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东辽县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

东辽县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 设命题 p:函数 y=sin(2x+ A.p 为假 ( A.2+ ) B.1+ C. 中,已知 B.24 ) C. 3 3 ) D. 4 3 D. ,则 C.36 ( ) D.48 )的图象向左平移 个单位长度得到的曲线关于 y 轴对称;命题 q:函数 )

姓名__________

分数__________

y=|2x﹣1|在[﹣1,+∞)上是增函数.则下列判断错误的是( B.¬q 为真 C.p∨q 为真 D.p∧q 为假

2. 一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为 45°,腰和上底的长均为 1 的等腰梯形,那么原四边形的面积是

3. 在等差数列 A.12

3x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C: 3x ? 4 y ? 4 ? 0 上任意 4. 已知直线 m: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 交于 A、B 两点,P 为直线 n:
一点,则 ?PAB 的面积为( A. 2 3 5. 复数 B.

3 3 2

的虚部为( D.2i

A.﹣2 B.﹣2i C.2

6. 如果一个几何体的三视图如图所示,主视图与左视图是边长为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形,(单 位:cm),则此几何体的表面积是( )

A.8cm2 B.

cm2 C.12 cm2

D.

cm2 ,则下列点中不能使 u=2x+y 取得最大值的是( )

7. 实数 x,y 满足不等式组

A.(1,1) B.(0,3) C.( ,2) D.( ,0)

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8. 已知函数 f(x)=x2﹣6x+7,x∈(2,5]的值域是( A.(﹣1,2] A.S18=72 C.S20=80 10.设 a 是函数 A.f(x0)=0 B.f(x0)<0 C.f(x0)>0 D.f(x0)的符号不确定 B.(﹣2,2]

) )

C.[﹣2,2] D.[﹣2,﹣1) B.S19=76 D.S21=84 x 的零点,若 x0>a,则 f(x0)的值满足( )

9. Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 3a8-2a7=4,则下列结论正确的是(

11.设 f ( x ) 是偶函数,且在 (0, ??) 上是增函数,又 f (5) ? 0 ,则使 f ( x) ? 0 的的取值范围是( A. ?5 ? x ? 0 或 x ? 5 12.已知函数 f(x)=2x﹣ B. x ? ?5 或 x ? 5 C. ?5 ? x ? 5



D. x ? ?5 或 0 ? x ? 5

+cosx,设 x1,x2∈(0,π)(x1≠x2),且 f(x1)=f(x2),若 x1,x0,x2 成等 )

差数列,f′(x)是 f(x)的导函数,则( A.f′(x0)<0 C.f′(x0)>0 B.f′(x0)=0 D.f′(x0)的符号无法确定

二、填空题
13.从等边三角形纸片 ABC 上,剪下如图所示的两个正方形,其中 BC=3+ 的最小值为 . ,则这两个正方形的面积之和

14.已知随机变量 ξ﹣N(2,σ2),若 P(ξ>4)=0.4,则 P(ξ>0)= 15.命题“若 a>0,b>0,则 ab>0”的逆否命题是 16.在△ ABC 中,已知
2



(填“真命题”或“假命题”.) . . .

=2,b=2a,那么 cosB 的值是
m2 ?2m?1

17.幂函数 f ( x) ? (m ? 3m ? 3) x 18.设 x, y 满足条件 ?

在区间 ?0,??? 上是增函数,则 m ?

? x ? y ? a, ,若 z ? ax ? y 有最小值,则 a 的取值范围为 x ? y ? ? 1, ?
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三、解答题
19.(本小题满分 12 分) 中央电视台电视公开课《开讲了》需要现场观众,先邀请甲、乙、丙、丁四所大学的 40 名学生参加,各 大学邀请的学生如下表所示: 大学 人数 甲 8 乙 12 丙 8 丁 12

从这 40 名学生中按分层抽样的方式抽取 10 名学生在第一排发言席就座. (1)求各大学抽取的人数; (2)从(1)中抽取的乙大学和丁大学的学生中随机选出 2 名学生发言,求这 2 名学生来自同一所大学的 概率.

20.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=|x-a|+|x+b|,(a≥0,b≥0). (1)求 f(x)的最小值,并求取最小值时 x 的范围; (2)若 f(x)的最小值为 2,求证:f(x)≥ a+ b.

