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黑龙江省哈尔滨市香坊区2016届中考数学一模试题(含解析)


黑龙江省哈尔滨市香坊区 2016 届中考数学一模试题
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1.在﹣4,2,﹣1,3 这四个数中,比﹣2 小的数是( A.﹣4 B.2 C.﹣1 D.3 2.下列运算正确的是( ) )

A.3m ÷m =3m

4

3

2

B.m+m =m

2

3

C.(m+n)(m﹣n)=m ﹣n

2

2

D.( ) = )

3

3.如图是由两个全等的正三角形所组成的图案,其中既是中心对称又是轴对称图案的是(

A.

B.

C.

D. )

4.如图是由 6 个相同的小立方块搭成的几何体,则下列说法正确的是(

A.主视图的面积最大 B.俯视图的面积最大 C.左视图的面积最大 D.三个视图面积一样大 5. 从一栋二层楼的楼顶点 A 处看对面的教学楼, 探测器显示, 看到教学楼底部点 C 处的俯角为 45°, 看到楼顶部点 D 处的仰角为 60°,已知两栋楼之间的水平距离为 6 米,则教学楼的高 CD 是( )

A.(6+6

)米 B.(6+3

)米 C.(6+2

)米 D.12 米

6.某校准备修建一个面积为 180 平方米的矩形活动场地,它的长比宽多 11 米,设场地的宽为 x 米, 则可列方程为( ) A.x(x﹣11)=180 B.2x+2(x﹣11)=180 C.x(x+11)=180 D.2x+2(x+11)=180 7.一套书共有上,中,下三册,将它们任意摆放到书架的同一层上,这三册书从左到右恰好成上, 中,下顺序的概率为( ) A. B. C. D. 8.如图,在△ABC 中,∠B=30°,∠C=45°,将△ABC 绕点 A 顺时针旋转后得到△ADE(点 B 的对应 点是点 D,点 C 的对应点是点 E),当点 E 在 BC 边上时,连接 BD,则∠BDE 的大小为( )

1

A.15° B.20° C.25° D.30° 9.如图,AB∥CD,AE∥FD,AE、FD 分别交 BC 于点 G、H,则下列结论中错误的是(



A. B. C. D. 10.甲、乙两车从 A 地出发沿同一路线驶向 B 地,甲车先出发匀速驶向 B 地.40 分钟后,乙车出发, 匀速行驶一段时间后,在途中的货站装货耗时半小时,由于满载货物,为了行驶安全,速度减少了 50 千米/时,结果与甲车同时到达 B 地,甲乙两车距 A 地的路程 y(千米)与乙车行驶时间 x(时) 之间的函数图象如图所示,下列说法: ①a=4.5; ②甲的速度是 60 千米/时; ③乙出发 80 分钟追上甲; ④乙刚到达货站时,甲距 B 地 180 千米; 其中正确的有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 11.2005 年 10 月 12 日,我国成功发射神舟六号载宇宙飞船,神舟六号安全的在太空中飞行了约 3250000000 米,把 3250000000 用科学记数法可以写出 .

12.在函数

中,自变量 x 的取值范围是



13.计算

=



2

14.分解因式:x y﹣2x y+xy=

3

2



15.不等式组 的解集是 . 16.如图,在半径为 4cm 的⊙O 中,劣弧 AB 的长为 2π cm,则∠C=

度.

17.如图,点 A 的坐标是(2,0),△ABO 是等边三角形,点 B 在第一象限,若反比例函数 y= 的图 象经过点 B,则 k 的值是 .

18.植树节这天有 20 名同学共种了 52 棵树苗,其中男生每人种树苗 3 棵,女生每人种树苗 2 棵, 则男同学的人数为 人. 19.已知正方形 ABCD 的边长为 6,点 P 是直线 AD 上一点,并且满足 3AP=AD,连接 BP,作线段 BP 的垂直平分线交直线 BC 于点 Q,则线段 CQ 的长度为 . 20.如图,AD 是△ABC 的中线,∠CAD=60°,AD=4,AB﹣AC=2,则 BC 的长为 .

