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广西南宁二中2001--2002年下学期高中数学模拟试题答案

广西南宁二中 2001--2002 年下学期高中数学模拟试题答案
一、选择题

1.D 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.A 8.B 9.B 10.D 11.C 12.C 二、填空题

13.[ 5 ,3 ] 2

14.sin15°+cos15°<sin17°+cos17° 15.1

16. a ? a ? m b b?m

三、解答题(17)解:由 y= 2 x ? 2?x 得 2y=2x-2-x,令 t=2x,则有 t2-2yt-1=0。 2

解得 t=y ? y2 ?1 ,又∵t>0,∴t=y+ y2 ?1 ,即 x=log2(y+ y2 ?1 )故

y= log2(x+ x 2 ? 1 ),……6 分

又∵原函数的值域为 R,∵f-1(x)的定义域为 R。……9 分 易得 f-1(x)为奇函数(过程略) ……12 分

18.解:(1) ? ? 2 3(cos 5? ? i sin 5? ) ? 3 2 ? 6 + i 3 2 ? 6 ……6 分

12

12

2

2

注:本小题若用数形结合的方法求解比较简单。

(2)由 ? n ? (2 3)n (cos5n? ? i sin 5n? ) ? R

12

12

可知 sin 5n? ? 0 12

……8 分

即得 5n? ? k? 12

(k? z )

……9 分

即得 5n ? k ,而要 k 为整数,且 n ? N ,1≤n≤100 12

则这样的 n 的个数为 8

……12 分

19.(1)设点 S 在平面 ABC 上的射影为 O,连结 AO、BO、CO。

SA=SB=SC ? OA=OB=OC △ABC 以 BC 不为斜边

? O 为 BC 中点

? SO ? 平面 SBC SO⊥平面 ABC

? 平面 SBC⊥平面 ABC……4 分

(2)∵等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC=2,∴AO=BO+CO=1,

又∵SO=1,∴AB=AC=SA=SB=SC= 2 ,取 SA 中点 E,连结 BE、CE,则有∠BEC 为二面

角 B—SA—C 的平面角 ……6 分

三角形 BCE 中 ,BC=2,BE=CE= 6 ,由余弦定理 cos∠BEC=- 1

2

3

……7 分

故∠BEC=? ? arccos1 3

……8 分

(3)过点 B 作 BF⊥CE 于 F,∵SA⊥BE,SA⊥CE,∴SA⊥平面 BCE,又∵SA ? 平面

SAC,∴平面 SAC⊥平面 BCE,故有 BF⊥平面 SAC,即得 SF 为 SB 在平面 SAC 上的射影,

则∠BSF 为所求……10 分。而 cos∠BEC=- 1 ,且 BE= 6 ,故 BF= 2 3 ,又∵SB= 2 。∴

3

2

3

sin∠BSF= 6 ,即∠BSF=arccos 6 ……12 分

3

3

20.(1)y2=x2+AE2-2x·AE·cos60°……①

……1 分

S△ADE=

1 2

x

?

AE

?

sin

60?

?

3 x ? AE ? 4

3 ? (2a)2 ? 42

3a2 ?2分 2

? x ? AE ? 2a2代入 ① AE ? 2a2 x

y 2 ? x2 ? 4a4 ? 2a2 x2

……4 分

∴ y ? x2 ? 4a4 ? 2a2 x2

(a≤x≤2a)

注:若未给出定义域,扣一分。

……6 分

(2)∵ y ≥

2 4a2 ? 2a2 ?

2a且x 2

?

4a 4 x2

时,即 x=

2 a 时可取到等号

∴当 AD=AE= 2 a 时,DE 最短。

令 t=x2 那么∴ y ?

x2

?

4a 4 x2

? 2a2

=

t ? 4a4 ? 2a2 t

( t ?[ a2 ,4a2 ])

易证(此处证略)y=f(t)= t ? 4a4 ? 2a2 在( t ?[ a2 ,2a2 ])时为减函数,在 t ?[2 a2 ,4a2 ]时 t
为增函数。故 y 的最大值为 f(a2)和 f(4a2)中的最大值。

又∵f(a2)=f(4a2)= 3 a ∴当 DE 为三角形 ABC 的一条中线时,DE 最长。……12 分

21.证明:由 a+c=0,得 c=-a,所以 f(x)=ax2+bx-a。假设 a=0 或| b | ≥2。……2 分 a
①由 a=0,得 f(x)=bx,依题设可知 b≠0,因而函数 f(x)为单调函数。在[-1,1]上,f(x)的最