21.已知 p:2x2﹣3x+1≤0,q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0 (1)若 a= ,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围. (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

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22.求下列函数的定义域,并用区间表示其结果. (1)y= (2)y= + . ;

23. BD 为圆 O 的任意两条直径, CF 是圆 O 所在平面的两条垂线, 如图, 已知 AC, 直线 AE, 且线段 AE=CF= AC=2. (Ⅰ)证明 AD⊥BE; (Ⅱ)求多面体 EF﹣ABCD 体积的最大值.



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2 x 24.【海安县 2018 届高三上学期第一次学业质量测试】已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? a e ,其中 a ? R , e 是

?

?

自然对数的底数. (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 0 处的切线方程; (2)求函数 f ? x ? 的单调减区间; (3)若 f ? x ? ? 4 在 ?4,0 恒成立,求 a 的取值范围.

?

?

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东辽县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:函数 y=sin(2x+ 当 x=0 时,y=sin 故命题 p 为假命题; 函数 y=|2 ﹣1|在[﹣1,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数. 故命题 q 为假命题; 则¬q 为真命题; p∨q 为假命题; p∧q 为假命题, 故只有 C 判断错误, 故选:C 2. 【答案】A 【解析】解:∵四边形的斜二侧直观图是一个底角为 45°,腰和上底的长均为 1 的等腰梯形, ∴原四边形为直角梯形, 且 CD=C'D'=1,AB=O'B= ∴直角梯形 ABCD 的面积为 故选:A. ,高 AD=20'D'=2, ,
x

)的图象向左平移

个单位长度得到 y=sin(2x+

)的图象,

=

,不是最值,故函数图象不关于 y 轴对称,

3. 【答案】B

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【解析】 ,所以 答案:B 4. 【答案】 C 【解析】解析:本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算. 圆心 C 到直线 m 的距离 d ? 1 ,| AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 2 3 ,两平行直线 m、n 之间的距离为 d ? ? 3 ,∴ ?PAB 的面积为 ,故选 B

1 | AB | ?d ? ? 3 3 ,选 C. 2
= = =1+2i 的虚部为 2.

5. 【答案】C 【解析】解:复数 故选;C. 【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,属于基础题. 6. 【答案】C 【解析】解:由已知可得:该几何体是一个四棱锥, 侧高和底面的棱长均为 2,
2 故此几何体的表面积 S=2×2+4× ×2×2=12cm ,

故选:C. 【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积,空间几何体的三视图,根据已知判断几何体 的形状是解答的关键. 7. 【答案】 D 【解析】解:由题意作出其平面区域, 将 u=2x+y 化为 y=﹣2x+u,u 相当于直线 y=﹣2x+u 的纵截距, 故由图象可知, 使 u=2x+y 取得最大值的点在直线 y=3﹣2x 上且在阴影区域内, 故(1,1),(0,3),( 而点( 故选 D.
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,2)成立,

,0)在直线 y=3﹣2x 上但不在阴影区域内,

故不成立;

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【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,注意点在阴影区域内;属于中档题. 8. 【答案】C 【解析】解:由 f(x)=x ﹣6x+7=(x﹣3) ﹣2,x∈(2,5]. ∴当 x=3 时,f(x)min=﹣2. 当 x=5 时,
2 2 2



∴函数 f(x)=x ﹣6x+7,x∈(2,5]的值域是[﹣2,2]. 故选:C.

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9. 【答案】 【解析】选 B.∵3a8-2a7=4, ∴3(a1+7d)-2(a1+6d)=4, 18×17d 17 即 a1+9d=4,S18=18a1+ =18(a1+ d)不恒为常数. 2 2 19×18d S19=19a1+ =19(a1+9d)=76, 2 同理 S20,S21 均不恒为常数,故选 B. 10.【答案】C 【解析】解:作出 y=2 和 y=log
x

x 的函数图象,如图:

由图象可知当 x0>a 时,2 ∴f(x0)=2 故选:C. 11.【答案】B ﹣log

>log

x0,

x0>0.

考 点:函数的奇偶性与单调性.

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【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性,数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数,所 以定义域关于原点对称,图象关于 y 轴对称,单调性在 y 轴两侧相反,即在 x ? 0 时单调递增,当 x ? 0 时, 函数单调递减.结合 f (5) ? 0 和对称性,可知 f (?5) ? 0 ,再结合函数的单调性,结合图象就可以求得最后的 解集.1 12.【答案】 A 【解析】解:∵函数 f(x)=2x﹣ ∴ , +cosx,设 x1,x2∈(0,π)(x1≠x2),且 f(x1)=f(x2),

' ∴存在 x1<a<x2,f (a)=0,



,∴

,解得 a=



假设 x1,x2 在 a 的邻域内,即 x2﹣x1≈0. ∵ ∴ , ,

∴f(x)的图象在 a 的邻域内的斜率不断减少小,斜率的导数为正, ∴x0>a, 又∵x>x0,又∵x>x0 时,f (x)递减, ∴ 故选:A. 【点评】本题考查导数的性质的应用,是难题,解题时要认真审题,注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运 用. .
''

二、填空题
13.【答案】 .

