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沂源县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

沂源县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 若关于 x 的不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?m ? 7 ? 0 的解集为 R ,则参数 m 的取值范围为( A. (4,??) B. [4,??) C. (??,4) D. (??,4] )

座号_____

姓名__________

分数__________

【命题意图】本题考查含绝对值的不等式含参性问题,强化了函数思想、化归思想、数形结合思想在本题中的 应用,属于中等难度. 2. 下列命题中错误的是( ) A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B.圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个 C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面 D.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形 3. 如图, 在平面直角坐标系中,锐角 α、 β 及角 α+β 的终边分别与单位圆 O 交于 A, B, C 三点.分别作 AA'、 BB'、CC'垂直于 x 轴,若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形,则此三角形的外接圆面积为( )

A.

B.

C.

D.π )

4. 在数列{an}中,a1=3,an+1an+2=2an+1+2an(n∈N+),则该数列的前 2015 项的和是( A.7049 B.7052 C.14098
2

D.14101

PQ 5. 已知曲线 C : y ? 4x 的焦点为 F , 过点 F 的直线与曲线 C 交于 P, Q 两点, 且 FP ? 2FQ ? 0 , 则 ?O
的面积等于( A. 2 2 ) C.

??? ?

??? ?

?

B. 3 2

3 2 2

D.

3 2 4

6. 甲、乙两所学校高三年级分别有 1 200 人,1 000 人,为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校

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联考的数学成绩情况, 采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了 110 名学生的数学成绩, 并作出了频数分布统 计表如下: 甲校: 分组 频数 分组 频数 乙校: 分组 频数 分组 频数 则 x,y 的值分别为 A、12,7 B、 10,7 C、 10,8 D、 11,9 ) D.f(5)< C.f(2)<f(5)<f(π) 7. 函数 y=f(x)在[1,3]上单调递减,且函数 f(x+3)是偶函数,则下列结论成立的是( A.f(2)<f(π)<f(5) f(π)<f(2) 8. 设 x,y 满足线性约束条件 的值为( A.2 B. ) C. D.3 + ,则 x、y 的值分 ,若 z=ax﹣y(a>0)取得最大值的最优解有数多个,则实数 a B.f(π)<f(2)<f(5) [70,80 1 [110,120 10 [80,90 2 [120,130 10 [90,100 8 [130,140 y [100,110 9 [140,150] 3 [70,80 3 [110,120 15 [80,90 4 [120,130 x [90,100 8 [130,140 3 [100,110 15 [140,150] 2

9. 已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 为上底面 A1C1 的中心,若 别为( ) D.x= ,y=1

A.x=1,y=1 B.x=1,y= C.x= ,y=

10.某市重点中学奥数培训班共有 14 人,分为两个小组,在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示, 其中甲组学生成绩的平均数是 88,乙组学生成绩的中位数是 89,则 m ? n 的值是( )

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A.10

B.11

C.12

D.13

【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识,意在考查识图能力和计算能力. 11.如图,一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置 C 对隧道底 AB 的张角 θ 最大时采集效果最好,则采集效果最好时位置 C 到 AB 的距离是( )

A.2

m B.2

m C.4 m D.6 m )

12.若命题“p∧q”为假,且“≦q”为假,则( A.“p∨q”为假 B.p 假 C.p 真 D.不能判断 q 的真假

二、填空题
13.用 1,2,3,4,5 组成不含重复数字的五位数,要求数字 4 不出现在首位和末位,数字 1,3,5 中有且 仅有两个数字相邻,则满足条件的不同五位数的个数是 大. 14.设函数 的实数根,则实数 a 的取值范围是 ,其中[x]表示不超过 x 的最大整数.若方程 f(x)=ax 有三个不同 . .(注:结果请用数字作答) 【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用,同时也渗透了分类讨论的思想,本题综合性强,难度较

15.给出下列命题: ①存在实数 α,使 ②函数 ③ 是函数 是偶函数 的一条对称轴方程

④若 α、β 是第一象限的角,且 α<β,则 sinα<sinβ

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其中正确命题的序号是



16. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 4) ? f ( x) , 且 x?( 0 , 2 )

7 ) 的值为 时 f ( x) ? x2 ? 1 , 则 f(





17.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 AC 所成的角是 是 .
2

°.

