e 2 时 f ?( x) ? 0 ,∴ f (x) 在 e a , e 2 递增, (12 分) a 3 ∴ f ( x) max ? f (e 2 ) ? 2 ? 2 ? a ? 2 e 2 2 e e e2 a? ? 2 ,∴ ?a?2, , (13 分) 2(e 2 ? 1) 2(e 2 ? 1) 2(e 2 ? 1) 又
e2 2(e 2 ? 1) ? 1 1 3 e2 3 ? ? , ∴ ?a? 2 2 2 2(e ? 1) 4 4 2(e ? 1)
[来源:学科网 ZXXK]

?

?

? e2 3? 综上知,实数 a 的取值范围 ? 2 , ? (15 分) ? 2(e ? 1) 4 ? ? ?


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