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白塔区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

白塔区二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 在数列{an}中,a1=3,an+1an+2=2an+1+2an(n∈N+),则该数列的前 2015 项的和是( A.7049 B.7052 C.14098 2. 已知椭圆 A.4 B.5 C.7 D.14101 ,长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 等于( D.8 ) )

姓名__________

分数__________

3. 已知圆 O 的半径为 1, PA, PB 为该圆的两条切线, A, B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小值为 A、 ?4 ? 2 B、 ?3 ? 2 C、 ?4 ? 2 2 =t D、 ?3 ? 2 2 ,若∠ACD=60°,则 t 的值为( )

??? ? ??? ?

4. 已知 AC⊥BC,AC=BC,D 满足 A. B. ﹣ C. ﹣1

+(1﹣t)

D. )

5. 若函数 f(x)的定义域为 R,则“函数 f(x)是奇函数”是“f(0)=0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 数列﹣1,4,﹣7,10,…,(﹣1)n(3n﹣2)的前 n 项和为 Sn,则 S11+S20=( A.﹣16 A.2︰3 B.14 B.4︰3 C.28 C.3︰1 D.30



7. 已知 a, b, c 为 ?ABC 的三个角 A, B, C 所对的边,若 3b cos C ? c(1 ? 3cos B) ,则 sin C:sin D.3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理,意在考查转化能力、运算求解能力.

A ?(



8. 已知函数 f(x)=ax3﹣3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则实数 a 的取值范围是( A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,﹣2) )



9. 已知向量 =(1,2), =(x,﹣4),若 ∥ ,则 x=( A. 4 B. ﹣4 C. 2 D. ﹣2

10.某工厂产生的废气经过过虑后排放,过虑过程中废气的污染物数量 P (单位:毫克/升)与时间 t (单位:

k 10% 的污染物,为了消除 27.1% 小时)间的关系为 P ? P 0 , 均为正常数).如果前 5 个小时消除了 0e ( P
的污染物,则需要( A. 8 B. 10 )小时. C. 15 D. 18

? kt

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【命题意图】本题考指数函数的简单应用,考查函数思想,方程思想的灵活运用,体现“数学是有用的”的新 课标的这一重要思想. 11.十进制数 25 对应的二进制数是( A.11001 B.10011 C.10101 ) D.10001 )

12.定义在 R 上的偶函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数,又 f(7)=6,则 f(x)( A.在[﹣7,0]上是增函数,且最大值是 6 B.在[﹣7,0]上是增函数,且最小值是 6 C.在[﹣7,0]上是减函数,且最小值是 6 D.在[﹣7,0]上是减函数,且最大值是 6

二、填空题
13.已知函数 14.定积分 15. 椭圆 C: sintcostdt= + 为定义在区间[﹣2a,3a﹣1]上的奇函数,则 a+b= . . .

=1 0) 3) (a>b>0) 的右焦点为 (2, , 且点 (2, 在椭圆上, 则椭圆的短轴长为 .

16.设全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2},集合 B={2,3},则(? UA)∪B= 的 15﹣64 岁劳动人口所占比例: 2030 2035 年份 年份代号 t 所占比例 y 1 68 2 65

17.当下社会热议中国人口政策,下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过 2000 年第五次人口普查预测 2040 3 62 2045 4 62 2050 5 61

根据上表,y 关于 t 的线性回归方程为

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

=



= ﹣



18 .【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数 f ? x ? ? x ? lnx ? 4 的零点在区间

k ? 1? 内,则正整数 k 的值为________. ?k,
三、解答题
19.如图,在 Rt△ ABC 中,∠ACB= ,AC=3,BC=2,P 是△ ABC 内一点.

(1)若 P 是等腰三角形 PBC 的直角顶角,求 PA 的长;

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(2)若∠BPC=

,设∠PCB=θ,求△ PBC 的面积 S(θ)的解析式,并求 S(θ)的最大值.

20.(本题满分 12 分)有人在路边设局,宣传牌上写有“掷骰子,赢大奖”.其游戏规则是这样的:你可以 在 1,2,3,4,5,6 点中任选一个,并押上赌注 m 元,然后掷 1 颗骰子,连续掷 3 次,若你所押的点数 在 3 次掷骰子过程中出现 1 次, 2 次,3 次,那么原来的赌注仍还给你,并且庄家分别给予你所押赌注的 1 倍,2 倍,3 倍的奖励.如果 3 次掷骰子过程中,你所押的点数没出现,那么你的赌注就被庄家没收. (1)求掷 3 次骰子,至少出现 1 次为 5 点的概率; (2)如果你打算尝试一次,请计算一下你获利的期望值,并给大家一个正确的建议.

