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2014年高考真题解析分类汇编纯word可编辑-数学理-G单元 立体几何


数 G 单元 立体几何 学 G1 空间几何体的结构 20. 、 、[2014· 安徽卷] 如图 15,四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,A1A⊥底面 ABCD,四边 形 ABCD 为梯形,AD∥BC,且 AD=2BC.过 A1,C,D 三点的平面记为 α,BB1 与 α 的交点 为 Q. 图 15 (1)证明:Q 为 BB1 的中点; (2)求此四棱柱被平面 α 所分成上下两部分的体积之比; (3)若 AA1=4,CD=2,梯形 ABCD 的面积为 6,求平面 α 与底面 ABCD 所成二面角的 大小. 20.解: (1)证明:因为 BQ∥AA1,BC∥AD, BC∩BQ=B,AD∩AA1=A, 所以平面 QBC∥平面 A1AD, 从而平面 A1CD 与这两个平面的交线相互平行, 即 QC∥A1D. 故△QBC 与△A1AD 的对应边相互平行, 于是△QBC∽△A1AD, BQ BQ BC 1 所以 = = = ,即 Q 为 BB1 的中点. BB1 AA1 AD 2 (2)如图 1 所示,连接 QA,QD.设 AA1=h,梯形 ABCD 的高为 d,四棱柱被平面 α 所分 成上下两部分的体积分别为 V 上和 V 下,BC=a,则 AD=2a. 图1 1 1 1 V 三棱锥 Q A1AD= × ·2a·h·d= ahd, 3 2 3 第 1 页 共 72 页 1 ? 1 1 a+2a V 四棱锥 Q ·d·? ABCD= · ?2h?=4ahd, 3 2 7 所以 V 下=V 三棱锥 Q A1AD+V 四棱锥 Q ahd. ABCD= 12 3 又 V 四棱柱 A1B1C1D1 ?ABCD= ahd, 2 V上 11 3 7 11 所以 V 上=V 四棱柱 A1B1C1D1 ?ABCD-V 下= ahd- ahd= ahd,故 = . 2 12 12 V下 7 (3)方法一:如图 1 所示,在△ADC 中,作 AE⊥DC,垂足为 E,连接 A1E. 又 DE⊥AA1,且 AA1∩AE=A, 所以 DE⊥平面 AEA1,所以 DE⊥A1E. 所以∠AEA1 为平面 α 与底面 ABCD 所成二面角的平面角. 因为 BC∥AD,AD=2BC,所以 S△ADC=2S△BCA. 又因为梯形 ABCD 的面积为 6,DC=2, 所以 S△ADC=4,AE=4. π AA1 于是 tan∠AEA1= =1,∠AEA1= . AE 4 π 故平面 α 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 . 4 → 方法二:如图 2 所示,以 D 为原点,DA,DD1分别为 x 轴和 z 轴正方向建立空间直角 坐标系. 设∠CDA=θ,BC=a,则 AD=2a. 因为 S 四边形 ABCD= 2 所以 a= . sin θ a+2a ·2sin θ =6, 2 图2 4 从而可得 C(2cos θ ,2sin θ ,0),A1?sin θ ,0,4?, ? ? 4 → 所以 DC=(2cos θ ,2sin θ ,0),DA1=?sin θ ,0,4?. ? ? 设平面 A1DC 的法向量 n=(x,y,1), 第 2 页 共 72 页 → ·n= x+4=0, ?DA sin θ 由? → ?DC · n=2xcos θ +2ysin θ =0, 1 4 ?x=-sin θ , ? 得? ?y=cos θ , ? 所以 n=(-sin θ ,cos θ ,1). 又因为平面 ABCD 的法向量 m=(0,0,1), 2 n· m

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