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湖北省武汉中学2013-2014学年高一数学10月月考试题新人教A版


湖北省武汉中学 2013-2014 学年上学期高一 10 月考 数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入答题卡中) 1.已知集合 A={x|x>1},集合 B={x|x﹣4≤0},则 A∪B 等于( ) A. {x|x>1} B. {x|x≤4} C. {x|1<x≤4} D. R 2.下列各组函数中,f(x)与 g(x)表示同一函数的是( ) A. f ( x ) ?

x 与g ( x ) ? ( x )
2

2

x2 B. f ( x ) ? x与g ( x ) ? x
D. f ( x ) ? x+2与g ( x ) ?

C. f ( x ) ? x与g ( x ) ?

3

x3

x2 ? 4 x?2

3. 设函数

,则 f[f(﹣1)]=(



A. π +1 B. 0 C. ﹣1 D. π 2 4.如果函数 f (x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,则实数 a 的取值范围 是( ) A. ?? 3,?? ? B. ?? ?,?3? C. ?? ?,5? D. ?5,??? 5. 函数 f ? x ? ?

x 2 ? x ? 6 的单调递减区间为________.

A.

? 2,?? ?

1? ? ? ?? , ? ? 2? B. ?? ?,?3? C. ?

? 1 ? ? ? ? 2 , ?? ? D. ?

6. 函数 f(x)是定义在区间[﹣10,10]上偶函数,且 f(3)<f(1) .则下列各式一定成 立的是( ) A.f(﹣1)<f(﹣3) B.f(3)>f(2) C.f(﹣1)>f(﹣3) D.f(2)>f(0) 7. 函数 f ? x ? 为奇函数, x ? ?? ?,0? 时,f ?x ? ? x?x ? 1? , x ? ?0,?? ? 时,f ? x ? 为( 且 则 A. ? x?x ? 1? B. ? x?? x ? 1? C. x?? x ? 1? D. x ? x ? 1? )

8.点 P 从点 O 出发,按逆时针方向沿周长为 l 的图形运动一周,O,P 两点连线的距离 y 与 点 P 走过的路程 x 的函数关系如下图所示,那么点 P 所走的图形是( )

1

P O

P

P O

P

O O A B C D 9. 函数 f(x)=[x]的函数值表示不超过 x 的最大整数,例如:[﹣3.5]=﹣4,[2.1]=2.对 函数 f(x)=[x]有以下的判断: ①若 x∈[1,2],则 f(x)的值域为{0,l,2}; ②f(x+1)=f(x)+1; ③f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) ; 其中正确的判断有( )个 A. 1 B. 2 C.3 D. 0 10. 已知函数 f (x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数, 且对任意实数 x 都有 xf (x+1) =(1+x)f(x) ,则 f ( ) 的值是( A. 0 B.

5 2

) C. 1 D.

1 2

5 2

二、填空题(本大题共 5 小题.每小题 5 分,共 25 分.) 11. 集合 A={﹣1,0,1},B={a+1,2a},若 A∩B={0},则实数 a 的值为 ▲ . 12. 某班有学生 50 人,其中音乐爱好者有 30 人,美术爱好者有 25 人,既不爱好音乐又不 爱好美术的有 4 人,那么该班中既爱好音乐又爱好美术的有 ▲ 人. 13. 函数 f ( x ) ? x ? 1 ? 2 x 的定义域是 ▲ ,值域是 ▲ .

14. 设奇函数 f (x) 的定义域为 ? ?5,5? ,若当 x ? [0,5] 时,

f (x) 的图象如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解
是 ▲ ;

15.对于实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=

,设函数 f(x)=(x ﹣2)?(x

2

﹣1) ,x∈R,若函数 y=f(x)﹣c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是 ▲ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知集合 A={x|ax +2x+1=0,a∈R}至多有一个真子集,求 a 的取值范围.
2

2

17. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? x 3 ? x ? 6 , B ? x 2 ? x ? 5 (1)分别求 CR ? A I B ? , (CR A) ? B ; (2)已知 C ? x a ? x ? a ? 1 ,若 C ? B ? ? ,求实数 a 的取值集合.21

?

?

?

?.

?

?

18. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f(x)的图象过点(0,3),对称轴为 x=2,且 f(x)=0 的两个根的平方和为 10,求 (1)f(x)的解析式. (2)f(x)在 ? t , 3? 上的最小值

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

x , x ? ( ?1,1) 1 ? x2

(1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并证明; (2)判断函数 f ( x) 的单调性,并证明; (3)求使 f (1 ? m) ? f (1 ? m ) ? 0 成立的实数 m 的取值范围.
2

3

20. (本小题满分 12 分) 武汉东湖风景区有 50 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元。根 据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超过 6 元,则每超过 1 元,租不出的自行车就增加 3 辆。为了便于结算,每辆自行车的日租金 x(元)只取整数(每天 .. 租一次) ,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用 y(元)表示出租 .. 自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得) 。 (1) 求函数 y ? f ( x ) 的解析式及其定义域; (2) 试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多?

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 1 ,且对任意 a, b ? R 的,恒有

f (a ? b) ? f (a ) ? f (b) ;
(1) 求 f (0) 的值 (2) 求证:当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1

+ 上为增函数; (3) 求证: f ( x )在(-?,?)

f (1)=2,A ?
(4) 若 求 A? B

B?

?? m, n ? f ? n ? m ? ? 16, m, n ? Z ?

?? m, n ? f ? n ? ? f ? 2m ? m ? ?
2

2,m, n ? Z ,

?

4

高一数学 10 月月考答案 一.选择题 题号 答案 二.填空题 11 -1 12. 9 1 D 2 C 3 D 4 B 5 B 6 C 7 A 8 D 9 A 10 A

13 定义域是

1 ? ?x x ? 2 ?

?

,值域是

1 ? ?y y ? 2 ?

?

.

14.

? ?2, 0 ? ? ? 2, 5?


15. (﹣2,-1]∪(1,2] 三.计算题

16. 解: A=?, 若 则集合 A 无真子集, 这时关于 x 的方程 ax +2x+1=0 无实数解, a≠0, 则 且 Δ =4-4a<0,解得 a>1. ???4 分

2

若集合 A 恰有一个真子集,这时集合 A 中仅有一个元素.可分为两种情况: 1 (1)a=0 时,方程为 2x+1=0,x=- ;???7 分 2 (2)a≠0 时,则 Δ =4-4a=0,a=1. ???10 分 综上,当集合 A 至多有一个真子集时,实数 a 的取值范围为{a|a≥1,或 a=0}.??12 分 17. 解(1) A ? B ? x 3 ? x ? 5

?

????2 分

CR ? A I B ? ? ?x x ? 3或 x ? 5? ???4 分
CR A ? ?x x ? 3或 x ? 6? ???6 分 (CR A) ? B ? ?x x ? 5或 x ? 6? ???8 分
(2) ?

?a ? 1 ? 2 ? 1 ? a ? 5 ???12 分 ? a?5

18. (1)解:设二次函数 f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 由题意知,

c ? 3, ?

b ? 2. 2a

???2 分

设 x1, x2 是方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个根, 则 x12 ? x2 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2
5

又 x1 ? x2 ? ? ∴

b c , x1 ? x2 ? a a

b 2c 6 ( ? )2 ? ? 10,?16 ? ? 10, a a a
∴ f ( x ) ? x 2 ? 4 x ? 3 ???6 分

∴a=1,∴b=-4.

(2) 对称轴为 x=2, 当 t<2 时,f(x)在[t,2]上是减函数,f(x)在[2,3]上是增函数, ∴f(x)min=f(2)=-1???8 分 当 2≤t<3 时, f(x)在[t,3]上是增函数,∴f(x)min=f(t)=t -4t+3. ???11 分 综上所述
2

?1 ? f ( x ) min ? ? 2 ?t ? 4t ? 3
19. (1) Q f ( ? x ) ?

t?2 2?t?3

.???12 分

?x ? ? f ( x ) ,∴ f ( x) 为奇函数 1 ? x2
???8 分

???3 分

(2) f ( x) 在 (?1,1) 上单增,证明略

(3)由 f (1 ? m) ? f (1 ? m 2 ) ? 0 得 f (1 ? m) ? ? f (1 ? m2 ) ,

? ?1 ? 1 ? m ? 1 ? ? f (1 ? m) ? f (m ? 1) ,? ? ?1 ? 1 ? m 2 ? 1 ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?
2

解得

1 ? m ? 2 ???12 分

6

7

8


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