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2012。11 高一数学(半期)试卷


宁化五中 2012-2013 学年度(上期)半期试卷

高一数学
一、 选择题(每小题 3 分,共 36 分) A ) C、 1 ? {0,1} D ) D、 (-∞,+∞) D、 { } ? {0,1 1 } 1、下列关系下正确的是( A、 1? {0,1 }

B、 1? {0,1 }

2、函数 y ? log 2 x 的值域为( .. A、( 0,1) B、 (1,+∞)

C、 (-∞,1)

3、下列函数中,与函数 A、 y ? (

y ? x 相等的是( B )
B、 y ?
3

x )2

x3

C、 y ? C

x2
)

D、 y ?

x2 x

4、若 sin ? ? 0, 且 tan? ? 0 ,则 ? 所在象限是( A、一 5、函数 f(x)= B、二
x2 ?1 的奇偶性为( x

C、三 A )

D、四

A、奇函数
x

B、偶函数

C、既奇又偶

D、非奇非偶 B ) D、( 3 ,4 ) D )
0

6、设 f ( x) ? 3 ? 3x ? 8, 则方程的根落在区间( A、 (0 ,1) B、( 1 ,2 )
0

C、( 2 ,3 )

7、下列角中,与—145 的终边不相同的角是( ... A、215
0

B、—505

0

C、575

0

D、—775

8、 、如右所示的 Venn 图表示了集合 A,B,之 间的关系,则阴影部分表示的是( A、 A ? B C、 (
U

C
A



B、 D、

U

A)? B

U

( A ? B)

9、若一次函数 y ? mx ? b 在 (??,??) 上是减函数,则有( A、 b ? 0 B、 b ? 0 C、 m

D )

?0

D、 m

?0

1

10、设集合 M

? {x | x ? ?1 , N ? {x | x ? k} ,若 M ? N ? ? , }
A ) C、 (?1,??) D、 (??,?1)

则 k 的取值范围是( A、 (??,?1]

B、 [?1,??)

11、李明放学回家的路上,开始和同学边走边讨论问题,走的比较 慢;然后他们 索性停下来将问题彻底解决;最后他快速地回到了家.下列图象中与这一过程 吻合得最好的是(
离 家 的 距 离 离 家 的 距 离

D )
离 家 的 距 离 离 家 的 距 离

时间 B 时间 时间 时间 A C D . . . x 12、 函数 y ? a 与 y ? ? log a x(a ? 0, 且a ? 1) 在同一坐标系中的图像只可能是( A



y 1 0 A. 1 x 1

y

y

y 1

1 x 0 C. 1 x 0 D. 1 x

-1 0 B.

二、填空题

(每题 4 分,共 16 分)
2

13、若 —1∈{2,x,x }则 x=

-1

14、函数 y ?

4? x 的定义域为 ?x | x ? 4且x ? 2? x?2

15、三个数 a ? 0.312 , b ? log 2 0.31 , c ? 2 0.31 之间的大小关系为 b ? a ? c . 16、已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 ,那么不等式
f ( x ) ? 0 的解集是 ?x | x ? ?2或0 ? x ? 2?

三.解答题 17、 (本题满分 6 分)已知集合

U ? {1 2, , , , , }, A ? {2, , }, B ? {1 3, , } 。 , 34567 45 , 57
求: (1) 解:(1)

A? B;

(2)

U

( A ? B)
---------------------------2 分

A ? B ? ?2, , ?? ? , , , ? ? ?5? 4 5 135 7

2

(2)

A ? B ? ?2, , ?? ? , , , ? ? ? , , , , , ? ------------------------------4 分 4 5 135 7 123457
CU ( A ? B) ? ?6? ---------------------------------------------------------------6 分

18、 (本题满分 6 分)解下列不等式 (1)

?1? ?1? ? ? ?? ? ?2? ?2?

x

2? x

(2)lg (x―1)<lg2

1 解: (1) y ? ( ) x 是R上的减函数 2



?1? ?1? ? ? ?? ? ?2? ?2?

x

2? x

得: x ? 2 ? x

解得: x ? 1 ∴不等式的解集为 ?1,???
----------------------------------------------------------2 分 -----------------------------------3 分

(2) 要使不等式有意义,则 x ? 1 ? 0,即x ? 1 又 ∵ y ? lg x是定义域上的增函数

∴由 lg (x―1)<lg2 得 x ? 1 ? 2 即x ? 3 --------------------------------------5 分
1 ∴不等式的解集为 ? ? x ? 3?
-----------------------------------------------------6 分

19、(本题满分 8 分)已知 (1)、试求 f ( x) 的表达式. (2)求

f ( x) ? ? x 2 ? 5 x ? c 且 f (0) ? ?6 ,

x ? ?1,4? 当时,函数 f(x)的值域.

解:∵ f ( x) ? ? x 2 ? 5 x ? c且f ( x) ? ?6
∴ ? 0 ? 5 ? 0 ? c ? ?6
2

解得 c ? ?6 ∴ f ( x) ? ? x ? 5 x ? 6 ---------------------------------------------------------------3 分
2

(2)由(1)得: f ( x)是开口向下且对称轴为 ? x

5 直线的抛物线 2

? 5? ?5 ? ∴ f ( x)在区间?1, ?内是增函数, 在区间? ,4?内是减函数 -----------5 分 ? 2? ?2 ?