18.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积

三、解答题
19.在 ?ABC 中已知 2a ? b ? c , sin A ? sin B sin C ,试判断 ?ABC 的形状.

20.已知函数 f(x)=lnx﹣kx+1(k∈R). (Ⅰ)若 x 轴是曲线 f(x)=lnx﹣kx+1 一条切线,求 k 的值; (Ⅱ)若 f(x)≤0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围.

21.已知集合 P={x|2x2﹣3x+1≤0},Q={x|(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0}. (1)若 a=1,求 P∩Q; (2)若 x∈P 是 x∈Q 的充分条件,求实数 a 的取值范围.

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22.(本小题满分 13 分)

1 1 ,数列 {an } 满足: a1 ? , an?1 ? f (an ), n ? N ? . 2 1? x ? a ? ?1 ? (Ⅰ)若 ?1 , ?2 为方程 f ( x) ? x 的两个不相等的实根,证明:数列 ? n ? 为等比数列; ? an ? ?2 ? ? (Ⅱ)证明:存在实数 m ,使得对 ?n ? N , a2n?1 ? a2n?1 ? m ? a2n?2 ? a2n .
设 f ( x) ? )

23.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上. (1)求证:平面 AEC⊥平面 PDB; (2)当 PD= AB,且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

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24. 2008 年奥运会在中国举行, 某商场预计 2008 年从 1 日起前 x 个月, 顾客对某种奥运商品的需求总量 p (x) 件与月份 x 的近似关系是 月份 x 的近似关系是 q(x)=150+2x,(x∈N*且 x≤12). (1)写出今年第 x 月的需求量 f(x)件与月份 x 的函数关系式; (2)该商品每件的售价为 185 元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,则此商场今年销售该商品的月 利润预计最大是多少元? 且 x≤12),该商品的进价 q(x)元与

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沂源县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A

2. 【答案】 B 【解析】解:对于 A,设圆柱的底面半径为 r,高为 h,设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为 a, 则截面面积 S=ah≤2rh. ∴当 a=2r 时截面面积最大,即轴截面面积最大,故 A 正确. 对于 B,设圆锥 SO 的底面半径为 r,高为 h,过圆锥定点的截面在底面的边长为 AB=a,则 O 到 AB 的距离为 , ∴截面三角形 SAB 的高为 S= 故截面的最大面积为 = ,∴截面面积 ≤ .故 B 错误. = .

对于 C,由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台,所得几何体仍是圆台,故截面为圆面,故 C 正确. 对于 D,由于圆锥的所有母线长都相等,轴截面的底面边长为圆锥底面的直径,故圆锥所有的轴截面是全等的 等腰三角形,故 D 正确. 故选:B. 【点评】本题考查了旋转体的结构特征,属于中档题. 3. 【答案】 A 【解析】(本题满分为 12 分) 解:由题意可得:|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin(α+β), 设边长为 sin(α+β)的所对的三角形内角为 θ, 则由余弦定理可得,cosθ= = ﹣cosαcosβ

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= =sinαsinβ﹣cosαcosβ =﹣cos(α+β), ∵α,β∈(0, ∴α+β∈(0,π) ∴sinθ= =sin(α+β) )

﹣cosαcosβ

设外接圆的半径为 R,则由正弦定理可得 2R= ∴R= ,
2 ∴外接圆的面积 S=πR =

=1,



故选:A.

【点评】本题主要考查了余弦定理,三角函数恒等变换的应用,同角三角函数基本关系式,正弦定理,圆的面 积公式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于中档题. 4. 【答案】B
+ 【解析】解:∵an+1an+2=2an+1+2an(n∈N ),∴(an+1﹣2)(an﹣2)=2,当 n≥2 时,(an﹣2)(an﹣1﹣2)=2,



,可得 an+1=an﹣1,

因此数列{an}是周期为 2 的周期数列. a1=3,∴3a2+2=2a2+2×3,解得 a2=4, ∴S2015=1007(3+4)+3=7052. 【点评】本题考查了数列的周期性,考查了计算能力,属于中档题. 5. 【答案】C

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【解析】

∴ ( x1 ?1, y1 ) ? 2( x2 ?1, y2 ) ? (0,0) , ∴ y1 ? 2 y2 ? 0 ③, 联立①②③可得 m ?
2

1 , 8

∴ y1 ? y2 ? ∴S ?

( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 3 2 .

1 3 2 . OF y1 ? y2 ? 2 2 ? ? y1 y2 ? ?4 ? y1 ? 2 2 ? ? y1 ? ?2 2 (由 ? ,得 ? 或? ) y ? ? 2 y ? 2 ? y1 ? 2 y2 ? 0 ? ? ? 2 ? 2
考点:抛物线的性质. 6. 【答案】B 1 200 【解析】 1 从甲校抽取 110× =60 人, 1 200+1 000 1 000 从乙校抽取 110× =50 人,故 x=10,y=7. 1 200+1 000 7. 【答案】B 【解析】解:∵函数 y=f(x)在[1,3]上单调递减,且函数 f(x+3)是偶函数, ∴f(π)=f(6﹣π),f(5)=f(1), ∵f(6﹣π)<f(2)<f(1), ∴f(π)<f(2)<f(5) 故选:B

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【点评】 本题考查的知识点是抽象函数的应用, 函数的单调性和函数的奇偶性, 是函数图象和性质的综合应用, 难度中档. 8. 【答案】B 【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分). 由 z=ax﹣y(a>0)得 y=ax﹣z, ∵a>0,∴目标函数的斜率 k=a>0. 平移直线 y=ax﹣z, 由图象可知当直线 y=ax﹣z 和直线 2x﹣y+2=0 平行时,当直线经过 B 时,此时目标函数取得最大值时最优解 只有一个,不满足条件. 当直线 y=ax﹣z 和直线 x﹣3y+1=0 平行时,此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个,满足条件. 此时 a= . 故选:B.

9. 【答案】C 【解析】解:如图, + 故选 C. + ( ).

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10.【答案】C

78 ? 88 ? 84 ? 86 ? 92 ? 90 ? m ? 95 ? 88 ,解得 m ? 3 .乙组中 88 ? 89 ? 92 , 7 所以 n ? 9 ,所以 m ? n ? 12 ,故选 C.
【解析】由题意,得甲组中 11.【答案】A
2 【解析】解:建立如图所示的坐标系,设抛物线方程为 x =﹣2py(p>0),

将点(4,﹣4)代入,可得 p=2,
2 所以抛物线方程为 x =﹣4y,

设 C(x,y)(y>﹣6),则 由 A(﹣4,﹣6),B(4,﹣6),可得 kCA= ,kCB= ,

∴tan∠BCA=

=

=



令 t=y+6(t>0),则 tan∠BCA= ∴t=2

=



时,位置 C 对隧道底 AB 的张角最大,

故选:A.

【点评】本题考查抛物线的方程与应用,考查基本不等式,确定抛物线的方程及 tan∠BCA,正确运用基本不 等式是关键. 12.【答案】B 【解析】解:∵命题“p∧q”为假,且“≦q”为假, ∴q 为真,p 为假; 则 p∨q 为真, 故选 B. 【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断,属于基础题.
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二、填空题
13.【答案】48 【 解 析 】

14.【答案】 (﹣1,﹣ ]∪[ , )



【解析】解:当﹣2≤x<﹣1 时,[x]=﹣2,此时 f(x)=x﹣[x]=x+2. 当﹣1≤x<0 时,[x]=﹣1,此时 f(x)=x﹣[x]=x+1. 当 0≤x<1 时,﹣1≤x﹣1<0,此时 f(x)=f(x﹣1)=x﹣1+1=x. 当 1≤x<2 时,0≤x﹣1<1,此时 f(x)=f(x﹣1)=x﹣1. 当 2≤x<3 时,1≤x﹣1<2,此时 f(x)=f(x﹣1)=x﹣1﹣1=x﹣2. 当 3≤x<4 时,2≤x﹣1<3,此时 f(x)=f(x﹣1)=x﹣1﹣2=x﹣3. 设 g(x)=ax,则 g(x)过定点(0,0), 坐标系中作出函数 y=f(x)和 g(x)的图象如图: 当 g(x)经过点 A(﹣2,1),D(4,1)时有 3 个不同的交点,当经过点 B(﹣1,1),C(3,1)时,有 2 个不同的交点, 则 OA 的斜率 k= ,OB 的斜率 k=﹣1,OC 的斜率 k= ,OD 的斜率 k= , 或 ,

