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2014年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编4—三角函数及解三角形(理科)T


2014 年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编(4) 三角函数及解三角形
1. (2014 新课标 2 理科).钝角三角形 ABC 的面积是

1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=( 2

)

A5

B 5

C2

D

2. (2014 新课标 2 理科).函数

f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________.
? ?

3. (2014 安徽理科)若将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? 轴对称, 则 ? 的最小正值是________.

??

? 的图像向右平移 ? 个单位,所得图像关于 y 4?

4.(2014 安徽理科) 设函数 f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x. 当 0 ? x ? ? 时, f ( x) ? 0 , 则 f(

23? ) ?( 6
B.



A.

1 2

3 2

C.0

D. ?

1 2

5. (2014 安徽卷 理科)设?ABC的内角 A, B , C 所对边的长分别是

a, b, c ,且 b ? 3, c ? 1, A ? 2 B.

(1)求 a 的值; (2)求 sin( A ?

?
4

) 的值.

6. (2014 北京卷 理科)设函数

f ( x) ? sin(? x ? ?)( A , ? , ? 是常数, A ? 0 , ? ? 0) ,若 f ( x)

在区间 [

? ? ? 2 ? , ] 上具有单调性,且 f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) ,则 f ( x ) 的最小正周期为________. 6 2 2 3 6
?

7. (2014 北京卷 理科)如图,在 ?ABC 中, ?B

?
3

, AB ? 8 ,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2 ,

1 . 7 ⑴求 sin ?BAD ; ⑵求 BD , AC 的长. cos ?ADC ?

8. (2014 广东卷 理科)在

?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,已知
a ? b


b cos C ? c cos B ? 2b ,则

9. (2014 广东卷 理科) (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? A sin( x ?

?
4

), x ? R , 且 f(

5 3 ?) ? , 12 2

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) 。 2 2 4 解: (1) f ( 5? ) ? A sin( 5? ? ? ) ? 3 , 12 12 4 2 ? A ? 3 ? 3 , A ? 3 ; f (??) f (?) 2 2 (2) f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin(?? ? ? ) ? 3 , 4 4 2 ? 3[ 2 (sin ? ? cos ? ) ? 2 ( ? sin ? ? cos ? )] ? 3 , 2 2 2 ? ? 6 cos ? ? 3 , cos ? ? 6 ,又 ? ? (0, ) , 4 2 2 ? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 10 , 4 3 f ( ? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin ? ? 30 . 4 4
(2)若 f (? ) ? f (?? ) ? 10. (2014 大纲)设 a ? sin 33?, b ? cos55?, c ? tan 35?, 则 A. a ? b ? c 【答案】C. 11. (2014 陕西)函数 f ( x ) ? cos(2 x ? B. b ? c ? a C. c ? b ? a ( D. c ? a ? b )

(1)求 A 的值;

?
6

) 的最小正周期是(



A.

? 2

B.?

C .2?

D.4?

【答案】

B【解析】?T =

2π 2π = = π,∴选B |ω | 2

12、(2014 四川)为了得到函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点 ( )

A、向左平行移动

1 个单位长度 2

B、向右平行移动

1 个单位长度 2

C、向左平行移动 1个单位长度 【答案】A 【解析】

D、向右平行移动 2 个单位长度

1 1 ? sin( 2 x +1) = sin 2( x + ) ∴ 把y = sin( 2 x)左移动 得到 y = sin( 2 x +1).选A 2 2
13. (2014 辽宁)将函数 y ? 3sin(2 x ? ( )

?
3

) 的图象向右平移

? 个单位长度,所得图象对应的函数 2

A.在区间 [

? 7? ? 7? , ] 上单调递减 B.在区间 [ , ] 上单调递增 12 12 12 12

C.在区间 [ ? 【答案】B 【解析】

? ?

, ] 上单调递减 D.在区间 [ ? , ] 上单调递增 6 3 6 3

? ?

π π π π π π π 把y = 3 sin(2 x + ) = 3 sin 2( x + )的周期T = π,一个增区间为 [- - , - ];右移 后, 3 6 4 6 4 6 2 5. π π π π π π π 7π 增区间为 [ - - , + - ] = [ , ].选B. 2 4 6 2 4 6 12 12
2 14.(2014 新课标 II)设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ?m , m 2

则 m 的取值范围是( A.

) B.

? ??, ?6? ? ? 6, ??

? ??, ?4? ? ? 4, ??

