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广东省珠海市2015届高三9月摸底考试文科数学试卷(带解析)

广东省珠海市 2015 届高三 9 月摸底考试文科数学试卷 (带解析)
1.已知集合 M ? ?2,3, 4? , N ? ?0,2,3,4,5? 则C N M ? ( A. ?2,3,4? 【答案】C 【解析】 试题分析:由题知 CN M ={0,5},故选 C. 考点:集合补集运算 2.为了解 72 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 8 的样本,则分段 的间隔为() A.9 B.8 C.10 D.7 【答案】A 【解析】 试题分析:由系统抽样方法知,72 人分成 8 组,故分段间隔为 72÷8=9,故选 A. 考点:系统抽样方法 3.在等比数列 ?an ? 中,有 a1a5 ? 4 ,则 a3 的值为( ) A. ? 2 【答案】C 【解析】
2 试题分析:由等比数列性质知, a3 ? a1a5 =4,

)

B. ?0, 2,3, 4,5?

C. ?0,5?

D. ?3,5?

B. ? 2

C. 2

D. 4

4.已知复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2 ,则 z ? ( A. ?1 ? i 【答案】D 【解析】 B. ?1 ? i C. 1 ? i

) D. 1 ? i

试题分析:由题知,z=

2 2(1 ? i) ? ? 1 ? i ,故选 D. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i)
) D. y ? ?

考点:复数运算 5.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A. y ? e
?x

B. y ? x

C. y ? ln x

1 x

【答案】B 【解析】 试题分析:由题知,只有 y ? e 与 y=x 的定义域为 R,y=x 在 R 上是增函数,故选 B. 考点:指数函数、对数函数、幂函数的性质 6.如图为某几何体的三视图,则其体积为(
?x



1

A. 2

B. 4

C.

4 3

D.

2 3

【答案】D 【解析】 试题分析:由三视图知,其对应的几何体是底面为直角边长为 2 等腰直角三角形、垂直底面 的侧棱长为 1 三棱锥,其体积为 ?

1 1 2 2 ? 2 ? 1 = ,故选 D. 3 2 3


考点:简单几何体的三视图;简单几何体的体积. 7. 设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2, 且b ? 2 ”的( A.充分条件 C.充分必要条件 【答案】B 【解析】 B.必要条件 D.既非充分又非必要条件

试题分析: 因为 a =1,b =4, 满足 a ? b ? 4 , 但 a ? 2, 且b ? 2 不成立, 故命题: 若a ?b ? 4, 则 a ? 2, 且b ? 2 是假命题,根据不等式性质知,若 a ? 2, 且b ? 2 ,则 a ? b ? 4 是真命题, 故“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2, 且b ? 2 ”的必要条件,故选 B 考点:充要条件
2 8.对任意的 x ?[?2,1] 时,不等式 x ? 2 x ? a ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(



A. ?? ?,0? 【答案】D 【解析】

B. ?? ?,3?

C. ?0,???

D. ?3,???

2 试题分析:设 f ( x ) = x ? 2 x ? a ( x ?[?2,1] ) ,由二次函数图像知,当 x =1 时, f ( x ) 取

最大值 3 ? a ,所以 3 ? a ≤0,解得 a ≥3,故选 D. 考点:二次函数图像与性质 9.若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( )

2

A.

? 2

B.

? 4

C.

? 6

D.

? 8

【答案】B 【解析】 试题分析:由题知,以 AB 为直径的圆的半径为 1,故质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率

1 ? ?12 ? 为2 = ,故选 B. 4 1? 2
考点:几何概型
2 2 10.设点 M ( x0 ,1) ,若在圆 O : x ? y ? 1 上存在点 N,使得 ?OMN ? 30°,则 x0 的取值范

围是(

)

A. ? ? 3, 3 ?

?

?

B. ? ? , ? 2 2

? 1 1? ? ?

C. ?2,2

?

?

D. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

【答案】A 【解析】 试题分析:过 M 作⊙O 切线交⊙O 于 R,根据圆的切线性质,有∠OMR≥∠OMN=30°. 反过来,如果∠OMR≥30°,则⊙O 上存在一点 N 使得∠OMN=30°. ∴若圆 O 上存在点 N,使∠OMN=30°,则∠OMR≥30°.
2 ∵|OR|=1, ∴|OM|>2 时不成立, ∴|OM|≤2, 即 | OM | = x0 解得,? 3 ≤ x0 ≤ 3 , ? 1≤4,

2

故选 A. 考点:直线与圆的位置关系

?x ? 2 y ? 8 ? 11.不等式组 ?0 ? x ? 4 表示的平面区域的面积为______________. ?0 ? y ? 3 ?
【答案】11 【解析】 试题分析:作出可行域如图中阴影部分所示,易求得 C(4,0) ,B(4,2) ,D(0,3) ,A(2,3), 所以阴影部分面积为 12- ? 2 ? 1 =11.

