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湖北省孝感高级中学12 -13学年高一上学期期中考试(数学)

湖北省孝感高级中学 2012~2013 学年上学期期中考试

一年级(数学)
命题人:幸 芹 考试时间:120 分钟 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题所给的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 函数 f ? x ? ? A. ?4,???

x?4 的定义域为( x ?5
B. ?5, ?? ?

) D. ? ??,4? ? ?4,5 ?

C. ?4,5? ? ?5,??? )

2. 下列函数中与函数 y ? x 为相同函数的是( A. y ?

? ?
x

2

B. y ?

3

x3

C. y ?

x2

D. y ?

x2 x


3. 已知集合 A ? x 0 ? x ? 3, x ? Z ,则集合 A 的子集的个数为( A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

?

?

4. 某班共 40 人,其中 24 人喜欢篮球运动,16 人喜欢乒乓球运动,6 人这二项运动都不喜欢, 则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为( A.17 B. 18 C.19 ) D.20

? x ? 2 ? 4( x ? 1) ? 5. 已知 f ? x ? ? ? 1 ,则 f ? f ? 1? ? ? ( ( x ? 1) ? ?1 ? x2
A. ?



5 2
0.9

B.

1 10
1.7

C. ?

9 5


D.

25 41

6. 已知 a ? 1.7 , b ? 0.9 , c ?1, 则有( A. a ? b ? c 7. 函数 y ? a A. ? 2, 4?
x ?2

B. a ? c ? b

C. b ? a ? c

D. b ? c ? a ) D. ? 3,5 ? ) D. ?12 )

? 4(a ? 0且a ? 1) 的图像经过定点(
B.

? 2,5?

C.

? 3, 4?

8. 化简 ? log4 3 ? log 4 9 ?? log 3 2 ?log 38 ? ? ( ? A. 6 B. ?6 C. 12

9. 下列函数中在区间

? 3, 4 ? 内有零点的是(
-1-

A. y ? 3lg ? x ?

? ?

5? ? 2?

B. y ? ? x3 ? 3x ? 5 D. y ? 3? x ? 2?? x ? 3?? x ? 4? ? x 则使得 ? ??,0 ? 上单调递减,且有 f ?3? =0,

C. y ? e x?1 ? 4 x ? 4

10. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,在

f ? x ? ? 0 的 x 的范围为(
A. ? ??,3? B.

) C. ? ??,3? ? ?3, ??? D. ? ?3,3 ?

?3,???

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请将各题的正确答案直接写在 题目中的横线上) 11. 设集合 A ? x x ? x ? 20 ? 0 , B ? x 0 ? x ? 7 , 则 A ? B ?
2

?

?

?

?

12. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时 f ? x ? =x ? x ? 1,则 f ? ?1? =
2

13. 已知幂函数 y ? x 则m?

m? 3

(m ? N * ) 的图像关于 y 轴对称,且在

? 0, ?? ? 上单调递减,

14. 已知函数 f ? x ? ? ?

?? a ? 3 ? x ? 3( x ? 1) ? 在 R 上单调递增,则实数 a 的取值范围为 ? log a x( x ? 1) ?

15.

? x? 表示不超过 x 的最大整数,定义函数 f ? x ? ? x ? ? x? .则下列结论中正确的有
①函数 f ? x ? 的值域为 ?0,1? ③函数 f ? x ? 的图像是一条直线 ②方程 f ? x ? ?

1 有无数个解 2

④函数 f ? x ? 是 R 上的增函数

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
2 16. (本题满分 12 分)已知 A ? 4, a , B ? ?a ? 6, a ? 1, 9? ,若 A ? B ? ?9? ,求 a 的值

?

?

17.(本题满分 12 分)已知函数 y ? 函数 y ?

? x 2 ? 7 x ? 12 的定义域是 A,

a (a ? 0) 在 [0, 2] 上的值域为 B。若 A ? B ,求实数 a 的取值范围. x ?1
2

-2-

18.(本题满分 12 分)函数 f ( x) ? k ? a ? x (k , a 为常数, a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 A(0,1) 和 B(3,8). (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若函数 g ( x) ?

f ( x) ? 1 ,试判断函数 g ( x) 的奇偶性并给出证明. f ( x) ? 1

19. ( 本 题 满 分 12 分 ) 如 图 , ? O A B 是 边 长 为 4 的 正 三 角 形 , 记 ? OAB 位 于 直 线

x ? t (0 ? t ? 6) 左侧的图形的面积为 f ? t ? ,试求 f ? t ? 的解析式

y
B

O

x?t

A? 4,0?

x

20. (本题满分 13 分)已知定义在 ? 0,?? ? 上的函数 f ( x) ,对于定义域内任意的 x、y 恒有

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), x ? 1时f ? x ? ? 0 恒成立。 且当
(1)求 f (1) ; (2)证明:函数 f ( x) 在 (0, ??) 是减函数; (3)若 x ? [1, ?? )时,不等式f (

x2 ? 2 x ? a ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. x

-3-

21. (本题满分 14 分)定义:若函数 f (x) 对于其定义域内的某一数 x0 ,有 f ( x0 ) ? x0 ,则 称 x0 是 f (x) 的一个不动点. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1(a ? 0) . (1)当 a ? 1 , b ? ?2 时,求函数 f (x) 的不动点; (2)若对任意的实数 b,函数 f (x) 恒有两个不动点,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y ? f (x) 图象上两个点 A、B 的横坐标是函数 f (x) 的不动点,且 线段 AB 的中点 C 在函数 g ( x ) ? ? x ?

a 的图象上,求实数 b 的最小值. 5a ? 4 a ? 1
2

(参考公式:若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则线段 AB 的中点坐标为 ?