C.

? ??, ?2? ? ? 2, ??

D.

? ??, ?1? ? ?4, ? ?
【答案】 C

? f ( x) = 3 sin

πx |m| 的极值为± 3,即[ f ( x0 )]2 = 3, | x0 |≤ , m 2 2 2 m m 2 ∴x0 +[ f ( x0 )]2 ≥ + 3, ∴ + 3 < m 2 , 解得 | m |> 2.故选C. 4 4


15. (2014 浙江) 为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图像, 可以将函数 y ? 2 sin 3x 的图像 ( A.向右平移

? 个单位 4

B.向左平移

? 个单位 4

C.向右平移 D

? 个单位 12

D.向左平移

? 个单位 12

16.(2014 新课标 I). 如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动 点,角 x 的始边为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线, 垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x ) ,则 y = f ( x ) 在[0, ? ]上的图像大致为

【答案】 :B 【解析】 : 如图:过 M 作 MD⊥OP 于D,则 PM= sin x ,OM= cos x , 在

Rt ?OMP 中,MD=

OM ?PM cos x ?sin x ? ? cos x sin x OP 1

?

1 1 sin 2 x ,∴ f ( x) ? sin 2 x (0 ? x ? ? ) ,选 B. . 2 2

(知值求角) 17.(2014 新课标 I)设 ? ? (0,

?

1 ? sin ? ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?

A . 3? ? ? ?
【答案】 :B

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

【解析】 :∵ tan ? ?

sin ? 1 ? sin ? ? ,∴ sin ? cos ? ? cos ? ? cos ? sin ? cos ? cos ?

? ? ? ? ?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? 2 2 2 2 ?2 ?
∴? ? ? ?

?
2

? ? ,即 2? ? ? ?

?
2

,选 B

18.(2014 新课标 II)钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=(

2

)

A. 5 【答案】B

B.

5

C. 2

D. 1

1 1 1 2 ? S ΔABC = ac sin B = ? 2 ?1? sin B = ∴ sin B = , 2 2 2 2 π 3π π ∴ B = , 或 .当B = 时,经计算ΔABC为等腰直角三角形,不 符合题意,舍去。 4 4 4 3π ∴ B = ,使用余弦定理, b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B, 解得b = 5.故选B. 4
19.(2014 江西)在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, ,若 c ? ( a ? b) ? 6, C ?
2 2

?
3

,则

?ABC 的面积(
A.3 【答案】C 【解析】 B.



9 3 2

C.

3 3 2

D. 3 3

Q c2 ? ? a ? b ? ? b
2

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? b Q a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab cos C ? ab ? 2ab ? b ? ab ? ab ? 6 ?S ? 1 1 3 3 3 ab cos C ? gbg ? 2 2 2 2
1

所以选 C。 20.(2014 重庆)已知?ABC的内角 A,B,C,满足 sin2A+sin(A-B+C=sin(C-A-B)+2 ,面积满足 1≤ S ≤ 2, a,b,c 为三内角 A,B,C 所对的边,则下列不等式成立的是( A. bc(b ? c) ? 8 【答案】A 【解析】 B. ac(a ? c) C. 6 ? abc ? 12 ) D. 12 ? abc ? 24

1 1 ? sin2A+ sin(A - B + C) = sin2A+ sin2B= sin(C - A - B) + = -sin2C+ 2 2 ∴ sin2A+ sin2B+ sin2C= sin2A+ sin2B- sin(2A+ 2B) = sin2A+ sin2B- sin2Acos2B- cos2Asin2B = sin2A(1- cos2B)+ sin2B(1- cos2A)= 4sinAcosAs in 2 B + 4sinBcosBsin 2 A 1 = 4sinAsinB( cosAsinB+ sinBcosBsinA)= 4sinAsinBs inC = 2 ∴8sinAsinBs inC = 1. 1 R2 ? SΔABC = ab sin C = 2 R 2sinAsinBsinC = ∈[1,2]∴ R 2 ∈[4,8] 2 4 3 对A, bc(b + c) > bca = 8R sinAsinBsinC = R 3 ≥23 = 8,∴bc(b + c) > 8成立. 别的选项可以不考虑 .所以,选A.
二.填空题 1. (2014 大纲)若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ( .【答案】 ? ??,2? .

? ? , ) 是减函数,则 a 的取值范围 6 2



2. (2014 江苏) 已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? ) (0≤ ? ? ? ),它们的图象有一个横坐标为 点,则 ? 的值是 .