1 2

3

考点:二元一次不等式组表示的平面区域 12.在 ?ABC 中, a ? 1 , b ? 2 , cos C ? 【答案】 3 【解析】
2 2 试题分析: 由余弦定理知,c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C = 1 ? 2 ? 2 ? 1? 2 ?

1 ,则 c ? 2

.

1 =3, 所以 c = 3 . 2

考点:余弦定理 13.若曲线 y ? x ln x上点P 处的切线平行于直线 x ? y ? 1 ? 0 ,则点 P 的坐标是_______. 【答案】 (1,0) 【解析】 试题分析:设 P 点的横坐标为 x0 ,因为 y? = ln x ? 1 ,所以 ln x0 ? 1 ? 1,解得 x0 =1,所以 P(1,0). 考点:导数的几何意义 14.在平面直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ? ___________. 【答案】 3x ? y ? 4 ? 0 【解析】 试题分析:由 x=1+t 得 t=x-1 代入 y=-1+3t 整理得, 3x ? y ? 4 ,即为曲线 C 的普通方程. 考点:参数方程与普通方程互化 15.如图,已知 AB , BC 是圆O的两条弦, AO ? BC , AB ? 3 , BC ? 2 2 ,则圆 O的的半径等于________.
B

?x ? 1? t ( t 为参数)的普通方程为 ? y ? ?1 ? 3t

A

O

C

4

【答案】 【解析】

3 2

试题分析: 设 BC 与 AO 的交点为 D, 由 AO⊥BC 知, D 是 BC 的中点, 因为 BC= 2 2 , 所以 BD = 2 , 所以 AD=1,设半径为 r,则 (r ?1)2 ? ( 2) 2 ? r 2 ,解得 r= 考点:垂径定理

3 . 2

16.已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值;

?
3

), x ? R ,且 f (

5? 3 2 )? 12 2

(2)若角 ? 的终边与单位圆的交于点 P ? ,

? 5? ? ?3 4? ?? ? . ? ,求 f ? ? 12 ? ?5 5?

【答案】(1) 3;(2) 【解析】 试题分析:(1)将

21 2 10

5? 5? 3 2 代入 f ( x ) 的解析式,根据 f ( ) ? ,即可列出关于 A 的方程, 12 12 2

结合诱导公式即可从中解出 A 的值;(2)由三角函数定义即可求出 sin ? ,cos ? ,由(1)知

? 5? f ( x) ? 3 sin( x ? ) ,将 ? ? 代入 f ( x) 即可得到关于 ? 的函数,再利用两角和与差的 3 12
三角公式展开将 f ?

? 5? ? ? ? ? 化为关于单角 ? 三角函数,将 sin ? ,cos ? 的值代入上述展开式 ? 12 ?

即可得出 f ?

? 5? ? ? ? ? 的值. ? 12 ? 5? 5? ? 3? 3 2 3 2 ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? 2 ? 3. 12 12 3 4 2 2
4分

试题解析: (1) f (

4 3 ? , cos ? ? ,且由(1)得: f ( x) ? 3 sin( x ? ) 6分 5 5 3 5? 5? ? 3? ? f ( ? ? ) ? 3sin( ? ? ? ) ? 3sin( ? ? ) 12 12 3 4 3? 3? ? 3sin cos ? ? 3cos sin ? 10 分 4 4
(2)由题意可知 sin ? ?

5

?

21 2 10

12 分

考点:诱导公式;三角函数定义;两角和与差的三角公式;运算求解能力;方程思想 17.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的 4 次预赛成绩记录如下: 甲 82 84 79 95 乙 95 75 80 90 (1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (2)①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差,②若现要从中选派一人参加数学竞赛,根据你 的计算结果,你认为选派哪位学生参加合适? 【答案】(1)
?
?

1 ; 2

2 2 (2) ① x甲 = x乙 =85; S甲 =36.5, S乙 =62.5;②甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.

