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2013-2014学年广东省揭阳一中高一下学期期中学业水平测试数学试卷(带解析)

2013-2014 学年广东省揭阳一中高一下学期期中学业水平测试数学试 卷(带解析)
一、选择题 1.240 化成弧度制是( A. B. C.
0

) D.

【答案】C 【解析】 试题分析:本题考查度与弧度的互化,利用公式 考点:度与弧度的互化. 2.集合{1,2,3}的真子集共有( A.5 个 B.6 个 C.7 个 ) D.8 个 弧度,可得 .

【答案】C 【解析】 试题分析:本题考查子集的概念,如果一个集合由 n 个元素,那么它有 有 个. 考点:集合的子集个数. 3.函数 在区间( , )内的图象是( ) 个子集,真子集共

【答案】D 【解析】

试题分析:本题考查三角函数的图像,先化简函数解析式 正弦函数的图像可知答案为 D. 考点:三角函数的图像

,利用正切函数和

4.为了得到函数 y=sin(3x+ )的图像,只需把函数 y=sin3x 的图像 ( A.向左平移 【答案】B 【解析】 试题分析:本题考查三角函数的图像变换,由 图像左移了 个单位. B.向左平移 C.向右平移 D.向右平移

)

,可以看出

考点:三角函数的图像变换 5.若角 A. 【答案】A 【解析】 试题分析:本题考查不等式的性质,先根据 考点:不等式的性质 6.设 sinα= A.(-3,4) 【答案】C 【解析】 试题分析:本题考查任意角的三角函数和同角三角函数基本关系式,先根据 ,再根据 得, 终边存在点 ,cosα= ,那么下列的点在角 α 的终边上的是( B.(-4,3) C.(4,-3) D.(3,-4) ) 得 ,再利用不等式的性质得 满足 B. C. ,则 的取值范围是 ( D. )

考点:任意角的三角函数和同角三角函数基本关系式 7.下列函数中,以为 π 最小正周期的偶函数,且在(0, )内递增的是( A.y=sin|x| 【答案】C 【解析】 试题分析:本题考查三角函数的图像和周期的定义,先画出三角函数的图像,再根据周期的 定义及单调性得答案为 C. B.y=|sinx| C.y=|cosx| D.y=cos|x| )

考点:三角函数的图像与性质 8.已知 A.2 B.1 ,则 C.4 D. ( )

【答案】A 【解析】 试题分析:本题考查同角三角函数基本关系式,齐次式求值,先利用分子、分母同除以 原式= ,带人可得答案为 A,

考点:不等式的性质 9.若集合 A. B. C. D. 则 a 的取值范围是( )

【答案】D 【解析】 试题分析:本题考查圆的定义,集合的运算,特别注意 考点:集合的运算 10.以下四个命题中,正确的有几个( ) 和 两种情况.

①直线 a,b 与平面 a 所成角相等,则 a∥b;②两直线 a∥b,直线 a∥平面 a,则必有 b∥ 平面 a;③ 一直线与平面的一斜线在平面 a 内的射影垂直,则该直线必与斜线垂直;④两 点 A,B 与平面 a 的距离相等,则直线 AB∥平面 a A 0个 B 1个C 2个 【答案】A 【解析】 试题分析:本题考查点线面位置关系①直线 a,b 与平面 a 所成角相等,则 a∥b 或相交或异 面三种情况②两直线 a∥b,直线 a∥平面 a,则 b∥平面 a 或 ;③不正确,必须是平面 内的一条直线与平面的一斜线在平面 a 内的射影垂直,则该直线必与斜线垂直; ④两点 A, B 与平面 a 的距离相等,则直线 AB∥平面 a 或 AB 与 相交. 考点:点线面位置关系 二、填空题 1.函数 【答案】 【解析】 的单调减区间是 . D 3个

试题分析:本题考查三角函数的图像与性质,由 考点:三角函数的图像与性质. 2.在半径为 2 的圆中,圆心角为 所对的弧长是 【答案】 【解析】 试题分析:本题考查弧度制下弧长公式,由 考点:弧度制下弧长公式. 3.已知函数 的值为 . 【答案】4 【解析】 试题分析:由零点存在性定理可得 意的整数值. 考点:零点存在性定理. 4.已知圆 【答案】 【解析】 内有零点, 可得. .

,可得单调减区间.

内有零点,若 m 为整数,则 m

,进一步得到关于 m 的不等式,再找出符合题

,则两圆的外公切线段长等于

.

试题分析:先求两圆的圆心和半径,连接圆心和切点及两圆的圆心,得到直角梯形,利用平 面几何知识可得公切线的长度. 考点:圆与圆的位置关系,外公切线长度的计算. 三、解答题 1.求过点 P( 【答案】 【解析】 试题分析:已知直线过一点求直线方程,应分斜率存在和不存在两种情况,斜率不存在时单 独验证,当斜率存在时设为点斜式,再利用弦心距半弦长和半径之间的勾股关系得到关于 k 的方程,解方程可得 k 值,进一步利用点斜式得直线方程. 若直线的斜率不存在即 时,由 解得 ,即 ,则弦长 符合 .由题意可知弦 或 ,且被圆 C: 截得的弦长等于 8 的直线方程。

题意。若直线的斜率存在时,设直线的方程:

心距为 直线方程是 考点:求直线方程.