?
3

的交

3. (2014 上海)设常数 a 使方程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间[0,2 ? ]上恰有三个解 x1 , x2 , x3 ,则

x1 ? x2 ? x3 ?
7π 3



【答案】 【解析】

π sin x + 3 cos x = 2 sin(x + ) = a, x ∈[0,2π] 3 ? 2 sin x = a, 当x ∈[0,2π]时有3根,则x1 = 0, x2 = π, x2 = 2π,x1 + x2 = x2 = 3π π π 7π 当2 sin(x + ) = a, x ∈[0,2π]时,x1 = 0,x2 = ,x3 = 2πx2 ∴x1 + x2 = x2 = 3 3 3
4(2014 安徽)若将函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? 则 ? 的最小正值是
3π 8

?
4

) 的图像向右平移 ? 个单位,所得图像关于 y 轴对称,

.

5. (2014 北京) 设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ,A ? 0, ? ? 0 , 若 f ( x) 在区间 [

? ? , ] 上具有单调性, 6 2

且 f?

?? ? ? 2? ? ?? ? ?? f? ? ? ? f ? ? ,则 f ( x) 的最小正周期为________. ?2? ? 3 ? ?6?

6、 (2014 浙江)如图,某人在垂直于水平地面 面的距离为 ,某目标点 沿墙面的射击线

的墙面前的点 处进行射击训练.已知点 到墙 移动,此人为了准确瞄准目标点 ,需计算由点 则 的最大值

观察点 的仰角 的大小.若

5 3 9
7.(2014 上海)函数 y ? 1 ? 2 cos (2x)的最小正周期是_______ .
2

【答案】

π 2
2

【解析】? y = 1 - 2 cos (2 x) = - cos 4 x ∴ 周期 T =

2π π = 4 2

8. (2014 新课标 II)函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________. 【答案】 1

? f ( x) = sin(x + 2φ) - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ + cos(x + φ) ? sin φ - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ - cos(x + φ) ? sin φ = sin x ≤1.∴ 最大值为 1.
9. (2014 江苏) 若△ ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2 sin C ,则 cos C 的最小值是 ▲ .

10、 (2014 福建)在 ?ABC 中, A ? 60?, AC ? 2, BC ? 3 ,则 ?ABC 等于_________ .2 3 11.(2014 山东)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? tan A ,当 A ?

??? ? ??? ?

?
6

时, ?ABC 的面积为

.

12. (2014 四川)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B , C 的俯角分别为 67 , 30 ,此 时气球的高是 46 cm , 则河流的宽度 BC 约等于____________ m 。 (用 四 舍 五 入 法 将 结 果 精 确 到 个 位 。 参 考 数 据 : sin 67 ? 0.92 ,
?

?

?

A 30° 46m B 67° C

cos 67? ? 0.39 , sin 37? ? 0.60 , cos37? ? 0.80 , 3 ? 1.73 )
【答案】60 【解析】

设A点的射影为O, ? OC = AO 3 = 46 3, OB = AO tan23°= 46cot 67° cos67° 0.39 ∴ BC = OC - OB = 46 3 - 46 = 46 ( 1.731 ) ≈46?1.307 ≈60 sin 67° 0.92
13. (2014 新课标 I)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且

(2 ? b)(sin A ? sin B) ? ( c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为
【答案】 : 3 【解析】 :由 a ? 2 且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,

.

即 (a ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,由及正弦定理得: (a ? b)(a ? b) ? (c ? b)c

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,∴ ?A ? 600 ,∴ b2 ? c 2 ? 4 ? bc ∴ b ? c ? a ? bc ,故 cos A ? 2bc 2
2 2 2

1 4 ? b2 ? c2 ? bc ? bc ,∴ S ?ABC ? bc sin A ? 3 , 2
14. (2014 天津)在 D ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .已知 b - c =

1 a, 4

2sin B = 3sin C ,则 cos A 的值为_______.
解: -

1 4

因为 2sin B = 3sin C ,所以 2b = 3c ,解得 b =

3c , a = 2c . 2

所以 cos A =

b2 + c 2 - a 2 1 =- . 2bc 4

15. (2014 广东)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,已知 b cos C ? c cos B ? 2b , 则

a ? b

.