故满足条件的斜率 k 的取值范围是 故答案为:(﹣1,﹣ ]∪[ , )

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【点评】 本题主要考查函数交点个数的问题, 利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本 题的根据,利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想. 15.【答案】 ②③ . 【解析】解:①∵sinαcosα= sin2α∈[ 错误, ②函数 ③当 时, =cosx 是偶函数,故②正确, =cos(2× + )=cosπ=﹣1 是函数的最小值,则 是函数 , ],∵ > ,∴存在实数 α,使 错误,故①

的一条对称轴方程,故③正确, ④ 当 α= ,β= ,满足 α、β 是第一象限的角,且 α<β,但 sinα=sinβ,即 sinα<sinβ 不成立,故④错误,

故答案为:②③. 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及三角函数的图象和性质,考查学生的运算和推理能力.

16.【答案】 ?2 【解析】1111] 试题分析: f ( x ? 4) ? f ( x) ? T ? 4 ,所以 f (7) ? f ( ?1) ? ? f (1) ? ?2. 考点:利用函数性质求值 17.【答案】 60° °. 【解析】解:连结 BC1、A1C1, ∵在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1A 平行且等于 C1C, ∴四边形 AA1C1C 为平行四边形,可得 A1C1∥AC, 因此∠BA1C1(或其补角)是异面直线 A1B 与 AC 所成的角,

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设正方体的棱长为 a,则△A1B1C 中 A1B=BC1=C1A1= ∴△A1B1C 是等边三角形,可得∠BA1C1=60°, 即异面直线 A1B 与 AC 所成的角等于 60°. 故答案为:60°.

a,

【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小,着重考查了正方体的性质、空间角的 定义及其求法等知识,属于中档题. 18.【答案】 50π . 【解析】解:长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一个球面上, 所以长方体的对角线就是球的直径,长方体的对角线为: 所以球的半径为: 故答案为:50π. 【点评】本题是基础题,考查球的内接多面体的有关知识,球的表面积的求法,注意球的直径与长方体的对角 线的转化是本题的解答的关键,考查计算能力,空间想象能力. ;则这个球的表面积是: =50π. ,

三、解答题
19.【答案】 ?ABC 为等边三角形. 【解析】 试题分析:由 sin A ? sin B sin C ,根据正弦定理得出 a ? bc ,在结合 2a ? b ? c ,可推理得到 a ? b ? c ,
2 2

即可可判定三角形的形状.

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考点:正弦定理;三角形形状的判定. 20.【答案】 【解析】解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= ﹣k=0, ∴x= , 由 ln ﹣1+1=0,可得 k=1; (2)当 k≤0 时,f′(x)= ﹣k>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 k>0 时,若 x∈(0, )时,有 f′(x)>0,若 x∈( ,+∞)时,有 f′(x)<0, 则 f(x)在(0, )上是增函数,在( ,+∞)上是减函数. k≤0 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数, 而 f(1)=1﹣k>0,f(x)≤0 不成立,故 k>0, ∵f(x)的最大值为 f( ),要使 f(x)≤0 恒成立, 则 f( )≤0 即可,即﹣lnk≤0,得 k≥1. 【点评】本题考查导数的几何意义,考查函数单调区间的求法,确定实数的取值范围,渗透了分类与整合的数 学思想,培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识. 21.【答案】 【解析】解:(1) 当 a=1 时,Q={x|(x﹣1)(x﹣2)≤0}={x|1≤x≤2} 则 P∩Q={1} (2)∵a≤a+1,∴Q={x|(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0}={x|a≤x≤a+1} ∵x∈P 是 x∈Q 的充分条件,∴P?Q

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,即实数 a 的取值范围是

【点评】本题属于以不等式为依托,求集合的交集的基础题,以及充分条件的运用,也是高考常会考的题型.