【解析】 试题分析:(1)用列举法,列举出从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个所以基本事件,计 算基本事件数 n,找出满足甲的成绩比乙高的基本事件,计算其包含的基本事件数 m,利用 古典概型公式即可求出所求的概率; (2)先利用样本平均值公式计算出甲、乙的平均成绩, 再利用方差公式求出甲、乙的方差;若甲、乙的平均值不同,谁的均值大说明谁的水平高, 就应该派该同学去,若甲、乙的平均值相同,说明甲乙的水平相当,谁的方差小,说明该同 学的成绩稳定,应派该同学去. 试题解析: (1)记甲被抽到的成绩为 x ,乙被抽到成绩为 y ,用数对 ? x, y ? 表示基本事件:

?82,95? , ?82, 75? , ?82,80 ? , ?82,90 ? , ?84,95? , ?84, 75? , ?84,80 ? , ?84,90 ? , ? 79,95? , ? 79, 75? , ? 79,80 ? , ? 79,90 ? , ? 95,95? , ? 95, 75? , ? 95,80 ? , ? 95,90 ? ,
基本事件总数 n ? 16 3分 记“甲的成绩比乙高”为事件 A,事件 A 包含的基本事件:

?82, 75? , ?82,80 ? , ?84, 75? , ?84,80 ? , ? 79, 75? , ? 95, 75? , ? 95,80 ? , ? 95,90 ? ,
事件 A 包含的基本事件数 m ? 8 ,所以 P ? A ? ? 所以甲的成绩比乙高的概率为 (2)①

4分

m 8 1 ? ? n 16 2

5分

1 2

6分

? 1 x甲 ? (82 ? 84 ? 79 ? 95) ? 85 , 4

1 (95 ? 75 ? 80 ? 90) ? 85 7分 4 1 2 S甲 ? [(79 ? 85) 2 ? (82 ? 85) 2 ? (84 ? 85) 2 ? (95 ? 85) 2 ] ? 36.5 4 x乙 ?

?

9分

6

1 2 S乙 ? [(75 ? 85) 2 ? (80 ? 85) 2 ? (90 ? 85) 2 ? (95 ? 85) 2 ] ? 62.5 4

2 2 x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙 , ? 甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. ? ?

11 分 12 分

考点:古典概型;样本均值与方差计算;总体估计;应用意识 18.在如图所示的多面体中,四边形 ABB1 A 1 都为矩形. 1 和 ACC1 A (Ⅰ)若 AC ? BC ,证明:直线 BC ? 平面 ACC1 A 1; (Ⅱ)是否存在过 AC 1 的平面 ? ,使得直线 BC1 / /? 平行,若存在请作出平面 ? 并证明, 若不存在请说明理由.
A1 B1 C1

A B

C

【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)存在,证明见解析 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由四边形 ABB1 A 1 都为矩形知, AA 1 和 ACC1 A 1 ⊥AB, AA 1 ⊥AC,由线面 垂直判定定理知 AA1 ⊥面 ABC,由线面垂直定义知 AA1 ⊥BC,又因为 AC⊥BC,由线面垂直判 定定理知, BC⊥面 ACC1 A (Ⅱ)取 AB 的中点为 M,连结 AC1 交 AC 1; 1 于 D,连结 DE,显 然 E 是 AC1 的中点, 根据三角形中位线定理得, DE∥ BC1 , 又由于 DE 在面过 AC 1 的平面内, 根据线面平行的判定定理知 BC1 和该平面平行. 试题解析: (Ⅰ)证明:因为四边形 ABB1 A 1 都是矩形, 1 和 ACC1 A 所以 AA 1 ? AB, AA 1 ? AC 因为 AB, AC 为平面 ABC 内的两条相交直线, 所以 AA 1 ? 平面ABC 因为直线 BC ? 平面 ABC ,所以 AA1 ? BC 4分 2分

7

又由已知, AC ? BC, AA 1 , AC 为平面 ACC1 A 1 内的两条相交直线, 所以 BC ? 平面 ACC1 A 1 (Ⅱ)存在
A1 B1 D A M B C

7分 8分
C1

连接 AC 1 ? AC1 ? D ,取线段 AB 的中点 M,连接 A 1 , AC1 ,设 AC 1M , MC . 则平面 ACM 为为所求的平面 ? . 1 由作图可知 M , D 分别为 AB、 AC1 的中点, 所以 MD / / 11分

1 BC1 2

13 分

又因为 MD ? ? , BC1 ? ? 因此 MD / /? 14 分 考点: 空间线面垂直垂直的判定与性质;线面平行的判定;推理论证能力 19.设 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 y ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭 a 2 b2

2

圆 E 于 A, B 两点, | AF 1 |? 3| BF 1 | ,且 | AB |? 4, ?ABF2 的周长为 16 (1)求 | AF2 | ; (2)若直线 AB 的斜率为 1 ,求椭圆 E 的方程. 【答案】(1) 5;(2) 【解析】 试题分析: (1) 由 | AF 1 |? 3| F 1B |,| AB |? 4 ,得: | AF 1 |? 3,| F 1 B |? 1 ,由椭圆的定义及

x2 y 2 ? ?1 16 8

?ABF2 的周长为 16 知,4a=8,求出 a,再利用椭圆的定义即可列出关于 | AF2 | 的方程,
2 2 2 即可解出 | AF2 | ;(2)由(1)知 a =4,利用 a ? b ? c 将 c 用 b 表示出来,根据已知条件