答案 : 2 a 提示 : 解法一 :由射影定理知b cos C ? c cos B ? a, 从而a ? 2b,? ? 2 . b 解法二:由上弦定理得:sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin B, 即sin( B ? C ) ? 2sin B, a ? sin A ? 2sin B, 即a ? 2b,? ? 2 . b 2 2 2 a ? b ? c a2 ? c2 ? b2 解法三 :由余弦定理得 : b ? ? ? 2b, 即2a 2 ? 4ab, 2ab 2ac a ? a ? 2b, 即 ? 2 . b
三.解答题 1. (2014 重庆)(本小题 13 分, (I)小问 5 分, (II)小问 8 分) 已知函数 f(x)= 3sin? (ωx + φ(ω > 0, 个最高点的距离为π. (I)求 ? 和 ? 的值;
?π 2

≤ φ < ))的图像关于直线 x=3 对称,且图像上相邻两

π

3 ?? 2? ? 3? ?? ? ? cos? ? ? f? ?? ? ?? ? ? 2 4 ?6 3 ? ,求 ? (II)若 ? 2 ?
ω = 2,φ = 【答案】 (I) 【解析】 (I)

? ? ? 的值.

π 6

3 + 15 8 (II)

2π π π T π π π ?ω = 2 ? x = 为对称轴∴ f ( - ) = f ( ) = 0,且 - ≤φ < |ω| 3 3 4 12 2 2 π π π π ∴ f(x)= 3 sin 2( x - ) = 3 sin(2 x - ),φ = - .所以, ω = 2,φ = 12 6 6 6 ?由题可知,周期 T = π ∴T =
(II)

α 3 π 3 π 1 ? f ( )= ∴ 3 sin(α - ) = ,即sin(α - ) = 2 4 6 4 6 4 3π π π π 3 π 1 ? cos(α + ) = sin α = sin[(α - ) + ] = sin(α - ) ? + cos(α - ) ? 2 6 6 6 2 6 2 π 2π π π π 15 ? < α < ∴0 < α - < , cos(α - ) = . 6 3 6 2 6 4 3π 1 3 15 1 3 + 15 3π 3 + 15 ∴ cos(α + ) = ? + ? = .所以, cos(α + ) = 2 4 2 4 2 8 2 8
2. (2014 湖北)(本小题满分 11 分) 某实验室一天的温度(单位: )随时间 (单位:h)的变化近似满足函数关系:

(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差; (Ⅱ)若要求实验室温度不高于 ,则在哪段时间实验室需要降温? 解“ (Ⅰ)因为 f (t ) ? 10 ? 2(

? ? 3 ? 1 ? cos t ? sin t ) = 10 ? 2 sin( t ? ) , 12 3 2 12 2 12 ? ? ? 7? ? ? t? ? 由 0≤t<24,所以 ? , ? 1 ? sin( t ? ) ? 1 . 3 12 3 3 12 3 ? ? ? ? 当 t=2 时, sin( t ? ) ? 1 ;当 t=14 时, sin( t ? ) ? ?1 . 12 3 12 3

于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12℃,最低温度为 8℃,最大温差为 4℃. (Ⅱ)依题意,当 f(t)>11 时,实验室需要降温. 由(Ⅰ)得 f (t ) ? 10 ? 2 sin(

?
12

t?

?
3

) ,故有 10 ? 2 sin(

?
12

t?

?
3

) >11,

即 sin(

?
12

t?

?
3

) <?

1 . 2

又 0≤t<24,因此

7? ? ? 11? ? t? ? ,即 10<t<18. 6 12 3 6

在 10 时至 18 时实验室需要降温. 3. (2014 江苏) (本小题满分 14 分)
5 ? 已知 ? ? ( , ? ) , sin ? ? . 5 2

(1)求 sin( ? ? ) 的值; 4 5? (2)求 cos( ? 2? ) 的值. 6

?

4.(2014 天津)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ? (Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ? x ? 在闭区间 ? ?

? ?

??

3 2 , x?R . ? ? 3 cos x ? 3? 4

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?
1 1 - , 2 4

【答案】

(1) π

(2)

本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调 性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分 13 分. (Ⅰ)解:由已知,有 cosx(sinxcos3 +cosxsin3 )- 3cos2 x + =4 sin2x ?
1 1 3 2 π π 3 1 4

=2 sinxcosx- 2 cos x + 4
3 4

3

2

3

cos 2 x+ 4 =4 sin2x ?

3 1

3 4

(1+cos2x) + 4 =4 sin2x ?