21.已知平面直角坐标系 xoy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 0),设点 A(1, ). (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程;

,右顶点为 D(2,

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(3)过原点 O 的直线交椭圆于 B,C 两点,求△ ABC 面积的最大值,并求此时直线 BC 的方程.

22.在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 tanA= (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)若三角形△ ABC 的面积为 ,求角 C.

,c=



23.【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测(一)】已知函数 f ? x ? ? ?x ? ax ? lnx ? a ? R ? .
2

(1)若函数 f ? x ? 是单调递减函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ? x ? 在区间 ? 0,3? 上既有极大值又有极小值,求实数 a 的取值范围.

24.本小题满分 10 分选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图, ?ABC 是⊙ O 的内接三角形, PA 是⊙ O 的切线,切点为 A , PB 交 AC 于点 E ,交⊙ O 于点 D ,

PA ? PE , ?ABC ? 45? , PD ? 1 , DB ? 8 .

A

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O

E

D

P

B

C

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Ⅰ求 ?ABP 的面积; Ⅱ求弦 AC 的长.

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白塔区二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B
+ 【解析】解:∵an+1an+2=2an+1+2an(n∈N ),∴(an+1﹣2)(an﹣2)=2,当 n≥2 时,(an﹣2)(an﹣1﹣2)=2,



,可得 an+1=an﹣1,

因此数列{an}是周期为 2 的周期数列. a1=3,∴3a2+2=2a2+2×3,解得 a2=4, ∴S2015=1007(3+4)+3=7052. 【点评】本题考查了数列的周期性,考查了计算能力,属于中档题. 2. 【答案】D 【解析】解:将椭圆的方程转化为标准形式为 显然 m﹣2>10﹣m,即 m>6, ,解得 m=8 故选 D 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了. ,

3. 【答案】D.

? 1 ??? ? ??? ? 2 sin ? PA ? PB ? t ? 1 2 t, 【解析】设 PO ? t ,向量 PA 与 PB 的夹角为 ? , ,
??? ? ??? ? 2 2 ? PA ? PB ? PA PB cos ? ? (t 2 ? 1)(1 ? 2 )(t ? 1) , , 2 2 t t ??? ? ??? ? 2 2 ??? ? ??? ? ? PA?PB ? t ? 2 ? 3(t ? 1) ,依不等式? PA?PB 的最小值为 2 2 ? 3 . t cos ? ? 1 ? 2sin 2

?

? 1?

4. 【答案】A 【解析】解:如图,根据题意知,D 在线段 AB 上,过 D 作 DE⊥AC,垂足为 E,作 DF⊥BC,垂足为 F;

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若设 AC=BC=a,则由 根据题意,∠ACD=60°,∠DCF=30°; ∴ 即 解得 故选:A. 【点评】 考查当满足 平面向量基本定理,余弦函数的定义. 5. 【答案】A . ; ;

得,CE=ta,CF=(1﹣t)a;

A,B 三点共线, 时, 便说明 D, 以及向量加法的平行四边形法则,

【解析】解:由奇函数的定义可知:若 f(x)为奇函数, 则任意 x 都有 f(﹣x)=﹣f(x),取 x=0,可得 f(0)=0; 而仅由 f(0)=0 不能推得 f(x)为奇函数,比如 f(x)=x , 显然满足 f(0)=0,但 f(x)为偶函数. 由充要条件的定义可得:“函数 f(x)是奇函数”是“f(0)=0””的充分不必要条件. 故选:A. 6. 【答案】B 【解析】解:∵an=(﹣1) (3n﹣2), ∴S11=( =﹣16, S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20) =﹣(1+7+…+55)+(4+10+…+58) =﹣ + )+(a2+a4+a6+a8+a10) =﹣(1+7+13+19+25+31)+(4+10+16+22+28)
n 2

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=30, ∴S11+S20=﹣16+30=14. 故选:B. 【点评】本题考查数列求和,是中档题,解题时要认真审题,注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用.

