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2014届高考数学基础知识清单:第06章 不等式_图文

高中数学第六章-不等式
考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简 单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义: a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b. (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1) a ? b ? b ? a (对称性) (2) a ? b, b ? c ? a ? c (传递性) (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法单调性) (4) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加) (5) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (异向不等式相减) (6) a. ? b, c ? 0 ? ac ? bc (7) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (乘法单调性) (8) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向不等式相乘)
(9) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a b (异向不等式相除) ? c d

(10) a ? b, ab ? 0 ?

1 1 (倒数关系) ? a b

(11) a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? Z , 且n ? 1) (平方法则)

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(12) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? Z , 且n ? 1) (开方法则) 3.几个重要不等式 (1) 若a ? R, 则 | a |? 0, a 2 ? 0 (2) 若a、b ? R ? , 则a 2 ? b 2 ? 2ab(或a 2 ? b 2 ? 2 | ab |? 2ab) (当仅当 a=b 时取等号) (3)如果 a,b 都是正数,那么
ab ? a ? b (当仅当 a=b 时取等号) . 2

极值定理:若 x, y ? R ? , x ? y ? S , xy ? P, 则: 1 如果 P 是定值, 那么当 x=y 时,S 的值最小; ○ 2 如果 S 是定值, 那么当 x=y 时,P 的值最大. ○ 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.
(4)若a、b、c ? R ? , 则 a?b?c 3 ? abc (当仅当 a=b=c 时取等号) 3

b a (5) 若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b

(6)a ? 0时, | x |? a ? x 2 ? a 2 ? x ? ?a 或 x ? a;

| x |? a ? x 2 ? a 2 ? ?a ? x ? a

(7) 若a、b ? R, 则 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 4.几个著名不等式 (1)平均不等式: 如果 a,b 都是正数,那么
2 a?b ? ab ? ? 1 1 2 ? a b a 2 ? b 2 (当仅当 . 2

a=b 时取

等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数) : 特别地, ab ? (

a ? b 2 a 2 ?b 2 a ? b 2 a 2 ?b 2 (当 a = b 时, ( ) ? ) ? ? ab ) 2 2 2 2
2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? a ? ?b ? c ? ?? ? (a, b, c ? R, a ? b ? c时取等) 3 3 ? ?
2 2 ? 幂平均不等式: a12 ? a 2 ? ... ? a n ?

1 (a1 ? a 2 ? ... ? a n ) 2 n
2

注:例如: (ac ? bd ) ? (a ?b )(c ? d ) .
2 2 2 2

1 常用不等式的放缩法:① 1 ? 1 ? n n ? 1 n(n ? 1)
② n ?1 ? n ?

1 n2

1 1 1 ? ? (n ? 2) n(n ? 1) n ? 1 n

1 n ? n ?1

1 2 n

1 n ? n ?1

? n ? n ? 1(n ? 1)

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(2)柯西不等式: 若a1 , a 2 , a3 ,?, a n ? R, b1 , b2 , b3 ?, bn ? R; 则

2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 ? a 2 b2 ? a3b3 ? ? ? a n bn ) 2 ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? b3 ? ? bn ) an a1 a 2 a3 当且仅当 ? ? ? ? ? 时取等号 b1 b2 b3 bn

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有
f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2

则称 f(x)为凸(或凹)函数. 5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 (1)整式不等式的解法(根轴法). 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结) ,定解. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; g ( x) ? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0
2

(3)无理不等式:转化为有理不等式求解 1 f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? ? 定义域 ○ ? ?
? f ( x) ? g ( x) ?
? f ( x) ? 0

? f ( x) ? 0 ?

2 f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ○ ?

f ( x) ? 0 或? ? g ( x) ? 0 2 ? ? ? f ( x) ? [ g ( x)]

3 ○

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 2 ? ? f ( x) ? [ g ( x)]

(4).指数不等式:转化为代数不等式
a f ( x ) ? a g ( x ) (a ? 1) ? f ( x) ? g ( x); a f ( x ) ? a g ( x ) (0 ? a ? 1) ? f ( x) ? g ( x)

a f ( x ) ? b(a ? 0, b ? 0) ? f ( x) ? lg a ? lg b

(5)对数不等式:转化为代数不等式
? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x)(a ? 1) ? ? g ( x) ? 0 ; ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x)(0 ? a ? 1) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(6)含绝对值不等式 1 应用分类讨论思想去绝对值; ○ 2 应用数形思想; ○
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3 应用化归思想等价转化 ○
g ( x) ? 0 | f ( x) |? g ( x) ? ? ?? g ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? g ( x) ? 0 | f ( x) |? g ( x) ? g ( x) ? 0( f ( x), g ( x)不同时为0)或? ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x) ?

注:常用不等式的解法举例(x 为正数) : ① x(1 ? x) 2 ?

1 1 2 4 ? 2 x(1 ? x)(1 ? x) ? ( ) 3 ? 2 2 3 27
2 x 2 (1 ? x 2 )(1 ? x 2 ) 1 2 3 4 2 3 ? ( ) ? ? y? 2 2 3 27 9

② y ? x(1 ? x 2 ) ? y 2 ?

2 2 类似于 y ? sin x cos x ? sin x(1 ? sin x) ,③ | x ? 1 |?| x | ? | 1 | ( x与 1 同号,故取等) ? 2 x x x

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