3 1

cos2x

=2 sin? (2x ? 3 )

π

所以, f ( x) 的最小正周期 T= 2 =π
π π π π

(Ⅱ)解:因为 f ( x) 在区间 (? 4 , ? 12 )上是减函数,在区间(? 12 , 4 )上是增函数.

所以,函数 f ( x) 在闭区间上 ? ?

1 1 ? ? ?? , ? 的最大值为 ,最小值为 - . 4 2 ? 4 4?

5.(2014 福建) (本小题满分 13 分) 已知函数

1 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ? . 2 ?

(1)若 0 ? ? (2)求函数

?
2

,且 sin ?

?

2 ,求 f (? ) 的值; 2

f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.

π 2 2 解:方法一:(1)因为 0<α< ,sinα= ,所以 cosα= . 2 2 2 所以 f(α)= 2 ? 2 2? 1 × - + 2 ?2 2? 2

1 = . 2 1 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos2x- 2 1+cos 2x 1 1 1 1 = sin 2x+ - = sin 2x+ cos 2x 2 2 2 2 2 = 2π π 2 ? sin 2x+ ?,所以 T= =π . 2 2 4? ?

π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 1 方法二:f(x)=sin xcos x+cos2x- 2 1+cos 2x 1 1 π 1 1 2 = sin 2x+ - = sin 2x+ cos 2x= sin?2x+ ?. 2 2 2 2 2 2 4? ? π π 2 (1)因为 0<α< ,sinα= ,所以 α= , 2 2 4 从而 f(α)= π 2 ? 2 3π 1 sin 2α + ?= sin = . 2 2 4 2 4 ? ?

2π (2)T= =π . 2

π π π 3π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 4 2 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 6. (2014 江西)已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ,其中 a ? R, ? ? (?

? ?

, ) 2 2

(1)当 a ?

2, ? ?

?
4

时,求 f ( x ) 在区间 [0, ? ] 上的最大值与最小值;

(2)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求 a, ? 的值.

?

2

【解析】 (1)? a ?

2, ? ?

?
4

,

? f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ? sin( x ? ) ? 2 cos( x ? ) 4 2

?

?

2 2 sin x ? cos x ? 2 sin x 2 2 2 2 ……………………………………………………………3 分 ? cos x ? sin x 2 2 ?? ? ? cos ? x ? ? 4? ? ?

又 ? 0 ? x ? ? ,?
2 2

?
4

? x?

?
4

?

5? …………………………………………………………4 分 4

??1 ? f ? x ? ?

? f min ? x ? ? ?1, f max ? x ? ?
(2) ? f ( ) ? sin(

2 ;……………………………………………………………6 分 2

?

?

2

? ? ) ? a cos( ? 2? ) ? cos ? ? a sin 2? ? cos ? ? a 2sin ? cos ? ? 0 2 2

?

又? ? ? ( ?

? ?

, ) ,? cos ? ? 0,? 2a sin ? ? 1 …………………………………………7 分 2 2

? f (? ) ? sin(? ? ? ) ? a cos(? ? 2? ) ? ? sin ? ? a cos 2? ? 1
?? sin ? ? a ?1 ? 2sin 2 ? ? ? 1 ?? sin ? ? a ? 2a sin 2 ? ? 1 ,……………………8 分

? a ? ?1 ……………………………………10 分

? 1 ? ? ? sin ? ? ? ,又?? ? (? , ) ,所以 ? ? ? ………………12 分 6 2 2 2
7、(2014 广东)(12 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值;

?
4

), x ? R ,且 f (

5 3 ?) ? , 12 2

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) . 2 2 4 5? 5? ? 2? 3 3 2 解 : (1) f ( ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? ? 3. 12 12 4 3 2 2 3
(2)若 f (? ) ? f (?? ) ?

(2)由(1)得 : f ( x) ? 3 sin( x ? ), 4

?

? f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ) ? 3 sin(?? ? ) 4 4 ? 3 (sin ? cos

?

?

? cos ? sin ) ? 3 (sin(?? ) cos ? cos( ?? ) sin ) 4 4 4 4 ? 3 ? 2 3 cos ? sin ? 6 cos ? ? 4 2 6 ? 10 ? cos ? ? ,?? ? (0, ),? sin ? ? 4 2 4 3? 3? ? 10 30 ? f ( ? ? ) ? 3 sin( ? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin ? ? 3 ? ? . 4 4 4 4 4
8、(2014 四川) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(3 x ?