三、解答题(共 7 小题,满分 60 分)

21.先化简,再求代数式(



的值,其中 x=3tan30°+1.

22.如图,在 8×6 的正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,线段 AB、BC 的端点均在小正方 形的顶点上. (1)在图 1 中找一点 D(点 D 在小正方形的顶点上),连接 AD、BD、CD,使△ABD 与△BCD 全等; (2)在图 2 中找一点 E(点 E 在小正方形的顶点上),使△ABE 与△BCE 均为以 BE 为直角边的直角 三角形,且其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的 2 倍,画出图形,并直接写出△ABE 的周 长.

3

23.近几年市民们比较关注空气质量问题,小敏为了解本市的空气质量情况,从环境监测网随机抽 取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计,绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计 图.

请你根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)计算被抽取的天数; (2)求样本中轻度污染的天数,并补全条形统计图; (3)请估计该市这一年(365 天)空气质量达到优和良的总天数. 24.如图,在平行四边形 ABCD 中,AD=2AB,CE 平分∠BCD,延长 CE、BA 交于点 F,连接 AC、DF. (1)如图 1,求证:四边形 ACDF 是平行四边形; (2)如图 2,连接 BE,若 AE=5,tan∠AEB= ,求 CF 的长.

25.开学初,小芳和小亮去商店购买学习用品,小芳用 30 元钱购买钢笔的数量是小亮用 25 元钱购 买笔记本数量的 2 倍,已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价铬少 2 元. (1)求每支钢笔和每本笔记本各是多少元; (2)学校运动会后,班主任拿出 200 元学校奖励基金交给小芳,再次购买上述价格的钢笔和笔记本 共 48 件作为奖品,奖励给校运动会中表现突出的同学,经双方协商,商店给出优惠是购买商品的总 金额超出 50 的部分给打 9 折,请问小芳至少要买多少支钢笔? 26.如图,△ABC 为⊙O 的内接三角形,点 D 在射线 CB 上,连接 AD,AD=AC,OB 为⊙O 的半径. (1)如图 1,若 AC 经过圆心 O,求证∠DAC=2∠ABO;

4

(2)如图 2,若 AC 不经过圆心 O,(1)中结论是否成立,请说明理由; (3)如图 3,在(2)的条件下,连接 OC 交 AD 于点 E,延长 CO 交 AB 于点 F,若∠BOC=120°, tan∠AFC= ,DE=2,求⊙O 的半径长.

27.如图,在平面直角坐标系中,直线 y=﹣x﹣1 与 x 轴交于 A 点,与 y 轴交于 B 点,抛物线 y=ax ﹣6ax+c 经过 A、B 两点. (1)求抛物线的解析式; (2)C 是抛物线对称轴上一点,连接 AC,将线段 AC 绕点 C 逆时针旋转 90°,当点 A 的对应点 D 恰 好落在第四象限的抛物线上时,求点 D 的坐标; (3)在(2)的条件下,设直线 AB 与抛物线对称轴交于点 G,连接 DG,P 是抛物线对称轴上一点, 过点 P 作 x 轴的平行线交 BG 于点 M, 交 DG 于点 N, 连接 CM、 CN, 设点 P 的纵坐标为 t, 当∠MCN= ∠AGD 时,求 t 的值.

2

5

2016 年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1.在﹣4,2,﹣1,3 这四个数中,比﹣2 小的数是( ) A.﹣4 B.2 C.﹣1 D.3 【考点】有理数大小比较. 【分析】根据有理数大小比较的法则直接求得结果,再判定正确选项. 【解答】解:∵正数和 0 大于负数, ∴排除 2 和 3. ∵|﹣2|=2,|﹣1|=1,|﹣4|=4, ∴4>2>1,即|﹣4|>|﹣2|>|﹣1|, ∴﹣4<﹣2<﹣1. 故选:A. 【点评】考查了有理数大小比较法则.正数大于 0,0 大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值 大的反而小. 2.下列运算正确的是( )