3

1 ?5? ?5? ?5? ∴ f ( x)在区间?1, ? 有 f ( x) max ? f ? ? ? ?? ? ? 5 ? ? ? ? 6 ? 4内 4 ?2? ?2? ?2?

2

f (1) ? f (4) ? ?2
∴ f ?x ?min ? ?2 ∴函数 f(x)的值域是(—2,

1 ) -----------------------------------------------------8 分 4

20、 (本题满分 8 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? (1)求 m 的值

m ,且 f (1) ? 2 x

(2)试判断函数 f (x) 在 (0,??) 上的单调性,并用定义加以证明; 解: (1)∵ f ( x) ? 1 ? ∴1 ?

m ,且 f (1) ? 2 x
------------------------------2 分

m ?2 得 1

m ?1
1 x

(2)由(1)得 f ( x) ? 1 ?

f (x) 在 (0,??) 上是减函数。 -------------------------4 分
证明: 任取x1 ? (0,??), x2 ? (0,??), 且x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? (1 ? ∵ x1 ? (0,??), x2 ∴ x1 ? x 2

x ? x1 1 1 1 1 ) ? (1 ? ) ? ? ? 2 x1 x2 x1 x 2 x1 ? x 2

? (0,??), 且x1 ? x2

? 0且x2 ? x1 ? 0
即f ( x1 ) ? f ( x2 )
--------------------------8 分

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

∴ f (x) 在 (0,??) 上是减函数 21. (本题满分 10 分)已知函数

f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2, x ? ? ?5,5? .

① 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值; ② 求实数

a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5?上是单调递增函数。
时 ,函数解析式为 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2

解: (1) 当a ? ?1

4

函数f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 是开口向上、对称轴为直线 x ? ?1 的抛物线

∴ f ( x)在区间?? 5, ? 1内是减函数, 在区间?1,5? 是增函数 ----------2 分 内 ∴ f ( x)在区间?? 5, ? 有 f ( x) min ? f ?1? ? 12 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 5内
f (?5) ? (?5) 2 ? 2 ? (?5) ? 2 ? 37 f (5) ? 5 2 ? 2 ? 5 ? 2 ? 17
∴ f ?x ? max ? 37 (2)函数 ------------------------------------------------------------------------5 分

f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2, x ? ? ?5,5? 是开口向上且对称轴为
2a 即x ? ?a 的抛物线; ----------------------------------------7 分 2 ?1

直线 x ? ?

要使 y ? f ( x) 在区间 ? 5,5 上是单调递增函数 则抛物线的对称轴应在直线 x ? ?5 的左边,即 ? a ? ?5 解得 a ? 5 ∴使 y ? f ( x) 在区间 ? 5,5 上是单调递增函数的实数 是 ?5,? ? ?

?

?

?

?

a 的取值范围

-------------------------------------------------------------------10 分

22. (本题满分 10 分)函数 f ( x) ? log a (3 ? ax)( a ? 0, a ? 1) (1)当 a ? 2 时,求函数 f (x) 的定义域; (2)是否存在实数 a ,使函数 f (x) 在 [1,2] 递减,并且最大值为 1,若存在,求 出 a 的值;若不存在,请说明理由. 解: (1)当 a ? 2 时,函数 f (x) 的解析式为 f ( x) ? log 2 (3 ? 2 x) 要使解析式有意义,则要满足 3 ? 2x ? 0 , 3 解得 x ? ; 2 3 ∴当 a ? 2 时,函数 f (x) 的定义域为 (??, ) 。------------------3 分 2 3 (2)函数 f ( x) ? log a (3 ? ax)( a ? 0, a ? 1) 的定义域为 (??, ) a 3 3 要使函数 f (x) 在 [1,2] 递减,首先要有 (??, ) 包含 [1,2] ,即 ? 2 , a a 3 解得 0 ? a ? 且 a ? 1 ---------------------------------------5 分 2
5

① 当 0 ? a ? 1时 ,令 u ? 3 ? ax ,则 y ? f ( x) ? log a u , 在 [1,2] 内,随着 x 的增大, u 减小,随着 u 的减小, y 反而增大, ∴函数 f (x) 在 [1,2] 内不可能单调递减。 -----------------------7 分

3 ② 当 1 ? a ? 时 ,令 u ? 3 ? ax ,则 y ? f ( x) ? log a u , 2

在 [1,2] 内,随着 x 的增大, u 减小,随着 u 的减小, y 也在减小, ∴函数 f (x) 在 [1,2] 内单调递减; 这时 f ( x) max ? f (1) ? log a (3 ? a ? 1) ? log a (3 ? a) ? 1 ∴ 3 ? a ? a 解得 a ? 又a ?
3 2

3 3 不满足 1 ? a ? 2 2 3 因此 a ? 应舍弃 2 综上所述,不存在满足要求的实数 a 。 ----------------------10 分

6


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