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福建省龙海市第二中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)-含答案

龙海二中 2017—2018 学年下学期期末考 高二数学(理)试题
(满分 150 分, 考试时间 120 分钟)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1.设集合 A ? ?x 0 ? x ? 3?, B ? ?y y ? 2x ?1, x? A? ,则 A? B ? ( )

A. ?0,3?

B. ?2,5?

C. ?2,9?

D. ?2,3?

2.已知 a ? R,i 是虚数单位,复数 z 的共轭复数为 z ,若 z ?a ? 3i ,z ?z ? 4 ,则 a ? ()

A. 3

B.1或 ?1

C. 7 或 ? 7

3.下列 4 个命题中正确的个数是( )

D. ? 3

(1)对于命题 p : ?x0 ? R ,使得 x02 ?1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R 都有 x2 ?1 ? 0
(2)已知 X ~ N ?2,? 2 ?, P ? x ? 2? ? 0.5

(3)已知回归直线的斜率的估计值是 2,样本点的中心为 ?4,5? ,则回归直线方
程为 y? ? 2x ? 3

(4)“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ? 2 ”的充分不必要条件
x

A.1

B.2

C.3

D.4

4. 在 (x ? 2)10 的展开式中, x 6 的系数为 ( )

A. 16C140

B. 32C140

C. ? 8C160

D. ? 16C160

5. 一名老师和四名学生站成一排照相,学生请老师站在正中间,则不同的站法

为( )

A. 4 种

B. 12 种

C. 24 种

D. 120 种

6.篮子里装有 3 个红球,4 个白球和 5 个黑球,球除颜色外,形状大小一致.某人

从篮子中随机取出两个球,记事件 A=“取出的两个球颜色不同”,事件 B= “取

出一个红球,一个白球”,则错误!未找到引用。 = ( )

A.错误!未找到引用。

用。

C. 错误!未找到引用。

引用。错误!未找到引用。

B.错误!未找到引 D. 错误!未找到

7.已知函数 f (x) ? 3x ? (1)x ,则 f (x) ( 3
A.是奇函数,且在 R 上是增函数

) B.是偶函数,且在 R 上是增函数

C.是奇函数,且在 R 上是减函数

D.是偶函数,且在 R 上是减函数

8.设随机变量? B(2, p),? B(4, p) ,若 P(? ? 1)= 5 ,则 P(? ? 2) 的值为( ) 9

A. 16 81

B. 32 81

C. 11 27

D. 65 81

9. 函数 y ? e|x| ? cos x 的图象大致为 ( )

10.函数

的图象如图,则错误!未找到引用。的单调递减区

错误!未找到引用。

y

间是( )

A. 错误!未找到引用。

B.

-3 0 2

错误!未找到引用。

x

C.错误!未找到引用。

D. 错误!未找到引用。

11. 已知定义在 R 上的奇函数 f ? x? 的图象关于直线 x ?1对称,且 f ??1? ? 1,

则 f ?1? ? f (2) ? f (3) ? ? f (2017) 的值为 ( )

A. ?1

B. 0

C. 1

D. 2

12.已知数列1, 2,1,3, 2,1, 4,3, 2,1,5, 4,3, 2,1, …,则此数列的第 60 项是( )

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分).

13.随机变量错误!未找到引用。服从二项分布错误!未找到引用。,且错误!未

找到引用。,则错误!未找到引用。 =__________.

14. 已知函数 f ? x? ? x3 ? x ?1,则曲线 y ? f ? x? 在点 ?0,1? 处的切线与两坐标轴所围

成的三角形的面积为

.

15. 若 (2x ? 1)5 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? a4 x 4 ? a5 x5 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 - a5 的值为___________。

16. 定义:分子为 1 且分母为正整数的分数称为单位分数.我们可以把 1 分拆为

若干个不同的单位分数之和.如错误!未找到引用。,错误!未找到引用。,错

误!未找到引用。,依此类推可得:错误!未找到引用。,其中错误!未找到引

用。,错误!未找到引用。,则错误!未找到引用。 =__________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.(本小题满分 11 分) 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴

建立极坐标系,已知直线 l 的极坐标方程为 2? sin(? ? ? ) ? 3 ? 0 ,曲线 C 的参数 6

方程是

?x

? ?

y

? ?