A.3m ÷m =3m

4

3

2

B.m+m =m

2

3

C.(m+n)(m﹣n)=m ﹣n

2

2

D.( ) =

3

【考点】整式的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;平方差公式. 【分析】根据整式的除法、合并同类项、整式的乘法和幂的乘方计算判断即可. 4 3 【解答】解:A、3m ÷m =3m,错误; 2 B、m 与 m 不是同类项,不能合并,错误; 2 2 C、(m+n)(m﹣n)=m ﹣n ,正确;

D、

,错误;

故选 C. 【点评】此题考查整式的除法、合并同类项、整式的乘法和幂的乘方问题,关键是根据法则进行计 算. 3.如图是由两个全等的正三角形所组成的图案,其中既是中心对称又是轴对称图案的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】中心对称图形;轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项错误; B、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故本选项错误; C、是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项错误;

6

D、是轴对称图形,也是中心对称图形.故本选项正确. 故选 D. 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两 部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后与原图重合. 4.如图是由 6 个相同的小立方块搭成的几何体,则下列说法正确的是( )

A.主视图的面积最大 B.俯视图的面积最大 C.左视图的面积最大 D.三个视图面积一样大 【考点】简单组合体的三视图. 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,从左边看得到的图形是左视图,从上边看得到的图形 是俯视图,可得答案. 【解答】解:主视图是第一层三个小正方形,第二层中间一个小正方形,主视图的面积是 4; 俯视图是第一层左边一个小正方形,第二层三个小正方形,第三层中间一个小正方形,俯视图的面 积是 5; 左视图第一层三个小正方形,第二层中间一个小正方形,左视图的面积是 4. 故选:B. 【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图,从左边看得到的图形是 左视图,从上边看得到的图形是俯视图. 5. 从一栋二层楼的楼顶点 A 处看对面的教学楼, 探测器显示, 看到教学楼底部点 C 处的俯角为 45°, 看到楼顶部点 D 处的仰角为 60°,已知两栋楼之间的水平距离为 6 米,则教学楼的高 CD 是( )

A.(6+6

)米 B.(6+3

)米 C.(6+2

)米 D.12 米

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 【专题】几何图形问题. 【分析】在 Rt△ABC 求出 CB,在 Rt△ABD 中求出 BD,继而可求出 CD. 【解答】解:在 Rt△ACB 中,∠CAB=45°,AB⊥DC,AB=6 米, ∴BC=6 米, 在 Rt△ABD 中, ∵tan∠BAD= , 米,
7

∴BD=AB?tan∠BAD=6

∴DC=CB+BD=6+6

(米).

故选:A. 【点评】本题考查仰角俯角的定义,要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形,难 度一般. 6.某校准备修建一个面积为 180 平方米的矩形活动场地,它的长比宽多 11 米,设场地的宽为 x 米, 则可列方程为( ) A.x(x﹣11)=180 B.2x+2(x﹣11)=180 C.x(x+11)=180 D.2x+2(x+11)=180 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程. 【专题】增长率问题. 【分析】根据题意设出未知数,利用矩形的面积公式列出方程即可. 【解答】解:设宽为 x 米,则长为(x+11)米, 根据题意得:x(x+11)=180, 故选 C. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据矩形的面积公式列出方程. 7.一套书共有上,中,下三册,将它们任意摆放到书架的同一层上,这三册书从左到右恰好成上, 中,下顺序的概率为( ) A. B. C. D. 【考点】列表法与树状图法. 【分析】画树状图得出所有等可能的情况数,找出恰好从左到右摆成“上、中、下”顺序的情况, 即可求出所求的概率. 【解答】解:画树状图得:

所有等可能的情况有 6 种,其中恰好从左到右摆成“上、中、下”顺序的只有 1 种, 则 P= . 故选 B. 【点评】此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 8.如图,在△ABC 中,∠B=30°,∠C=45°,将△ABC 绕点 A 顺时针旋转后得到△ADE(点 B 的对应 点是点 D,点 C 的对应点是点 E),当点 E 在 BC 边上时,连接 BD,则∠BDE 的大小为( )

