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不等式的证明


(2)不等式的证明
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若 a>0, b >0,则 ( a ? b)( A.2

1 1 ? ) 的最小值是 a b
C. 4 2 D.4





B. 2 2

2.分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 A.必要条件 C.充要条件 B.充分条件 D.必要或充分条件





3.设 a、b 为正数,且 a+ b≤4,则下列各式中正确的一个是 A.

( D.



1 1 ? ?1 a b

B.

1 1 ? ?1 a b

C.

1 1 ? ?2 a b

1 1 ? ?2 a b
( )

4.已知 a、b 均大于 1,且 logaC·logbC=4,则下列各式中,一定正确的是 A.ac≥b B.ab≥c C.bc≥a D.ab≤c

5.设 a= 2 ,b= 7 ? 3 , c ? A.a>b>c B.b>a>c

6 ? 2 ,则 a、b、c 间的大小关系是
C.b>c>a D.a>c>b





6.已知 a、b、m 为正实数,则不等式 A.当 a< b 时成立 C.是否成立与 m 无关

a?m a ? b?m b
B.当 a> b 时成立 D.一定成立





7.设 x 为实数,P=ex+e-x,Q=(sinx+cosx)2,则 P、Q 之间的大小关系是 A.P≥Q B.P≤Q C.P>Q D. P<Q





8.已知 a> b 且 a+ b <0,则下列不等式成立的是 A.





a ?1 b

B.

a ?1 b

C.

a ?1 b

D.

a ?1 b
( )

9.设 a、b 为正实数,P=aabb,Q=abba,则 P、Q 的大小关系是 A.P≥Q B.P≤Q C.P=Q D.不能确定

10.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度 m 行走,另一半时 间以速度 n 行走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走,若 m≠n,
1

则甲、乙两人到达指定地点的情况是 A.甲先到 B.乙先到 C.甲乙同时到 D.不能确定





二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.若正数 a、b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是 12.已知 a>1,algb=100,则 lg(ab)的最小值是 13.使不等式 a2>b 2, . .

a ? 1 ,lg(a-b)>0, 2a>2b-1 同时成立的 a、b、1 的大小关系是 b

解:由 lg(a-b)>0,得 a>b 且 a-b>1, 由 2a>2b-1>1 得 a>b-1>0,所以 a>b>1 即 a>b>1 时不等式 a2>b2, a b

>1,成立
故选 C.



14.建造一个容积为 8m3,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分 别为 120 元和 80 元,则水池的最低总造价为 三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15.若 a、b、c 都是正数,且 a+b+c=1, 求证: (1–a)(1–b)(1–c)≥8abc. (12 分) 元.

16.设 a ? 0, a ? 1, t ? 0, 试比较

1 t ?1 log a t与 log a 的大小. (12 分) 2 2

2

17.已知 a,b,c 都是正数,且 a,b,c 成等比数列,求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? b ? c) 2 (12 分)

18.已知 x = a + b ,y = c + d ,且所有字母均为正,求证:xy≥ac + bd. (12 分)

2

2

2

2

2

2

3

19.设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840cm ,画面的宽与高的比为λ (λ <1) ,画面的上 下各留 8cm 空白,左、右各留 5cm 空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用 纸张面积最小?(14 分)

2

20.数列{xn}由下列条件确定: x1 ? a ? 0, xn ?1 ?

1 a ( xn ? ), n ? N . 2 xn

(Ⅰ)证明:对 n≥2,总有 xn≥ a ; (Ⅱ)证明:对 n≥2,总有 xn≥ x n ?1 . (14 分)

4

参考答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 B 5 D 6 A 7 A 8 C 9 A 10 A

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.x≥9 12. 2 2 13.a>b>1 14.1760

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15. (12 分) [证明]:因为 a、b、c 都是正数,且 a+b+c=1, 所以(1–a)(1–b)(1–c)=(b+c)( a+c)( a+b)≥2 16. (12 分) [解析 ]: log t ? 1 ? log a a

bc ·2 ac ·2 ab =8abc.

2

t ? loga

t ?1 2 t

? t ? 0, t ? 1 ? 2 t (当且仅当 t=1 时时等号成立)
(1) 当 t=1 时, log a

?

t ?1 2 t

?1

t ?1 ? log a t 2
2

(2) 当 t

? 1 时,

t ?1 2 t

? 1,

若 a ? 1, 则 log t ? 1 ? 0, log t ? 1 ? 1 log t a a a

2 t

2

若 0 ? a ? 1, 则 log t ? 1 ? 0, log t ? 1 ? 1 log t a a a

2 t

2

2

17. (12 分) [证明]:左-右=2(ab+bc-ac) ∵a,b,c 成等比数列,

b 2 ? ac
∴a ? c ? b

又∵a,b,c 都是正数,所以 0 ? b ?

ac ≤ a ? c ? a ? c
2

∴ 2(ab ? bc ? ac) ? 2(ab ? bc ? b 2 ) ? 2b(a ? c ? b) ? 0 5

∴ a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? b ? c) 2 18. (12 分) [证法一]: (分析法)∵a, b, c, d, x, y 都是正数 只需证:(xy) ≥(ac + bd)
2 2 2 2 2 2 2 2

∴要证:xy≥ac + bd 即:(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 由基本不等式,显然成立

展开得:a c + b d + a d + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 即:a2d2 + b2c2≥2abcd ∴xy≥ac + bd [证法二]: (综合法)xy = a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ? a 2 c 2 ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? b 2 d 2 ≥ a 2 c 2 ? 2abcd ? b 2 d 2 ? (ac ? bd ) 2 ? ac ? bd [证法三]: (三角代换法) ∵x2 = a2 + b2,∴不妨设 a = xsin?, y =c +d
2 2 2

b = xcos? d = ycos?

c = ysin?,

∴ac + bd = xysin?sin? + xycos?cos? = xycos(? ? ?)≤xy 19. (14 分) [解析]:设画面高为 x cm,宽为 ? x cm 则 ? x2=4840. 设纸张面积为 S,有 S=(x +16)( ? x +10) = ? x 2+(16 ? +10) x +160, S=5000+44 10( ? ? 5 ).

?

当8

??

5

5 5 , 即? ? ( ? 1)时S取得最小值 . 8 8 ?
4840

此时,高: x ?

?

? 88cm,

宽:

?x ? ? 88 ? 55cm ,

5 8

答:画面高为 88cm,宽为 55cm 时,能使所用纸张面积最小. 20. (14 分) (I)证明:由 x1 从而有 x

? a ? 0, 及 xn?1 ? 1 ( xn ? a ), 可归纳证明 xn ? 0 (没有证明过程不扣分)
2 xn
1 a a ( xn ? ) ? xn ? ? a (a ? N ). 2 xn xn
所以,当 n ? 2时, x ? a 成立.

n ?1

?

(II)证法一:当 n ? 2时,因为x ? n 所以 x
n ?1 ? xn ?

a ? 0, xn?1 ?

1 a ( xn ? ) 2 xn
故当 n ? 2时, xn ? xn?1成立.

2 1 a 1 a ? xn ( xn ? ) ? xn ? ? ? 0, 2 xn 2 xn

证法二:当 n ? 2时,因为x ? a ? 0, x ? 1 ( x ? a ) n ?1 n 2 xn
1 a ( xn ? ) 2 xn x2 ? a x2 ? x2 故当 n ? 2时, xn ? ? n 2 ? n 2 n ?1 xn 2 xn 2n

所以 xn?1
xn

? xn?1成立 .

6


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