,所以 或

解得

,直线方程:

.综上所述:

2.集合 A={x|x -ax+a -19=0},B={x|x -5x+6=0},C={x|x +2x-8=0}. (1)若 A∩B=A∪B,求 a 的值; (2)若 A∩B,A∩C= ,求 a 的值.

2

2

2

2

【答案】(1)a=5(2)a=-2 【解析】 试题分析:(1)先化简集合 B 和集合 C,在再进行集合间的有关运算.(2)一定要注意特殊 集合—空集. 由已知,得 B={2,3},C={2,-4} (1)∵A∩B=A∪B,∴A=B ∴2,3 是一元二次方程 x2-ax+a2-19=0 的两个根, 由 (2)由 A∩B ∩ 解得 a=5. ,又 A∩C= ,得 3∈A,2 A,-4 A,

由 3∈A,得 32-3a+a2-19=0,解得 a=5 或 a=-2 当 a=5 时,A={x|x2-5x+6=0}={2,3},与 2 A 矛盾; 当 a=-2 时,A={x|x2+2x-15=0}={3,-5},符合题意. ∴a=-2. 考点:集合的概念及运算. 3.已知

(1)化简

; 的值; 的值。 (2) (3)1

(2)若 是第三象限角,且 (3)求 【答案】(1) 【解析】

试题分析:(1)利用诱导公式化简得 (2) (3) ,再利用诱导公式 ,从而得 得,

(1)

(2) 所以 (3)因为 所以 考点:三角函数的化简求值.

且 时第三象限的角



4.电流强度 I 与时间 t 的关系式 。(1)在一个周期内 如图所 示,试根据图象写出 的解析式;(2)为了使 中 t 在任意一段 秒的 时内 I 能同时取最大值|A|和最小值-|A|,那么正整数 的最小值为多少?

【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)由图可知:

(2)629

,周期 T= (2) 要使 t 在任意一段 秒能取得最大值

,再根据五点法求出 和最小值,必须使得周期 T

即 (1)由图可知: ,周期 T=

由于 为正整数,故 的最小值为 629

当 故图象的解析式为: (2)要使 t 在任意一段 即 由于 为正整数,故 的最小值为 629 考点:考查 5.如图,四棱锥 . 的图像与性质. 中, ∥ , ,侧面 为等边三角形. 秒能取得最大值和最小值,必须使得周期 T

(1)证明: (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值。 【答案】(1)详见解析(2)见解析 【解析】 试题分析:(1)SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直,利用线面垂直的判定定理,所以 (2)利用面面垂直的性质定理,作 ,垂足为 F,

则 ,作 ,垂足为 G,所以 AB 与平面 SBC 所成的角等于 FG 与平面 SBC 所 成的角,进一步利用直角三角形边角关系可得 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.

(1)证明:取 AB 中点 E,连结 DE,则四边形 BCDE 为矩形,DE=CB=2。 连结 SE,则 又 SD=1,故 由 所以 SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。 所以 (2)由 知, 作 ,垂足为 F, 所以 ,得 为直角。

则 作

, ,垂足为 G,则 FG=DC=1。且 ,

所以 AB 与平面 SBC 所成的角等于 FG 与平面 SBC 所成的角。 连结 SG,则 又 故 作 ,H 为垂足,则 , , , .

从而 FG 与平面所成的角为 因为 所以

考点:线面位置关系,线面垂直,线面角的求法. 6.已知定义域为 (1) 对任意的 有 (1)若已知 (2)函数 (3)已知 . 的函数 同时满足以下三个条件: ,则

,总有 ;(2) ;(3) 若 , ,且 成立,则称 为“友谊函数”,请解答下列各题: 为“友谊函数”,求 在区间 的值;

上是否为“友谊函数”?并给出理由. ,使得 且 , 求证:

为“友谊函数”,假定存在

【答案】(1) 【解析】

(2)是友谊函数(3)见解析.

试题分析:(1)利用赋值法由 得 ,再由 得 ,所以 (2)分别验证(1)由指数函数的性质 在 区间 上的最小值为 0,(2)直接带入验证易得 (3)利用做差法直接比较 (3) 先利用单调性的定义 证明抽象函数的单调性,然后再证明 取 得 (2)显然 ,则有 故 在 上满足(1) ;(2) .(3)若 , ,且 得 , 又由 ,

满足条件(1)、(2)、(3),所以 其中 ,且有

为友谊函数. ,不妨设

(3)由 (3)知任给

所以: 下面证明 若 (2)若 综上所述: ,则

. :(i)若 ,则有 ,这与 ,则 ,这与 或 矛盾; 矛盾;

考点:函数的概念与性质.


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