8

A.15° B.20° C.25° D.30° 【考点】旋转的性质. 【专题】计算题. 【分析】先利用旋转的性质得 AE=AC,AD=AB,∠ADE=∠ABC=30°,∠DAB=∠EAC,再由 AE=AC 得到 ∠AEC=∠C=45°,所以∠EAC=90°=∠DAB,接着判断△ADB 为等腰直角三角形得到∠ADB=45°,然 后计算∠ADB﹣∠ADE 即可. 【解答】解:∵△ABC 绕点 A 顺时针旋转后得到△ADE, ∴AE=AC,AD=AB,∠ADE=∠ABC=30°,∠DAB=∠EAC, ∵AE=AC, ∴∠AEC=∠C=45°, ∴∠EAC=90°, ∴∠DAB=90°, ∴△ADB 为等腰直角三角形, ∴∠ADB=45°, ∴∠BDE=∠ADB﹣∠ADE=45°﹣30°=15°. 故选 A. 【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.解决本题的关键是证明△ABD 为等腰直角三角形. 9.如图,AB∥CD,AE∥FD,AE、FD 分别交 BC 于点 G、H,则下列结论中错误的是( )

A. B. C. D. 【考点】平行线分线段成比例. 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式,再变形,即可判断各个选项. 【解答】解:A、∵AB∥CD, ∴ = ,故本选项不符合题目要求; B、∵AE∥DF, ∴△CEG∞△CDH, ∴ = ,

∴ = , ∵AB∥CD, ∴ ∴ = = , ,

9



=



∴ = ,故本选项不符合题目要求; ∵AB∥CD,AE∥DF, ∴四边形 AEDF 是平行四边形, ∴AF=DE, ∵AE∥DF, ∴ ,

∴ = ,故本选项不符合题目要求; D、∵AE∥DF, ∴△BFH∞△BAG, ∴ ,故本选项符合题目要求; 故选 D. 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理,相似三角形的性质和判定的应用,能根据定理得出 比例式是解此题的关键. 10.甲、乙两车从 A 地出发沿同一路线驶向 B 地,甲车先出发匀速驶向 B 地.40 分钟后,乙车出发, 匀速行驶一段时间后,在途中的货站装货耗时半小时,由于满载货物,为了行驶安全,速度减少了 50 千米/时,结果与甲车同时到达 B 地,甲乙两车距 A 地的路程 y(千米)与乙车行驶时间 x(时) 之间的函数图象如图所示,下列说法: ①a=4.5; ②甲的速度是 60 千米/时; ③乙出发 80 分钟追上甲; ④乙刚到达货站时,甲距 B 地 180 千米; 其中正确的有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】一次函数的应用. 【分析】由线段 DE 所代表的意思,结合装货半小时,可得出 a 的值,从而判断出①成立; 结合路程=速度×时间,能得出甲车的速度,从而判断出②成立; 设出乙车刚出发时的速度为 x 千米/时,则装满货后的速度为(x﹣50)千米/时,由路程=速度×时

10

间列出关于 x 的一元一次方程,解出方程即可得知乙车的初始速度,由甲车先跑的路程÷两车速度 差即可得出乙车追上甲车的时间,从而得出③成立; 由乙车刚到达货站的时间,可以得出甲车行驶的总路程,结合 A、B 两地的距离即可判断④也成立. 综上可知①②③④皆成立. 【解答】解:∵线段 DE 代表乙车在途中的货站装货耗时半小时, ∴a=4+0.5=4.5(小时),即①成立; 40 分钟= 小时, 甲车的速度为 460÷(7+ )=60(千米/时), 即②成立; 设乙车刚出发时的速度为 x 千米/时,则装满货后的速度为(x﹣50)千米/时, 根据题意可知:4x+(7﹣4.5)(x﹣50)=460, 解得:x=90. 乙车发车时,甲车行驶的路程为 60× =40(千米), 乙车追上甲车的时间为 40÷(90﹣60)= (小时), 小时=80 分钟,即③成立; 乙车刚到达货站时,甲车行驶的时间为(4+ )小时, 此时甲车离 B 地的距离为 460﹣60×(4+ )=180(千米), 即④成立. 综上可知正确的有:①②③④. 故选 D. 【点评】本题考查了一次函数的应用,解题的关键是知道各数量间的关系结合图形找出结论.本题 属于中档题型,难度不大,但是判定的过程稍显繁琐,解决该类题型的方法是掌握各数量间的关系 结合行程得出结论. 二、填空题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 11.2005 年 10 月 12 日,我国成功发射神舟六号载宇宙飞船,神舟六号安全的在太空中飞行了约 9 3250000000 米,把 3250000000 用科学记数法可以写出 3.25×10 . 【考点】科学记数法—表示较大的数. n 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要 看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 9 【解答】解:3250000000=3.25×10 , 9 故答案为:3.25×10 . n 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|< 10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.