大值为|b|,最小值为-|b|。……4 分

于是,由此得|b|=2,且-|b|= ? 5 , 与题设矛盾。 2

……6 分

②由| b | ≥2,得 | ? b | ≥1,且 a≠0,于是区间[-1,1]位于抛物线 f(x)=ax2+bx-a 的对

a

2a

称轴的左侧或右侧。……8 分

所以函数 f(x)=ax2+bx-a 在[-1,1]上单调函数,其最大值为|b|,最小值为-|b|。……10 分

与题设矛盾。由①②可得,假设不成立。故 a≠0 且| b | <2。 a

……12 分

22.解:假设满足题意的双曲线 C 存在,并设其离心率为 e,AB 的中点坐标为(x0,x0),点 A

的坐标为(x1,y1),则点 B 的坐标为(2x0 -x1, 2x0 -y1)。∵直线 AB 的斜率 kAB=-1,且

|AB|=2 2

(2x0 ? y1) ? y1 ? ?1 (2x0 ? x1) ? x1 ∴

[(2x0 ? x1) ? x1]2 ?[(2x0 ? y1) ? y1]2 ? 2 2

由此解得或

x1=x0-1

x1=x0+1

……7 分

y1=x0+1

y1=x0-1

不失一般性,取 A(x0-1, x0+1),B(x0+1, x0-1),由于 F(0,0)和 l:x=-1 是对应的焦点

和准线。∵ (x0 ?1)2 ? (x0 ? 1)2 ? (x0 ? 1)2 ? (x0 ?1)2 ? e解得 a ? ?1, e ? 2??12分

| x0 |

| x0 ? 2 |

故满足题意的双曲线 C 存在,其方程为 x2 ? y2 ? 2,即3x2 ? 8x ? y2 ? 4 ? 0??14分 | x ?1|
22.题另解:由题意得:F 点坐标为(0,0)准线 l 的方程为 x=-1。

设双曲线离心率为 e,则由

x2 ? y2 ?e

| x ?1|

可得双曲线方程为:(e2-1)x2+2e2x-y2+e2=0 设直线 AB 方程为:y=-x+m 则由①②得(e2-2)x2+2(e2+m)x-m2+ e2=0

……3 分
① ……4 分 ② ……5 分 ③ ……6 分

设 AB 中点为(x0,y0),则有 x0

?

x1 ? x2 2

?

e2 ? m 2 ? e2

,y0=-x0+m=

?

e2

? me2 2 ? e2

?

m

∵ x0 ? y0, ∴解得 m=-2

……10 分

则③为(e2-2)x2+2(e2-2) x-4+ e2=0……③ 又由|AB|=2 2 可得 e=2

……13 分

代入①即得 3x2 ? 8x ? y2 ? 4 ? 0为所求

??14分

不老的是江山,易逝的是红颜,淡看浮云散,潇洒天地间。人的一生,很短又很长,短的是快乐,长的是烦恼;短的是人生,长的是痛苦。 有些事是命中注定的,有些事是无法掌控的,有些事是不合情理的,有些事是不尽人意的。但无论发生了什么,都要淡然的去面对,坚持自己的原则,无愧于自己的良心,清清白白的做 事,坦坦荡荡的做人。 什么是生活?是它发生在我们身上了,还是我们让它发生了?有人说生活是一杯酒,酸甜苦辣都有,有人说生活是一首歌,莺歌燕舞,多彩多姿,充满了幸福与快乐。 也许有些事情是因为我们经历了,才对这些事情有了深深的感触,即使同一件事情,发生在不同的人身上,也会有不同的感受。 我们总是往往去依赖一些事情,我们的内心,总是容易受外界环境的感染,总在不知不觉中被外在的因素所左右,所羁绊。

比如我新买了一件衣服,朋友说好漂亮啊,明天我也去买一件,我的心情就非常高兴。倘若有人说,你这衣服不好看,我就会有失落感。难道别人的一句赞美就这么重要吗?那是因为, 我的内心有了某种期盼,而一旦这种期盼无法实现,就必然产生落寞与幽怨,心戚戚然。因为你把自己和外界联系在一起了,别人一句话就搅乱了你的心境,所以你的情绪就发生了改变。
很多时候,你把自己变成了情绪的奴隶,把原本快乐的心情交给了别人,让别人成了你快乐的主人。是因为你有欲望,有所求,而一旦你的欲望产生,你的烦恼也就随之产生了。
亲情,爱情以及友情,都是一样,当你对他们的期望值越高,或许你的烦恼就会越多,你的失望就会更高。因为你没有得到你想要的回报,孩子没考上好的大学,爱人没有一份体面的工 作,朋友没有给你及时的帮助。
佛说,一切皆由心生。要想让人生变得快乐,就要找回那个真实的自我。首先要让自己的心获得自由,不受任何牵绊。学会做自己情绪的主人,这是做人的最高智慧。我的快乐我说了算, 与心情有染,与别人无关,嘴长在别人身上,快乐是我自己的感受,我又何必让别人来主宰我的幸福?
人生最大的苦恼,不是拥有的太少,而是想要的太多。欲望越多,痛苦就越多,欲望越少,快乐就会越多。
什么时候你能做到心如止水了,你的人生也就尽善尽美了。要想追求快乐的人生,就要保持一份淡泊明志的心境,不悲不喜,不骄不馁,“达亦不足贵,穷亦不足悲”,豁达通透,荣辱不惊, 静待花开,静赏叶落。
我们无法改变环境,但我们可以转换自己的心情,我们不能改变别人,但我们可以选择掌控自己,我们无可预知未来,但我们可以把握现在。一念天堂,一念地狱,得失往往就在一念之 间。
人生看透但不能看破,看破红尘了,你就无法生存了,看破人情了,你就无法做人了,看破人生了,你就无法前行了。学会用心去悟,悟懂了人生,才会明白,明白了也就快乐了,快乐 了人生也就圆满了。
世界很美,生活很好,不要自寻烦恼。人生苦短,要好好珍惜每一天,不给生命留遗憾。万事不可能皆如人意,花开还有花谢,日出还有日落,四季不可能常绿,只要我们在心中植一树 菩提,生命之树就会四季常青,葱茏如昔!


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