【解析】解:设大小正方形的边长分别为 x,y,(x,y>0). 则 +x+y+ =3+ ,

化为:x+y=3.
2 2 则 x +y

= ,当且仅当 x=y= 时取等号.

∴这两个正方形的面积之和的最小值为 .

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故答案为: . 14.【答案】 0.6 . 【解析】解:随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ ), ∴曲线关于 x=2 对称, ∴P(ξ>0)=P(ξ<4)=1﹣P(ξ>4)=0.6, 故答案为:0.6. 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查概率的性质,是一个基础题. 15.【答案】 真命题 【解析】解:若 a>0,b>0,则 ab>0 成立,即原命题为真命题, 则命题的逆否命题也为真命题, 故答案为:真命题. 【点评】本题主要考查命题的真假判断,根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键. 16.【答案】 【解析】解:∵ b=2a, ∴ ∴cosB= . 故答案为: . 【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 17.【答案】 【解析】 = = . . =2,由正弦定理可得: ,即 c=2a.
2

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【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点: (1)若幂 函数 y ? x? ?? ? R? 是偶函数,则 ? 必为偶数.当 ? 是分数时,一般将其先化为根式,再判断;(2)若幂函 数 y ? x? ?? ? R? 在 ? 0, ??? 上单调递增,则 ? ? 0 ,若在 ? 0, ??? 上单调递减,则 ? ? 0 ;(3)在比较幂值 的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 1 18.【答案】 [1, ??) 【解析】 解析: 不等式 ?

? x ? y ? a, 表示的平面区域如图所示, 由 z ? ax ? y 得 y ? ax ? z , 当 0 ? a ? 1 时, ? x ? y ? ?1,

平移直线 l1 可知, z 既没有最大值,也没有最小值;当 a ? 1 时,平移直线 l2 可知,在点 A 处 z 取得最小值; 当 ?1 ? a ? 0 时,平移直线 l3 可知, z 既没有最大值,也没有最小值;当 a ? ?1 时,平移直线 l4 可知,在点 A 处 z 取得最大值,综上所述, a ? 1 . y
l4 l3
O

l2
A

l1

x

三、解答题
19.【答案】(1)甲,乙,丙,丁;(2) P ? 【解析】 试题分析:(1)从这 40 名学生中按照分层抽样的方式抽取 10 名学生,则各大学人数分别为甲,乙,丙,丁; (2)利用列举出从参加问卷调查的 40 名学生中随机抽取两名学生的方法共有 15 种,这来自同一所大学的取 法共有种,再利用古典慨型的概率计算公式即可得出. 试题解析: (1)从这 40 名学生中按照分层抽样的方式抽取 10 名学生,则各大学人数分别为甲 2,乙 3,丙 2, 丁 3. (2) 设乙中 3 人为 a1 , a2 , a3 , 丁中 3 人为 b1 , b2 , b3 , 从这 6 名学生中随机选出 2 名学生发言的结果为 {a1 , a2 } ,

2 . 5

{a1 , a3} ,{a1 , b1} ,{a1 , b2 } ,{a1 , b3} ,{a3 , a2 } ,{b1 , a2 } ,{b2 , a2 } ,{b3 , a2 } ,{a3 , b1} ,{a3 , b2 } ,{a3 , b3} ,

{b1 , b2 } , {b1 , b3} , {b2 , b3} ,共 15 种,
这 2 名同学来自同一所大学的结果共 6 种,所以所求概率为 P ? 考点:1、分层抽样方法的应用;2、古典概型概率公式. 20.【答案】 【解析】解:(1)由|x-a|+|x+b|≥|(x-a)-(x+b)|

6 2 ? . 15 5

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=|a+b|得, 当且仅当(x-a)(x+b)≤0,即-b≤x≤a 时,f(x)取得最小值, ∴当 x∈[-b,a]时,f(x)min=|a+b|=a+b. (2)证明:由(1)知 a+b=2, ( a+ b)2=a+b+2 ab≤2(a+b)=4, ∴ a+ b≤2, ∴f(x)≥a+b=2≥ a+ b, 即 f(x)≥ a+ b. 21.【答案】 【解析】解:p: ∴(1)若 a= ,则 q: ∵p∧q 为真,∴p,q 都为真; ∴ ,∴ ; ,q:a≤x≤a+1; ;

∴实数 x 的取值范围为



(2)若 p 是 q 的充分不必要条件,即由 p 能得到 q,而由 q 得不到 p; ∴ ,∴ ; .