11

12.在函数

中,自变量 x 的取值范围是 x≠1 .

【考点】函数自变量的取值范围. 【分析】根据分式的意义,分母不等于 0,就可以求解. 【解答】解:根据题意得:1﹣x≠0, 解得 x≠1. 故答案为:x≠1. 【点评】本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为 0;

13.计算 = 2 . 【考点】二次根式的加减法. 【分析】先把各根式化为最减二次根式,再合并同类项即可. 【解答】解:原式=3 故答案为:2 . ﹣ =2 .

【点评】本题考查的是二次根式的加减法,熟知二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次 根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并,合并方法为系数相加减,根式不变是解答此题的关 键. 14.分解因式:x y﹣2x y+xy= xy(x﹣1) . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【专题】计算题. 【分析】原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可. 2 2 【解答】解:原式=xy(x ﹣2x+1)=xy(x﹣1) . 2 故答案为:xy(x﹣1) 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
3 2 2

15.不等式组 的解集是 .﹣1≤x<6 . 【考点】解一元一次不等式组. 【分析】首先解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.

【解答】解: , 解①得:x<6, 解②得:x≥﹣1. 则不等式组的解集是:﹣1≤x<6. 故答案是:﹣1≤x<6. 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.还可以观察不 等式的解,若 x>较小的数、<较大的数,那么解集为 x 介于两数之间.

12

16.如图,在半径为 4cm 的⊙O 中,劣弧 AB 的长为 2π cm,则∠C= 45 度.

【考点】弧长的计算;圆周角定理. 【分析】根据弧长公式 l= 理即可求出∠C. 【解答】解:∵l= ∴n= = ∴∠AOB=90°, ∴∠C= ∠AOB=45. 故答案为 45. 【点评】本题考查了弧长公式 l= (弧长为 l,圆心角度数为 n,圆的半径为 R),圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.求出∠AOB 的度数是解题的关键. , =90, ,可得 n= ,求出 n 的值,即为∠AOB 的度数,再根据圆周角定

17.如图,点 A 的坐标是(2,0),△ABO 是等边三角形,点 B 在第一象限,若反比例函数 y= 的图 象经过点 B,则 k 的值是 .

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;等边三角形的性质. 【分析】首先过点 B 作 BC 垂直 OA 于 C,根据 AO=2,△ABO 是等边三角形,得出 B 点坐标,进而求 出反比例函数解析式. 【解答】解:过点 B 作 BC 垂直 OA 于 C, ∵点 A 的坐标是(2,0), ∴AO=2, ∵△ABO 是等边三角形, ∴OC=1,BC= ,

13

∴点 B 的坐标是(1,

),

把(1,

)代入 y= ,得 k= .



故答案为:

【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质等知识,根据已知表示 出 B 点坐标是解题关键. 18.植树节这天有 20 名同学共种了 52 棵树苗,其中男生每人种树苗 3 棵,女生每人种树苗 2 棵, 则男同学的人数为 12 人. 【考点】二元一次方程组的应用. 【分析】根据题意可得等量关系:①男生人数+女生人数=20 位;②男生种树的总棵树+女生种树的 总棵树=52 棵,根据等量关系列出方程组即可.