22.【答案】

??12 ? ?1 ? 1 ? 0 ?1 ? ?1 ? ?12 ? ? 【解析】解:证明: f ( x) ? x ? x ? x ? 1 ? 0 ,∴ ? 2 ,∴ ? . 2 ? ? ??2 ? ?2 ? 1 ? 0 ?1 ? ?2 ? ?2 1 ? ?1 an ?1 ? ?1 1 ? an 1 ? ?1 ? ?1an ?12 ? ?1an ?1 an ? ?1 ? ? ? 2 ? ? ∵ , (3 分) 1 an ?1 ? ?2 1 ? ? ? ? a ? ? ? a ? a ? ? 2 2 n 2 2 n 2 n 2 ? ?2 1 ? an a1 ? ?1 ? ? 0, 1 ? 0, a1 ? ?2 ?2
2

∴数列 ?

? an ? ?1 ? ? 为等比数列. (4 分) ? an ? ?2 ?

5 ?1 ,则 f (m) ? m . 2 1 2 3 1 由 a1 ? 及 an ?1 ? 得 a2 ? , a3 ? ,∴ 0 ? a1 ? a3 ? m . 2 3 5 1 ? an
(Ⅱ)证明:设 m ? ∵ f ( x ) 在 (0, ??) 上递减,∴ f (a1 ) ? f (a3 ) ? f (m) ,∴ a2 ? a4 ? m .∴ a1 ? a3 ? m ? a4 ? a2 ,(8 分) 下面用数学归纳法证明:当 n ? N 时, a2n?1 ? a2n?1 ? m ? a2n?2 ? a2n . ①当 n ? 1 时,命题成立. (9 分) ②假设当 n ? k 时命题成立,即 a2k ?1 ? a2k ?1 ? m ? a2k ?2 ? a2k ,那么 由 f ( x ) 在 (0, ??) 上递减得 f (a2k ?1 ) ? f (a2k ?1 ) ? f (m) ? f (a2k ?2 ) ? f (a2k ) ∴ a2k ? a2k ?2 ? m ? a2k ?3 ? a2k ?1 由 m ? a2k ?3 ? a2 k ?1 得 f (m) ? f (a2k ?3 ) ? f (a2 k ?1 ) ,∴ m ? a2k ?4 ? a2k ?2 , ∴当 n ? k ? 1 时命题也成立, (12 分) 由①②知,对一切 n ? N 命题成立,即存在实数 m ,使得对 ?n ? N , a2n?1 ? a2n?1 ? m ? a2n?2 ? a2n . 23.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, ∵PD⊥底面 ABCD, ∴PD⊥AC,∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 AEC⊥平面 PDB.
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? ? ?

(Ⅱ)解:设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, ∴O,E 分别为 DB、PB 的中点, ∴OE∥PD, ,

又∵PD⊥底面 ABCD, ∴OE⊥底面 ABCD,OE⊥AO, 在 Rt△AOE 中, ,

∴∠AEO=45°,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45°.

【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及直线与平面所成的角,考查空间想象能力、运算能力和 推理论证能力,属于基础题. 24.【答案】 【解析】解:(1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37. 当 2≤x≤12 时,

且 x≤12)
2 2 验证 x=1 符合 f(x)=﹣3x +40x,∴f(x)=﹣3x +40x(x∈N*且 x≤12).该商场预计销售该商品的月利润为

g(x)=(﹣3x2+40x)(185﹣150﹣2x)=6x3﹣185x2+1400x,(x∈N*且 x≤12),
3 2 2 令 h(x)=6x ﹣185x +1400x(1≤x≤12),h'(x)=18x ﹣370x+1400,令 h'(x)=0,解得

(舍

去).>0;当 5<x≤12 时,h'(x)<0. ∴当 x=5 时,h(x)取最大值 h(5)=3125.max=g(5)=3125(元). 综上,5 月份的月利润最大是 3125 元. 【点评】 本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识. 新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生 活中,如何建模是解决这类问题的关键.同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题.

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