8

写出直线 AB 的方程,与椭圆方程联立,消去 x 得到关于 y 的一元二次方程,求出出 A、B 两点纵坐标,由 | AF 1 |? 3| BF 1 | 知 A、B 纵坐标的关系式,列出关于 b 的方程,求出 b,即 得到椭圆的方程. 试题解析:(1)由 | AF 1 |? 3| F 1B |,| AB |? 4 ,得: | AF 1 |? 3,| F 1 B |? 1 因为 ?ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a ? 16,| AF 1 | ? | AF2 |? 2a ? 8 故 | AF2 |? 2a? | AF 1 |? 8 ? 3 ? 5 4分 1分 3分

(2)由(1)可设椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 , F1 (?c,0) ,其中 c ? 16 ? b2 16 b
5分

设直线 AB 的方程为 y ? x ? c ,即 x ? y ? c , 代入椭圆方程得:

b 2 ? y ? c ? ? 16 y 2 ? 16b 2
2

6分

整理得:

?b

2

? 16 ? y 2 ? 2b 2 cy ? b 4 ? 0

8分

? ? 4b 4 c 2 ? 4b 4 ? b 2 ? 16 ? ? 128b 4

2b 2 c ? 8b 2 2 2b 2 c ? 8b 2 2 y1 ? , y2 ? 2 ? b 2 ? 32 ? 2 ? b 2 ? 32 ?
由 | AF 1 |? 3| BF 1 | 知 y1 ? ?3 y2 , 得 2b c ? 8b
2 2

10 分

2 ? ?3 2b2c ? 8b2 2

?

?

12 分

2 2 又由于 c ? 16 ? b 解得 c ? 2 2 , b ? 8

所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 16 8

14 分

考点:椭圆的定义;直线与椭圆的位置关系;运算求解能力 20.设函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (1 ? a) x 2 ? ax ,其中 a ? 1 3 2

(1)求 f ( x ) 在的单调区间; (2)当 x ? [1,3] 时,求 f ( x ) 最小值及取得时的 x 的值. 【答案】(1) (??,1)和(a, ??) 为 f ( x ) 单调递增区间, (1, a ) 为 f ( x ) 单调递减区间;

9

(2)当 a ≥3 时, 当 x =3 时, f ( x ) 取最小值 f (3) ? 取最小值 f (3) ? 【解析】

3a ? 15 , 当 a <3 时, 当 x ? a 时, f ( x ) 2

3a ? 15 2

试题分析:(1)先求出的导函数,由 f ?( x ) >0 解出的区间即为 f ( x ) 增区间,由 f ?( x ) <0 解出的区间即为 f ( x ) 减区间; (2)将 a 分成大于等于 3 与小于 3 两类,当 a 大于等于 3 时, 由(1)知 f ( x ) 在[1,3]是单调递减函数,利用函数单调性即可求出 f ( x ) 在[1,3]上的最小 值及对应的 x 值;当 a 小于 3 时,由(1)知 f ( x ) 在[1, 故当 x = a 时, f ( x ) 取最小值,即可求得最小值 f ( a ) . 试题解析: (1) f ( x ) 的定义域为 (??, ??) , f ?( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? a 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1, x2 ? a 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 或 x ? 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? x ? a 2分 3分 5分 1分

a ]是减函数,在[ a ,3]是增函数,

故 (??,1)和(a, ??) 为 f ( x ) 单调递增区间, (1, a ) 为 f ( x ) 单调递减区间. (2)因为 x ? [1,3] ,所以 (ⅰ)当 a ? 3 时,由(1)知, f ( x ) 在[1,3]上单调递减, 所以 f ( x ) 在 x ? 3 时取得最小值, 最小值为: f (3) ? 8分 9分 7分

3a ? 15 2

(ⅱ)当 1 ? a ? 3 时, 由(Ⅰ)知, f ( x ) 在[0, a ]上单调递减,在[ a ,3]上单调递增, 所以 f ( x ) 在 x ? a 处取得最小值,最小值为: 又 f (a) ? 12 分 11 分

1 2 1 3 a ? a , 2 6

13 分

9 ? 3a ; 2 1 2 1 3 当 1 ? a ? 3 时, f ( x ) 在 x ? a 处取得最小值 f (a ) ? a ? a . 2 6
所以当 a ? 3 时, f ( x ) 在 x ? 3 处取得最小值 f (3) ?

14 分

10

考点:常见函数的导数;函数单调性与导数的关系;函数的最值;分类整合思想

11


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