【解答】解:设男生有 x 人,女生有 y 人,根据题意得:



解得:



答:男同学的人数为 12 人. 故答案为:12. 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,找出题目中的 等量关系,然后再列出方程组. 19.已知正方形 ABCD 的边长为 6,点 P 是直线 AD 上一点,并且满足 3AP=AD,连接 BP,作线段 BP 的垂直平分线交直线 BC 于点 Q,则线段 CQ 的长度为 4 或 16 . 【考点】相似三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;正方形的性质. 【专题】分类讨论. 【分析】分为两种情况:P 在 DA 的延长线上时,P 在 AD 的延长线上时,连接 BE,根据线段垂直平 分线求出 PE=BE,根据勾股定理求出 BE,根据全等求出 BQ=PE,即可得出答案. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD∥BC,AD=BC=AB=6, 分 为 两 种 情 况 : ① 如 图 1 所 示 : P 在 DA 的 延 长 线 上 时 ,

14

连接 BE, ∵QE 是 BP 的垂直平分线, ∴PE=BE, 设 PE=BE=x, 2 2 2 在 Rt△AEB 中,由勾股定理得:AE +AB =BE , 2 2 2 (18﹣x) +6 =x , 解得:x=10, 即 PE=BE=10, ∵AD∥BC, ∴∠P=∠QBO, 在△PEO 和△BQO 中

∴△PEO≌△BQO(ASA), ∴BQ=PE=10, ∵CD=6, ∴CQ=6+10=16;

②如图 2 所示:P 在 AD 的延长线上时, 此时 CQ=10﹣6=4; 故答案为:4 或 16. 【点评】本题考查了线段垂直平分线性质,勾股定理,全等三角形的性质和判定的应用,能求出符 合的所有情况是解此题的关键.

20.如图,AD 是△ABC 的中线,∠CAD=60°,AD=4,AB﹣AC=2,则 BC 的长为 2



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【考点】全等三角形的判定与性质;勾股定理;三角形中位线定理. 【分析】 过点 C 作 CE∥AB 交 AD 的延长线于点 E, 过点 C 作 CF⊥AD 于点 F, 先通过证明△BAD≌△CED 得出 AB=EC, AD=ED; 再设 AC=a, 则 EC=AB=a+2, 通过勾股定理以及特殊角的三角函数值表示出来 CF, 由 CF 相等得出关于 a 的一元二次方程,解方程即可得出 AC 的长度;最后在 Rt△CFD 中由勾股定理 求出 CD 的长度,由此得出结论. 【解答】解:过点 C 作 CE∥AB 交 AD 的延长线于点 E,过点 C 作 CF⊥AD 于点 F,如图所示.

∵CE∥AB, ∴∠E=∠BAD,∠DCE=∠B, ∵AD 是△ABC 的中线, ∴BD=CD.

在△BAD 和△CED 中,



∴△BAD≌△CED(AAS), ∴AB=EC,AD=ED. 设 AC=a,则 EC=AB=a+2. 在 Rt△AFC 中,AC=a,∠CAF=60°,∠AFC=90°, ∴CF= a,AF= a, ∵AD=ED=4,EF=AE﹣AF, ∴EF=8﹣ a. 2 2 2 由勾股定理可得:CF =CE ﹣EF , 即 = 解得:a=5. ,

故 AC=5,AF= ,CF= ,FD=AD﹣AF= , 2 2 2 由勾股定理可得:CD =CF +FD =21, ∴BC=2CD=2 .
16

故答案为:2



【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、勾股定理以及特殊角的三角 函数值,解题的关键是求出 CF 和 DF 的长度.本题属于中档题,难度不大,该题在两个直角三角形 中分别表示 CF,通过两个 CF 相等得出关于 AC 长度的一元二次方程,解方程得出 AC 的长度.解决 该题型题目时,根据边角关系巧设未知数,列出方程是关键. 三、解答题(共 7 小题,满分 60 分)

21.先化简,再求代数式(



的值,其中 x=3tan30°+1.

【考点】分式的化简求值;特殊角的三角函数值. 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出 x 的值代入进行计算即可.

【解答】解:原式=[



]?

=

?