7. 【答案】C 【解析】由已知等式,得 c ? 3b cos C ? 3c cos B ,由正弦定理,得 sin C ? 3(sin B cos C ? sin C cos B) ,则

sin C ? 3sin( B ? C ) ? 3sin A ,所以 sin C : sin A ? 3 :1 ,故选 C.
8. 【答案】D
3 2 【解析】解:∵f(x)=ax ﹣3x +1,

∴f′(x)=3ax ﹣6x=3x(ax﹣2),f(0)=1; ①当 a=0 时,f(x)=﹣3x2+1 有两个零点,不成立; ②当 a>0 时,f(x)=ax3﹣3x2+1 在(﹣∞,0)上有零点,故不成立; ③当 a<0 时,f(x)=ax3﹣3x2+1 在(0,+∞)上有且只有一个零点;
3 2 故 f(x)=ax ﹣3x +1 在(﹣∞,0)上没有零点; 3 2 而当 x= 时,f(x)=ax ﹣3x +1 在(﹣∞,0)上取得最小值;

2

故 f( )= 故 a<﹣2; 综上所述,

﹣3?

+1>0;

实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2); 故选:D. 9. 【答案】D 【解析】: 解:∵ ∥ , ∴﹣4﹣2x=0,解得 x=﹣2. 故选:D. 10.【答案】15 【 解 析 】

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11.【答案】A 【解析】解:25÷2=12…1 12÷2=6…0 6÷2=3…0 3÷2=1…1 1÷2=0…1 故 25(10)=11001(2)故选 A. 【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化,其中熟练掌握“除 k 取余法”的方法步骤是解答本 题的关键. 12.【答案】D 【解析】解:∵函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数, ∴函数 f(x)在 x=7 时,函数取得最大值 f(7)=6, ∵函数 f(x)是偶函数, ∴在[﹣7,0]上是减函数,且最大值是 6, 故选:D

二、填空题
13.【答案】 2 .

【解析】解:∵f(x)是定义在[﹣2a,3a﹣1]上奇函数, ∴定义域关于原点对称, 即﹣2a+3a﹣1=0, ∴a=1, ∵函数 ∴f(﹣x)=
x x 即 b?2 ﹣1=﹣b+2 ,

为奇函数, =﹣ ,

∴b=1. 即 a+b=2, 故答案为:2. 14.【答案】 .

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【解析】解: 故答案为: 15.【答案】

0sintcostdt=

0sin2td(2t)=

(﹣cos2t)|

=

×(1+1)=





【解析】解:椭圆 C: 可得 c=2,2a= b2=a2﹣c2=12,可得 b=2 椭圆的短轴长为:4 故答案为:4 . .

+

=1(a>b>0)的右焦点为(2,0),且点(2,3)在椭圆上, =8,可得 a=4,



【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用,考查计算能力. 16.【答案】 {2,3,4} . 【解析】解:∵全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2}, ∴CUA={3,4}, 又 B={2,3}, ∴(CUA)∪B={2,3,4}, 故答案为:{2,3,4} 17.【答案】 y=﹣1.7t+68.7 【解析】解: = , = =63.6.

=(﹣2)×4.4+(﹣1)×1.4+0+1×(﹣1.6)+2×(﹣2.6)=﹣17. =4+1+0+1+2=10. ∴ =﹣ =﹣1.7. =63.6+1.7×3=68.7.

∴y 关于 t 的线性回归方程为 y=﹣1.7t+68.7. 故答案为 y=﹣1.7t+68.7. 【点评】本题考查了线性回归方程的解法,属于基础题.

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18.【答案】2

【解析】

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵P 为等腰直角三角形 PBC 的直角顶点,且 BC=2, ∴∠PCB= ∵∠ACB= ,PC= , , =5,

,∴∠ACP=

2 2 2 在△PAC 中,由余弦定理得:PA =AC +PC ﹣2AC?PC?cos

整理得:PA=

; ,∠PCB=θ,

(2)在△PBC 中,∠BPC= ∴∠PBC= ﹣θ, = sin(

由正弦定理得: ∴PB= sinθ,PC=

= ﹣θ), = . sin(



∴△PBC 的面积 S(θ)= PB?PCsin 则当 θ= 时,△PBC 面积的最大值为

﹣θ)sinθ=

sin(2θ+

)﹣

,θ∈(0,

),

【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 20.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查了独立重复试验中概率的求法,对立事件的基本性质;对化归能力及对实际问 题的抽象能力要求较高,属于中档难度.

