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(必修5优秀课件)2[1].3


2.3 等差数列的前n项和 (第一课时)

聊城二中

徐怀波

? 学习目标 ? 1. 理解等差数列前n项和公式的推导过程;掌握并能熟练运用 等差数列前n项和公式;了解倒序相加法的原理; ? 2. 通过公式的推导过程,体验从特殊到一般的研究方法,渗透 函数思想与方程思想,培养观察、归纳、反思的能力;通过小 组讨论学习,培养合作交流、独立思考等良好的个性品质. ? 学习重点:探索并掌握等差数列的前n项和公式;学会用公式 解决一些实际问题,体会等差数列的前n项和与二次函数之间 的联系. ? 学习难点:等差数列前n项和公式推导思路的获得,灵活应用 等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题 .

温故知新
一.等差数列的定义
一般的,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前 一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做 等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通 常用字母d表示.即an-an-1=d (常数)(n∈N*且 n≥2)

二.等差数列的通项公式

an=a1+(n-1)d

三.记忆并应用等差数列的下列几个常用性质
若数列{an}是公差为d的等差数列,则有

1. an=am+(n-m)d 2.若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,
(其中m、n、p、q均为正整数)

3.若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项 等距离的两项之和都相等,且都等于首末两项 之和 ,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1

数学王子高 斯的故 事
高斯上小学时,有一次数学老 师给同学们出了 一道 题:计算从1到100的自然数之和.那个老师认为, 这些孩子算这道题目需要很长时间,所以他一写完题 目,就坐到一边看书去了.谁知,他刚坐下,马上就有 一个学生举手说:“老师,我做完了.”老师大吃一惊, 原来是班上年纪最小(10岁)的高斯.老师走到他身边, 只见他在笔记本上写着5050,老师看了,不由得暗自 称赞.为了鼓励他,老师买了一本数学书送给他.

思考:你知道聪明的高斯是怎么计算的吗?

高斯是如何快速的计算1+2+3+ …… +100 = ?

计算: 1+ 2+ 3 +… + 98+ 99 + 100
101

s100 ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? 100
100 ? (100 ? 1) ? 2 ? 5050

首尾配对 相加法

由高斯的算法,我们将它稍作修改得:

设S= 1 + 2 + 3 + 4+·+100 · · 则S=100+99+98+96+·+1 · · 以上两式相加得2S=101+101+101+· +101 · ·
100个101

所以2S=101×100=10100

∴S=5050
结论:如果一个数列{an} ,与首末项等距的两项之 和等于首末两项之和,可采用把正着写和与倒着写 和的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一 求和方法称为倒序相加法

请你利用倒序相加法求和:1+2+3+4+…+n=? 记:S=

1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1

? 2 S ? n( n ? 1), n( n ? 1) ?S ? 2
请同学们思考倒序相加法妙在何处?我们能用这种 方法求一般等差数列前n项和吗?

下面推导等差数列的前n项和公式
设在等差数列{an}中前n项分别为 a1,a2,a3,…,an-1, an 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+a3+…+an-2+a +an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (2)
n-1

由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1 所以式子(1)+(2) 得 2

sn=(a1+an)+(a1+an)+… +(a +an)
1

= n(a1+an)



Sn

n( a1 ? an ) ? 2

由此得到等差数列{an}的前n项和公式

Sn

n( a1 ? an ) ? 2

a1 , an , n

即:等差数列前n项的和等于首末项之和与项数乘积的一半. 由等差数列的通项公式 上面的公式又可以写成

an = a1+(n-1)d

n( n ? 1) S n ? na1 ? d 2
题时需根据已知条件决定选用哪个公式.

a1 , d , n

比较:两个公式的共同点是须知a1和n,不同点是前者还需知an.后者须知d.解

公式共涉及到5个量:a1 , d , n, an , Sn .已知其中3个可求另2个

正所谓:知三求二

公式的应用:
根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}的前n项和Sn

(1)a1 ? ?4, n ? 8, d ? 2;
8? 7 解: (1) S8 ? 8 ? (?4) ? ? 2 ? 24 2 20(a1 ? a20 ) (2) S20 ? ? 10 ? (14 ? 32) ? 460 2

(2)a1 ? 14, n ? 20, an ? 32

课堂小结:
1.推导等差数列前 n项和公式的方法

-------倒序相加法
2.公式应用中蕴涵的数学思想 -------函数与方程的思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知其中三个 量,可以求其余两个量 -------知三求二

? P46第2、3题 ? 反思等差数列的求和方法 ? 预习教材例2、例3、例4

谢谢大家! 祝大家学习愉快!


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