=



当 x=3tan30°+1=3×

+1=

+1 时,原式=

=

=



【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键. 22.如图,在 8×6 的正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,线段 AB、BC 的端点均在小正方 形的顶点上. (1)在图 1 中找一点 D(点 D 在小正方形的顶点上),连接 AD、BD、CD,使△ABD 与△BCD 全等; (2)在图 2 中找一点 E(点 E 在小正方形的顶点上),使△ABE 与△BCE 均为以 BE 为直角边的直角 三角形,且其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的 2 倍,画出图形,并直接写出△ABE 的周 长.

【考点】作图—应用与设计作图;全等三角形的判定;勾股定理;勾股定理的逆定理. 【分析】(1)根据平行四边形的性质,平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等三角形,由 此即可画出. (2)根据直角三角形的定义,以及面积关系可以解决这个问题.

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【解答】解:(1)点 D 如图 1 所示,

(2)点 E 如图 2 所示,

△ABE 的周长=AB+BE+AE=2

+2

+2

=4

+2



【点评】本题考查作图﹣设计与应用、全等三角形的判定、勾股定理以及逆定理等知识,是一个开 放性题目,考查学生的动手能力、空间想象能力,属于中考常考题型. 23.近几年市民们比较关注空气质量问题,小敏为了解本市的空气质量情况,从环境监测网随机抽 取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计,绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计 图.

请你根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)计算被抽取的天数; (2)求样本中轻度污染的天数,并补全条形统计图; (3)请估计该市这一年(365 天)空气质量达到优和良的总天数. 【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 【分析】(1)根据空气质量是良的天数是 32 天,所占的百分比是 64%,即可求得抽查的总天数; (2)利用抽查的总天数减去其他已知天数即可求得中轻度污染的天数,并补全条形统计图; (3)利用总天数乘以对应的比例即可求解. 【解答】解:(1)32÷64%=50(天) 答:抽取的天数是 50 天;

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(2)50﹣8﹣32﹣3﹣1﹣1=5(天) 答:样本中轻度污染的天数是 5 天 画图如下:

(3)(32+8)÷50×100%=80%, 365×80%=292(天). 答:该市这年空气质量达到优和良的总天数为 292 天. 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到 必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映 部分占总体的百分比大小. 24.如图,在平行四边形 ABCD 中,AD=2AB,CE 平分∠BCD,延长 CE、BA 交于点 F,连接 AC、DF. (1)如图 1,求证:四边形 ACDF 是平行四边形; (2)如图 2,连接 BE,若 AE=5,tan∠AEB= ,求 CF 的长.

【考点】平行四边形的性质;勾股定理;平行线分线段成比例. 【分析】 (1)由平行四边形的性质得出 AD∥BC,AB=CD,AB∥CD,由平行线的性质得出∠DEC=∠BCF, 再由角平分线得出∠DEC=∠FCD,得出 DE=DC,证出 AE=DE,由已知条件得出 EF=EC,即 AD 与 FC 互 相平分,即可得出结论; (2)由平行线的性质和已知条件得出 AB=CD=5,由平行四边形的性质得出 BF=BC.证出 BF⊥CE,由 三角函数得出 ,设 CE=x,则 BE=2x,由勾股定理得出方程,解方程求出 CE=EF=2 出结果. 【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AB=CD,AB∥CD, ∴∠DEC=∠BCF, 又∵CE 平分∠BCD, ,即可得

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∴∠BCF=∠FCD, ∴∠DEC=∠FCD, ∴DE=DC, ∵AD=2AB, ∴AD=2CD=2DE, ∴AE=DE, ∵AB∥CD, ∴ , ∴EF=EC, ∴AD 与 FC 互相平分, ∴四边形 ACDF 是平行四边形; (2)解:∵AD∥BC, ∴∠AEB=∠CBE ∵tan∠AEB= , ∴tan∠CBE= , ∵AE=5,且 AE=DE, ∴AD=5+5=10, ∴AD=2AB=10, ∴AB=CD=5, ∵四边形 ACDF 是平行四边形, ∴AF=CD=5, ∴BF=AB+AF=10 ∴BF=BC. 又∵EF=CE, ∴BF⊥CE, 在 Rt△CEB 中,tan∠CBE= , ∴ , 设 CE=x,则 BE=2x 2 2 2 在 Rt△CBE 中,BC =CE +BE , 2 2 2 即:10 =x +(2x) 解得:x=2 ∴CE=EF=2 ∴CF=4 . , ,

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理、三角函 数、勾股定理等知识;本题有一定难度,运用勾股定理得出方程是解决问题(2)的关键.