∴实数 a 的取值范围为

【点评】考查解一元二次不等式,p∧q 真假和 p,q 真假的关系,以及充分不必要条件的概念. 22.【答案】 【解析】解:(1)∵y= ∴ , + ,

解得 x≥﹣2 且 x≠﹣2 且 x≠3, ∴函数 y 的定义域是(﹣2,3)∪(3,+∞); (2)∵y= ,

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解得 x≤4 且 x≠1 且 x≠3, ∴函数 y 的定义域是(﹣∞,1)∪(1,3)∪(3,4]. 23.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:∵BD 为圆 O 的直径,∴AB⊥AD, ∵直线 AE 是圆 O 所在平面的垂线, ∴AD⊥AE, ∵AB∩AE=A, ∴AD⊥平面 ABE, ∴AD⊥BE; (Ⅱ)解:多面体 EF﹣ABCD 体积 V=VB﹣AEFC+VD﹣AEFC=2VB﹣AEFC. ∵直线 AE,CF 是圆 O 所在平面的两条垂线, ∴AE∥CF,∥AE⊥AC,AF⊥AC. ∵AE=CF= ∵AC=2, ∴SAEFC=2 , 作 BM⊥AC 交 AC 于点 M,则 BM⊥平面 AEFC, ∴V=2VB﹣AEFC=2× ≤ = . . ,∴AEFC 为矩形,

∴多面体 EF﹣ABCD 体积的最大值为

【点评】本题考查线面垂直,线线垂直,考查体积的计算,考查学生分析解决问题的能力,难度中等. 24.【答案】(1) 2 x ? y ? 1 ? 0 (2)当 a ? 2 时, f ? x ? 无单调减区间;当 a ? 2 时, f ? x ? 的单调减区间
2 是 ? ?2, ?a ? ;当 a ? 2 时, f ? x ? 的单调减区间是 ? ?a, ?2? .(3) ? ? 4 ? 4e , 4 ? ?

【解析】试题分析:(1)先对函数解析式进行求导,再借助导数的几何意义求出切线的斜率,运用点斜式求 出切线方程;(2)先对函数的解析式进行求导,然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分

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类分析探求; (3)先不等式 f ? x ? ? 4 进行等价转化,然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极 值与最值,进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。

2 x x (2) 因为 f ' ? x ? ? ? ? x ? ? a ? 2 ? x ? 2a ? ? e ? ? x ? a ?? x ? 2 ? e ,
x 当 a ? 2 时, f ' ? x ? ? ? x ? 2 ? e ? 0 ,所以 f ? x ? 无单调减区间. 2

当 ? a ? ?2 即 a ? 2 时,列表如下:

所以 f ? x ? 的单调减区间是 ? ?2, ?a ? .
x 当 ?a ? ?2 即 a ? 2 时, f ' ? x ? ? ? x ? 2?? x ? a ? e ,列表如下:

所以 f ? x ? 的单调减区间是 ? ?a, ?2? . 综上,当 a ? 2 时, f ? x ? 无单调减区间; 当 a ? 2 时, f ? x ? 的单调减区间是 ? ?2, ?a ? ; 当 a ? 2 时, f ? x ? 的单调减区间是 ? ?a, ?2? .
2 x x (3) f ' ? x ? ? ? ? x ? ? a ? 2 ? x ? 2a ? ? e ? ? x ? a ?? x ? 2 ? e .

当 a ? 2 时,由(2)可得, f ? x ? 为 R 上单调增函数,

所以 f ? x ? 在区间 ?4,0 上的最大值 f ? 0? ? 2 ? 4 ,符合题意. 当 a ? 2 时,由(2)可得,要使 f ? x ? ? 4 在区间 ?4,0 上恒成立, 只需 f ? 0? ? a ? 4 , f ? ?2? ? ? 4 ? a ? e
?2

?

?

?

?

? 4 ,解得 4 ? 4e2 ? a ? 2 .

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a ? 4 , f ? 0? ? a ? 4 . ea a 1? a 设 g ? a ? ? a ,则 g ' ? a ? ? a ,列表如下: e e
当 2 ? a ? 4 时,可得 f ? ? a ? ?

所以 ? ? g ? a ?? ?

max

? g ?1? ?

当 a ? 4 时,可得 f ? 0? ? a ? 4 ,无解.
2 综上, a 的取值范围是 ? ? 4 ? 4e , 4 ? ?.

1 a ? 4 ,可得 a ? 4 恒成立,所以 2 ? a ? 4 . e e

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