? x1 ? x2 y1 ? y 2 ? , ?) 2 ? ? 2

-4-

高一数学参考答案
答案 11、 ? 4,7?

1 C

2 B
12、 ?3

3 D
13、1
2

4 B

5 B

6 D

7 B
15、②

8 A

9 A

10 D

14、 3 ? a ? 6

16、解:由题意得 9∈A,∴a =9,a=±3. ……………………………………………………6 分 若 a=3,则 A={4,9},B={-3,4,9},A∩B={4,9},与题意不符,舍去. 若 a=-3,则 A={4,9},B={-9,-2,9},A∩B={9},符合题意,因此 a=-3. ……………12 分 17、解:由 ? x ? 7 x ? 12 ? 0 ,得 A ? ?x | 3 ? x ? 4?……………………………3 分
2

又因为 y ?

a ? a ? (a ? 0) 在 [0, 2] 单调递减,所以 B ? ? y | ? x ? a ? …………6 分 x ?1 ? 5 ?
2

?a ? ?3 由 A? B 得 ?5 ……………………………………………………………………10 分 ?a ? 4 ?
故4 ? a ? 15 …………………………………………………………………………………12 分
18、解: (1)代入二点坐标得 ?

?k ? 1 ?k ? a
?3

?8

∴ k ? 1, a ?

1 ,∴ f ( x) ? 2 x …………4 分 2

(2) g ( x) ?

2x ?1 ,其定义域为 R ……………………………………………………6 分 2x ?1

又 g ( ? x) ?

2?x ? 1 1 ? 2 x 2x ?1 ? ?? x ? ? g ( x) ………………………………………10 分 2?x ? 1 1 ? 2 x 2 ?1

∴函数 g (x) 为奇函数 ……………………………………………………………………12 分

? 3 2 t ? 0 ? t ? 2 ? ????????????????????? 4分 ? ? 2 ? 3 2 ? t ? 4 3t ? 4 3 ? 2 ? t ? 4 ? ?????????????? 8分 19、 f ? t ? ? ? ? ? 2 ? 4 3 ? 4 ? t ? 6 ? ?????????????????????12分 ? ? ?

-5-

20、解: (1)令 x=y=1, ∴ f (1) ? 2 f (1) ,∴ f (1) ? 0 ……………………………3 分 (2)证明:任取 0 ? x1 ? x2 ,则

x2 x ? 1, 由题意得 f ( 2 ) ? 0 x1 x1

? x ? x x ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ? x1 ? 2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x1 ? ? f ( 2 ) = ? f ( 2 ) ? 0 x1 x1 ? x1 ?
? f ( x1 ) ? f ( x2 )
∴函数 f (x) 在 ? 0,??? 上为减函数…………………………………8 分

(3)由(2)知函数 f (x) 在其定义域内为减函数 当 x ? [1, ??)时,不等式f (

x2 ? 2 x ? a x2 ? 2 x ? a ) ? f (1)恒成立, 即 ? 1 恒成立 x x

即 x 2 ? 2 x ? a ? x,即a ? ? x 2 ? x在x ? [1,??) 时恒成立……………………………10 分 ∵ x ? 1时 ? x ? x ? ?( x ? ) ?
2 2

1 2

1 ? ?2, 4

? a ? ?2

故 a 的取值范围是 ? ?2, ?? ? ……………………………………………………………13 分
2 21、(14 分)解: (1) 当 a ? 1 , b ? ?2 时 f ( x) ? x 2 ? x ? 3 ,由 x ? x ? 3 ? x , 解得 x ? 3 或 x ? ?1 ,故所求的不动点为 ? 1 和 3. ……………………………………3 分

(2)令 f ? x ? ? x ,则 ax ? bx ? b ? 1 ? 0 ①
2

由题意,方程①恒有两个不等实根,所以 ? ? b 2 ? 4a(b ? 1) ? 0 ………………………5 分 即 b ? 4ab ? 4a ? 0对任意的b ? R 恒成立,
2
2 则 ?? ? 16a ? 16a ? 0 , ? 0 ? a ? 1 ……………………………………………………8 分

(3)依题意设 A( x1 , x1 ) , B( x2 , x2 ) ( x1 ? x2 ) 则 AB 中点 C 的坐标为 ? 又 AB 的中点在直线 g ( x ) ? ? x ?

? x1 ? x2 x1 ? x2 ? , ? 2 ? ? 2

x1 ? x2 x ?x a a ?? 1 2 ? 2 ∴ x1 ? x 2 ? …………………………10 分 2 2 2 5a ? 4a ? 1 5a ? 4a ? 1 b b a 又 x1 , x2 是方程①的两个根, ? x1 ? x2 ? ? ,即 ? ? , 2 a a 5a ? 4a ? 1 1 1 a2 ∴b ? ? 2 =? =? …………………………12 分 2 1 5a ? 4a ? 1 2 ?1? ?1? ( ? 2) ? 1 ? a ? ? 4? a ? ? 5 a ? ? ? ? ?
?0 ? a ? 1
∴当

a 上 5a ? 4 a ? 1
2

?

1 ?1 a

1 1 ? 2 即a ? 时,bmin= ? 1 …………………………………………………………14 分 a 2
-6-

-7-


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