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21.【答案】 【解析】解;(1)由题意可设椭圆的标准方程为 ∵右顶点为 D(2,0),左焦点为 ∴a=2, , . , . ,c 为半焦距.

∴该椭圆的标准方程为

(2)设点 P(x0,y0),线段 PA 的中点 M(x,y).

由中点坐标公式可得

,解得

.(*)

∵点 P 是椭圆上的动点,∴



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把(*)代入上式可得

,可化为



即线段 PA 的中点 M 的轨迹方程为一焦点在 x 轴上的椭圆 (3)①当直线 BC 的斜率不存在时,可得 B(0,﹣1),C(0,1). ∴|BC|=2,点 A 到 y 轴的距离为 1,∴ =1;



②当直线 BC 的斜率存在时,设直线 BC 的方程为 y=kx,B(x1,y1),C(﹣x1,﹣y1)(x1<0). 联立 ∴ ∴|BC|=
2 2 ,化为(1+4k )x =4.解得



. =2 = .

又点 A 到直线 BC 的距离 d=





=

=





=

=



令 f(k)=

,则 .列表如下:



令 f′(k)=0,解得

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又由表格可知:当 k=

时,函数 f(x)取得极小值,即 →1. ,即

取得最大值 2,即



而当 x→+∞时,f(x)→0, 综上可得:当 k=

时,△ABC 的面积取得最大值



【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式及“代点法”、分类讨论的思想方法、直线与椭圆相 交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立解方程组、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形的面 积计算公式、利用导数研究函数的单调性及其极值. 22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由题意知,tanA= 则 = ,

,即有 sinA﹣sinAcosC=cosAsinC,

所以 sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB, 由正弦定理,a=b,则 =1;… (Ⅱ)因为三角形△ABC 的面积为
2 所以 S= absinC= a sinC=

,a=b、c=



,则 =

,① ,② )=1,sin(C+ = , )= ,

由余弦定理得, 由①②得,cosC+ 又 0<C<π,则 解得 C= 于中档题. ….

sinC=1,则 2sin(C+ C+ < ,即 C+

【点评】本题考查正弦定理,三角形的面积公式,以及商的关系、两角和的正弦公式等,注意内角的范围,属

23.【答案】(1) a ? 2 2 ;(2) 2 2 ? a ? 【解析】试题分析:

19 . 3

(1)原问题等价于 f ? ? x ? ? 0 对 ? 0, ??? 恒成立,即 a ? 2 x ? 得a ? 2 2;

1 对 ? 0, ??? 恒成立,结合均值不等式的结论可 x

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(2)由题意可知 f ? ? x ? ? 取值范围是 2 2 ? a ? 试题解析:

?2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 在 ? 0,3? 上有两个相异实根,结合二次函数根的分布可得实数 a 的 x

19 . 3

(2)∵函数 f ? x ? 在 ? 0,3? 上既有极大值又有极小值,

?2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 在 ? 0,3? 上有两个相异实根, x 2 即 2 x ? ax ? 1 ? 0 在 ? 0,3? 上有两个相异实根,
∴ f ?? x? ?

a ?2 2或a 2 2 a ? 3 2 0 ? a ? 12 记 g ? x ? ? 2x ? ax ? 1 ,则 { ,得 { , 4 g ? 0? ? 0 19 a? g ? 3? ? 0 3 19 即2 2 ? a ? . 3

??0

0?

24.【答案】 【解析】Ⅰ? PA 是⊙ O 的切线,切点为 A 又∵ PA ? PE ∴ ?PAE ? ?ABC ? 45? ∴ ?PEA ? 45 ? , ?APE ? 90 ?

2 由于 PD ? 1 , DB ? 8 ,所以由切割线定理可知 PA ? PD ? PB ? 9 ,既 EP ? PA ? 3

1 27 BP ? PA ? . 2 2 Ⅱ在 Rt ?APE APE 中,由勾股定理得 AE ? 3 2 由于 ED ? EP ? PD ? 2 , EB ? DB ? DE ? 6 ,所以由相交弦定理得 12 EC ? EA ? EB ? ED ? 12 ? 2 2 ,故 AC ? 5 2 . 所以 EC ? 3 2
故 ?ABP 的面积为
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