2 cos ? 2 sin ?



?

为参数).

(Ⅰ)求直线 l 和曲线 C 的普通方程;

(Ⅱ)直线 l 与 x 轴交于点 P ,与曲线 C 交于 A , B 两点,求 PA ? PB .

18.(本小题满分 11 分)已知函数 f (x) ?| x ? a | ? | x ? 2 | . (1)当 a ?1时,解不等式 f (x) ? 4 ; (2) ?x0 ? R, f (x0 ) ?| 2a ?1|,求 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)设命题 p:实数满足 2-4a+3a2<0,其中 a>0,命题 q:

?? x2-x-6≤0, 实数满足???x2+2x-8>0.
(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数的取值范围; (2)若非 p 是非 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 20.(本小题满分 12 分)已知错误!未找到引用。. (Ⅰ)当错误!未找到引用。时,求错误!未找到引用。的极值; (Ⅱ)若错误!未找到引用。在错误!未找到引用。上不单调,求实数错 误!未找到引用。的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)某次运动会在我市举行,为了搞好接待工作,组委会招

募了 16 名男志愿者和 14 名女志愿者,调查发现,男、女志愿者中分别有 10 人

和 6 人喜爱运动,其余不喜爱。

(1)根据以上数据完成以下 2×2 列联表:

喜爱运动

不 喜 爱 运 总计





10

16



6

14

总计

30

(2)根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下

认为性别与喜爱运动有关?

(3)从女志愿者中抽取 2 人参加接待工作,若其中喜爱运动的人数为? ,求

? 的分布列和均值。

参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2

,其中 n ? a ? b ? c ? d.

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

参考数据: P(K 2 ? k0 ) 0.40

k0

0.708

0.25 1.323

0.10 2.706

0.010 6.635

22.已知 f (x) ? x ln x .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小值;

(Ⅱ)求证对一切

x

? (0,

??)

,都有

ln

x

?

1 ex

? 2 成立 ex

.

龙海二中 2017—2018 学年下学期期末考
高二数学(理)参考答案
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.)



111

123456789



012

答 DBDAC BACDAAD


1

3

2

13. 4

14.

15.-1

16.33

17.解:(Ⅰ) 2? sin(? ? ? ) ? 3 ? 0 , 6
化为 3? sin? ? ? cos? ? 3 ? 0 ,

即 l 的普通方程为 x ? 3y ? 3 ? 0 ,

?x

? ?

y

? 2cos? ? 2sin?

消去 ?

,得 C

的普通方程为

x2

?

y2

?

4

.………………5



(Ⅱ)在 x ? 3y ? 3 ? 0 中令 y ? 0得 P(3, 0) ,

∵ k ? ? 3 ,∴倾斜角? ? 5? ,

3

6

∴l

的参数方程可设为

? ?? ?

x

? ??

y

? ?

3 ? t cos 0 ? t sin

5? 6 5? 6

?



??x ?

? ??

y

? 3? ? 1t
2

3t 2,

代入 x2 ? y2 ? 4 得 t2 ? 3 3t ? 5 ? 0 , ? ? 7 ? 0 ,∴方程有两解,

t1 ? t2 ? 3 3 , t1t2 ? 5 ? 0 ,∴ t1 , t2 同号, PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 3 .………………11 分

18.解:(1)当

a

?

1

时,f

(x)

?

4

,即

?x ? ?2 ???2x ?1

?4



??2 ? ??3 ? 4

x

?

1



?x ?1 ??2x ?1

?

4

解得

x

?

?