?

?

?

?

?
4

)

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 ? 是第二象限角, f ( ) ?

?

3

4 ? cos(? ? ) cos 2? ,求 cos ? ? sin ? 的值。 5 4

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

2kπ π 2kπ π 5 - , + ], k ∈ Z - 2,或 12 2 (Ⅰ) 3 4 3 (Ⅱ) [

π π π π 2kπ π 2kπ π ? f ( x) = sin(3x + ) ∴单调递增区间是 2kπ - ≤3x + ≤2kπ + ,解得 - ≤x ≤ + . 4 2 4 2 3 4 3 12 2kπ π 2kπ π 所以,单调递增区间是 [ - , + ], k ∈Z 3 4 3 12
(Ⅱ)

π α 4 π ? f ( x) = sin(3x + ), α在第二象限∴ cosα - sin α < 0 ? f ( ) = cos(α + ) cos 2α 4 3 5 4 π 2 4 2 即sin(α + ) = (sin α + cosαo= ? (cosα - sin α)(cos2α - sin 2 α) 4 2 5 2 2 ∴ 5(sin α + cosα) = 4(cosα - sin α) (sin α + cosα) 当 sin α + cosα = 0时, sin α = -cosα = 所以,cosα - sin α = - 2,或 5 2 2 5 ,cosα - sin α = - 2;当sin α + cosα ≠ 0时, cosα - sin α = 2 2

9。(2014 山东)(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (m,cos 2x) , 设函数 f ( x) ? a ? b , 且 y ? f ( x) 的图象过点 ( b ? (sin 2x, n) , 和点 (

?

?

? ?

?
12

, 3)

2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 m, n 的值; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? ? ? )个单位后得到函数 y ? g ( x) 的图象.若

y ? g ( x) 的图象上各最高点到点 (0,3) 的距离的最小值为 1,求 y ? g ( x) 的单调增区间.

10. (2014 大纲) (本小题满分 10 分)

?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 3a cos C ? 2c cos A , tan A ?
解:由题设和正弦定理得
3sin A cos C = 2sin C cos A , \ 3tan A cos C = 2sin C .? tan A = 1 , \ cos C = 2sin C , 3

1 ,求 B. 3

\ tan C =
0?

1 tan A + tan C , \ tan B = tan 轾 180? ( A + C ) = - tan ( A + C ) = = - 1, 又 臌 2 tan A tan C - 1
135? .

B < 180癨 , ?B

11. (2014 浙江) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知

a ? b, c ? 3 , cos2 A - cos2 B ? 3sin A cos A - 3sin B cos B.
(I)求角 C 的大小; (II)若 sin A ?

4 ,求 ?ABC 的面积. 5

(I)由题意得,

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 3 3 ? ? sin 2 A ? sin 2 B ,即 2 2 2 2

3 1 3 1 sin 2 A ? cos 2 A ? sin 2 B ? cos 2 B , 2 2 2 2
sin(2 A ? ) ? sin(2 B ? ) , 由 a ? b 得,A ? B , 又 A ? B ? ? 0, ? ? , 得 2 A ? ? 2B ? ? ? , 6 6 6 6
即 A? B ?

?

?

?

?

2? ? ,所以 C ? ; 3 3 4 a c 8 3 ? , 得 a ? ,由 a ? c ,得 A ? C ,从而 cos A ? , 5 sin A sin C 5 5

(II)由 c ? 3 , sin A ?

故 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ?

4?3 3 ,所以 ?ABC 的面积为 10

1 8 3 ? 18 S ? ac sin B ? . 2 25
12. (2014 北京)(本小题 13 分)如图,在 ?ABC 中, ?B ?

?
3

, AB ? 8 ,点 D 在 BC 边上,且

CD ? 2, cos ?ADC ?
(1)求 sin ?BAD

1 7

(2)求 BD, AC 的长

解 :( I ) 在 ?A D C中 , 因 为 COS ?ADC ?

1 4 3 , 所 以 sin ?ADC ? 。 所 以 7 7

sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B) ? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B
4 3 1 1 3 3 3 。 ? ? ? ? 7 2 7 2 14

=

3 3 8? AB ? sin ?BAD 14 ? 3 , ? (Ⅱ)在 ?ABD 中,由正弦定理得 BD ? sin ?ADB 4 3 7
在 ?ABC 中,由余弦定理得 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ? 8 ? 5 ? 2 ? 8 ? 5 ?
2 2 2
2 2

1 ? 49 2

所以 AC ? 7 13. (2014 辽宁) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边 a,b,c,且 a ? c ,已知 BA ? BC ? 2 , cos B ? 求: (1)a 和 c 的值; (2) cos( B ? C ) 的值.

