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参数方程课件_图文


参数方程

1.曲线的参数方程与普通方程的定义
一般地,在直角坐标系 中,如果曲线上任意一 点的坐标? x , y ?都是某个变数t
? ? ? ? ? ? ? ?

?x ? f t ? ?1?,且对于t的每一个允许值,由方 的函数? 程组?1?所确定的点? x , y ?都 ? ?y ? gt 在这条曲线上,那么方 程组?1?就叫作这条曲线的参数 方程,其中t叫作参变数,
? ? ? ? ? ? ? ?

简称参数。 相对于参数方程,把直 接用坐标? x , y ?表示的曲线方程 f ? x, y ? ? 0 叫作曲线的普通方程

2.直线,圆,椭圆,抛物线的参数方程

? x ? x0 ? t cos ? ? ?t为参数? 直线的参数方程 ? ? y ? y ? t sin ? 0 ?

? x ? a ? r cos ? ? ??为 参 数? 圆的参数方程 ? ? ? y ? b ? r si n ?

? x ? a cos ? ? ??为参数? 椭圆的参数方程 ? ? ? y ? b sin ?
? x ? 2 pt 2 ? t为参数? ? ? 抛物线的参数方程 ? ? p ? 0? ? ? ? ? y ? 2 pt ?

引例

1 ? ?x ? t ? t ? ?t为参数? ? 1 ? y ? t ? ? t ?

直接判断此参数方程所表示的曲线类型 并不容易,但若将参数方程化为熟悉的 普通方程,则比较简单了。

参数方程化成 普通方程

一.代数法消去参数
? x ? 3t ? 1 ? ?t为参数?化成普通方程。 例1 将参数方程? 3 ? ? y ? t

解:由 x ? 3t ? 1得
x ? 1 t ? 3

将其代入 y ? t 得
3

y ?

?x

? 1? 27

3

1 ? ?x ? 1 ? t ? ?t为参数?化为普通方程 例2.将参数方程? ? y ? 1 ? t2 ? ?

1 解:由x ? 1 ? ?t ? 0?得 t 1 ? x ? 1? t ? 1? x 2 将其代入 y ? 1? t 得
1 y ? 1? 2 ?1 ? x ?

利用解方 程求出参 数t ,然后 代入消去 参数。

?x

? 1?

? x ? ?1 ? 3 t ?t为参数?化成普通方程。 例3.将? ? y ? 2 ? 4t 解:将参数方程变形为 通过将两参数
? 4 x ? ?4 ? 12 t ? ? 3 y ? 6 ? 12 t
方程的乘,除, 乘方等运算进 行适当的变形, 通过两个方程 的加,减等代 数运算消去参 数。

两式相加得 普通方程为 4x ? 3 y ? 2 ? 0

? 由题意知t ? 0

1 解:将x ? t ? 两边同时平方得 t 2 1 2 2 ? x ? y ? 2 x ? t ? 2 ? 2 t

1 ? ? x ? t ? t ? ?t为参数?化为普通方程。 例4.将? 1 ? 2 y ? t ? 2 ? t ?

当t ? 0时,x ? 2.当t ? 0时,x ? ?2

? x

2

? y ? 2? x ? 2 ?
或? y ? 2?

练习:
将下列参数方程化成普通方程
2 ? 3 t ? x ? 3t 2 ? 1 ?x ? 1 ? t2 ? ?t为参数? ?2?? ?1? ? (t为参数) ? 2 ? ? y ? t ? ? t2 y ? ? 1 ? 1 ? t2 ?

?x ? t ? t ? ?t为参数? (3) ? 1 ? y ? t ? ? t ?

将参数方程化为 普通方程中,必 须使x,y的取值 范围保持一致。 解:( 1)x ? 3 y ? 1 ? 0( x ? 1) 否则,转化就是 ?2?x ? 3 y ? 0?0 ? x ? 3?或?? 1 ? y ? 0? 不等价的.

?3?x 2

? y2 ? 4

二. 利用三角恒等式消去参数
? x ? 5 cos ? ? ??为参数?化为普通方程。 例5.将? ? ? y ? 5 sin ? 2 2 解:利用sin ? ? cos ? ? 1得到

x ? y ? 25
2 2

思 若? ? ?0,? ?,则普通方程是什么? 考 ? ?? 若? ? ? 0, ?,则普通方程是什么?
? 2?

若? ? ?0, 2? ?,则普通方程是什么?

? x ? sin ? ? cos ? ? ??为参数?化成参数方程。 例6 将? ? ? y ? sin ? cos ?

解:将x ? sin ? ? cos ?两边

2 同时平方得 x ? 1 ? 2 sin ? cos ?

? x ? 1 ? 2y
2

又 ? x ? sin ? ? cos ? ?

? 普通方程为 x ? 1 ? 2 y? x ?
2

? x ?

?? ? 2 sin? ? ? ? 4? ?

2

2?

练习

把下列参数方程化为普通方程

? x ? 5 cos ? ? x ? sin ? ? ? ? ? ? ? (1) ? 为参数, ? ? 0 , ? ??为参数? ?2?? ? ? ? ? y ? 4 sin ? ? y ? cos 2?

? x ? 3 sin ? ? 4 cos ? ? ??为参数? ?3?? ? ? y ? 4 sin ? ? 3 cos ? 2 2 x y ?1? ? 解: ? 1? x ? 5且0 ? y ? 4? 25 16

?2? y ? 1 ? 2 x ?? 1 ? 2 2 ?3?x ? y ? 25
2

x ? 1?

链接高考 ? ?2007广东卷?在直角坐标系中圆C的参数方程? ?
?2008 宁夏
? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ?

x ? 2 cos ?

? ? y ? 2 ? 2 sin ? 2 2 ? ? x ? y ? 2 ? 4 ??为参数?,则圆C的普通方程为 _________
海南卷? 已知曲线C
? ? ? 1? ?

x ? cos ? ? ? ? ?为参数? ? y ? sin ? ?

2 t ? 2 ? ? 2 ? t为参数?,则C ,C 各是什么曲线? 曲线C ? ? 1 2 2 y ? t 2 并指出C1,C 2的公共点的个数。 0?为圆心,以 1为半径的圆, 解: C1是以?0, x ?
普通方程是x 2 ? y 2 ? 1 C 2是直线,普通方程是 x ? y ? C1与C 2有且只有一个交点 2 ? 0

? x ? at ? ? cos ? ?a , b, ?均不为0, 已知参数方程? 0 ? ? ? 2? ?, ? y ? bt ? ? sin ? ?3? ?为参数. 分别取?1?t为参数; ?2? ?为参数; 则方程表示什么曲线?

利用代数法消参得(1)(2)是直线,利 用三角恒等式消参得(3)是圆。

小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参
过程常见方法有两种:

1.代数法:代入法,加减消去法 2.三角法:利用三角恒等式消去参数
化参数方程为普通方程f(x,y)=0:在消参过程 中注意变量x、y取值范围的一致性,必须根 据参数的取值范围,确定f(t)和g(t)值域得x、 y的取值范围。

例2. 如图, 在椭圆 x2 + 8y2 = 8 上求一点 P, 使 P 到直线 l: x – y + 4 = 0的距离最 y 小.

O P

x

小结: 借助椭圆的参数方程, 可以将椭圆上的任意 一点的坐标用三角函数表示, 利用三角知识加以解 决.


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