5 2

或 x ?? 或 x ? 3 ,故此不等式的解集为 (??, ? 5] ?[ 3 , ??) .………………5 分

2

22

(2)因为 f (x) ?| x ? a | ? | x ? 2 |?| (x ? a) ? (x ? 2) |?| a ? 2 | ,因为 ?x0 ? R ,有

f (x0 ) ?| 2a ?1|成立,所以只需| a ? 2 |?| 2a ?1|,化简得 a2 ?1 ? 0 ,解得 a ? ?1 或 a ?1 ,

所以 a 的取值范围为 (??, ?1]?[1, ??) . ………………11 分

19..解:(1)由 2-4a+3a2<0,

得(-3a)(-a)<0. 又 a>0,所以 a<<3a, …………2 分

当 a=1 时,1<<3,即 p 为真命题时,1<<3.

?x2-x-6≤0,

?-2≤x≤3,

由??x2+2x-8>0, 解得??x<-4或x>2, 即 2<≤3.

所以 q 为真时,2<≤3. …………5 分

?1<x<3, 若 p∧q 为真,则??2<x≤3 ?2<<3,所以实数的取值范围是(2,3).………8 分 (2)因为非 p 是非 q 的充分不必要条件,
?a≤2, 所以 q 是 p 的充分不必要条件,于是满足??3a>3, 解得 1<a≤2,故所求 a 的取值范围是(1,2].…………12 分

20. ( Ⅰ ) 当 错 误 ! 未 找 到 引 用 。 时 , 错误!未找到引

………………………………………………………1 分 用。

错误!未找到引用。…………………………………………………………2 分

由错误!未找到引用。得错误!未找到引用。或错误!未找到引用。

由错误!未找到引用。得错误!未找到引用。

错误!未找到引用。在 错误!未找到引用。和错误!未找到引用。上单调递增,在错误!

未找到引用。上单调递减………………………4 分

错误!未找到引用。

错误!未找到引用。 …………………………………………………………6 分 ,

(Ⅱ)错误!未找到引用。,………………………………………………………………………7



错误!未找到引用。在错误!未找到引用。上单调递

增,…………………………………………………………………8 分

所以,要使函数错误!未找到引用。在区间错误!未找到引用。上不单调,只需

错误!未找到引用。, …………………………………………………………………………

10 分

即错误!未找到引用。















用。.…………………………………………………………………………………12 分

21.解:(1)

喜爱运动

不喜爱运动

总计



10

6

16



6

8

14

总计

16

14

30

……2 分

(2)假设:是否喜爱运动与性别无关,由已知数据可求得:

K2 ?

30 ? (10 ? 8 ? 6 ? 6)2

? 1.1575 ? 2.706

(10 ? 6)(6 ? 8)(10 ? 6)(6 ? 8)

因此,在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断喜爱运动与性别有关 6 分

(3)喜爱运动的人数为? 的取值分别为:0,1,2,其概率分别为:

P(? ? 0) ? C82 ? 28 C124 91


P(? ? 1) C61C81 ? 48 C124 91

P(? ? 2) ? C62 ? 15 C124 91

……8

喜爱运动的人数为? 的分布列为:

?

0

1

2

P

28

48

15

91

91

91

……10 分

所以喜爱运动的人数? 的值为: E? ? 0 ? 28 ?1? 48 ? 2 ? 15 ? 78 . 91 91 91 91

… 12 分

22..解(I)函数 f (x) 的定义域为 (0, ??) , f ?(x) ? ln x ?1.


………………1

当 x ? 1 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 为增函数;当 0 ? x ? 1 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 为减函数

e

e

所以函数 f (x) 的最小值为 f (1) ? ? 1 . ee

………………

5分

x2 (Ⅱ)问题等价于证明 x ln x ? ex ? e


………………6

由(I)可知, f (x) ? x ln x 的最小值为 ? 1 ,当且仅当 x ? 1 时取到.

e

e



………………8



g(x)

?

x ex

?

2 e

,

x ?(0, ??) ,则

g?(x)

?

1? x ex

,



………………9

易知

g ( x)max

?

g (1)

?

?1 e

,当且仅当

x

?1 取到,所以

x ln

x

?

x ex

?

2 e

.

从而对一切

x ?(0, ??) ,都有 ln

x

?

1 ex

?

2 ex

成立.



………………12


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