??? ? ??? ?

1 ,b ? 3 , 3

23 【答案】 (1) a = 3, c = 2 (2) 27
【解析】

1 ac a 2 + c2 - b2 ? cos B = , b = 3, BA? BC = ca cos B = = 2,且 cos B = ∴ ac = 6, a + c = 5 (1) 3 3 2ac ? a > c ∴ 解得a = 3, c = 2.所以,a = 3, c = 2
(2)

1 2 2 a 2 + b2 - c2 7 4 2 ? cos B = ∴sin B = ? a = 3, b = 3, c = 2, cosC = = , sin C = 3 3 2ab 9 9 23 23 ∴cos(B - C ) = cos B cosC + sin B sin C = .所以, cos(B - C ) = 27 27
14. (2014 陕西)(本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A, b, c. B, C 所对的边分别为 a,

b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2 sin ? A ? C ? ; (I)若 a , b, c 成等比数列,求 cos B 的最小值. (II)若 a ,
1 2

【答案】 【解析】 (1)

(1) 省略

(2)

? a, b, c成等差, ∴ 2b ? a ? c,即2sinB ? sinA ? sinC. ? sinB ? sin(A ? C),∴.sinA ? sinC ? 2sin(A ? C)
(2)

a 2 + c 2 - b 2 2ac - b 2 2ac - ac 1 ? a, b, c成等比, ∴ b = ac.又cosB= ≥ = = 2ac 2ac 2ac 2 1 仅当a = c = b时,cosB取最小值 , 这时三角形为正三角形 . 2
2

15. (2014 湖南)如图 5,在平面四边形 ABCD 中, AD ? 1, CD ? 2, AC ? 7 . (1)求 cos ?CAD 的值; (2)若 cos ?BAD ? ?

7 21 , sin ?CBA ? ,求 BC 的长. 14 6

【答案】(1) cos ?CAD ? 【解析】

2 7 (2) 3 7

16.(2014 安徽)(本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B.

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin ? A ?

? ?

??

? 的值. 4?

(Ⅰ)因为 A ? 2 B ,所以 sin A ? sin 2 B ? 2 sin B cos B . 由正、余弦定理得 a ? 2b ?

a2 ? c2 ? b2 . 2ac

2 因为 b ? 3 , c ? 1 ,所以 a ? 12 , a ? 2 3 .

(Ⅱ)由余弦定理得 cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 9 ? 1 ? 12 1 ? ?? . 2bc 6 3

2 由于 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ?

1 2 2 ? . 9 3

故 sin( A ?

?
4

) ? sin A cos

?
4

? cos A sin

?
4

?

2 2 2 1 2 4? 2 ? ? (? ) ? ? 3 2 3 2 6

17.(2014 上海)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD ,其中 D 为顶端, AC 长 35 米, CB 长 80 米,设 A、B 在同一水平面上,从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 ?和? . (1)设计中 CD 是铅垂方向,若要求 ? ? 2 ? ,问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)? (2)施工完成后. CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得 ? ? 38.12?,? ? 18.45?, 求 CD 的长 (结果精确到 0.01 米)?

【答案】 【解析】 (1)

(1)

28.28米

(2) 26.93米

h h h h = , tanβ = = DC 35 CB 80 π 2tan β ? > α ≥2β > 0 ∴ tanα ≥tan2β = >0 2 1 - tan2β h 2? h 80 = 2 ? 80h > 0, 解得0 < h ≤20 2 ≈28.28 即 ≥ h 2 802 - h 2 35 1( ) 80 所以,AC的最大长度是28.28米 令DC = h, 则 tanα =
(2)

m 35+ 80 设DC = h, BD = m, 在ΔABD中,由正弦定理得, = , sin38.12 ° sin(38.12 ° +18.45 ° ) 35+ 80 解得m = ? sin38.12 °≈85.064 sin(38.12 ° +18.45 ° ) 在ΔBCD中,由余弦定理得, h 2 = 802 + m 2 - 2 ? 80? m ? cos18.45 ° , 解得h ≈26.93米 所以,AC的长度是26.93米


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