20

25.开学初,小芳和小亮去商店购买学习用品,小芳用 30 元钱购买钢笔的数量是小亮用 25 元钱购 买笔记本数量的 2 倍,已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价铬少 2 元. (1)求每支钢笔和每本笔记本各是多少元; (2)学校运动会后,班主任拿出 200 元学校奖励基金交给小芳,再次购买上述价格的钢笔和笔记本 共 48 件作为奖品,奖励给校运动会中表现突出的同学,经双方协商,商店给出优惠是购买商品的总 金额超出 50 的部分给打 9 折,请问小芳至少要买多少支钢笔? 【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用. 【专题】经济问题. 【分析】(1)根据小芳用 30 元钱购买钢笔的数量是小亮用 25 元钱购买笔记本数量的 2 倍,已知每 支钢笔的价格比每本笔记本的价铬少 2 元,可以得到相应的方程,解方程即可求得每支钢笔和每本 笔记本各是多少元; (2)根据题意可以列出相应的不等式,从而可以得到小芳至少要买多少支钢笔. 【解答】解:(1)设每本笔记本的价格是 x 元,则每支钢笔的价格是(x﹣2)元,

解得 x=5, 经检验,x=5 是原分式方程的解, 则 x﹣2=3, 即每支钢笔和每本笔记本各是 3 元、5 元; (2)设小芳购买钢笔 x 支,则购买的笔记本为(48﹣x)本, 50+[3x+(48﹣x)×5﹣50]×0.9≤200 解得 x≥ , 即小芳至少要买 24 支钢笔. 【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用,解题的关键是明确题意,列出相应的 分式方程和一元一次不等式,注意分式方程要进行检验. 26.如图,△ABC 为⊙O 的内接三角形,点 D 在射线 CB 上,连接 AD,AD=AC,OB 为⊙O 的半径. (1)如图 1,若 AC 经过圆心 O,求证∠DAC=2∠ABO; (2)如图 2,若 AC 不经过圆心 O,(1)中结论是否成立,请说明理由; (3)如图 3,在(2)的条件下,连接 OC 交 AD 于点 E,延长 CO 交 AB 于点 F,若∠BOC=120°, tan∠AFC= ,DE=2,求⊙O 的半径长.

【考点】圆的综合题. 【分析】 (1) 由 AC 是直径知 AB⊥CD, 又由于 AD=AC, 根据等腰三角形性质可得∠DAC=2∠BAC=2∠ABO; (2)由 AD=AC 得∠1=∠C,进而知∠2=2∠C=∠1+∠C,又由∠2+∠ABO+∠3=∠1+∠C+∠DAC=180°得 ∠DAC=∠3+∠ABO=2∠ABO,即∠DAC=2∠ABO;

21

(3) 延长 CO 交⊙O 于点 G 连接 BG、 过点 B 作 BN⊥FG、 过点 C 作 CM⊥AB, 由 tan∠BFN=tan∠AFC= 知 ,可设 BN=5 a、NF=3a,根据勾股定理可得 BF 长,在 Rt△BNG 中知 GN=5a,根据等边 a、 CM= ,

三角形性质知 ON=5a, 则半径 OG=10a、 GF=8a, 进而知 CF=12a, 在 Rt△CFM 中可得 FM=

在 Rt△ACM 中可得 AC=AD= 、 AM= a, 进而得到 AF= a, 证∠AFC=∠AEF 得 AF=AE, 根据 AD﹣AE=DE 列出关于 a 的方程,解方程可得 a 值,可得半径 10a 的值. 【解答】解:(1)∵AC 经过圆心 O, ∴AC 是直径. ∴∠ABC=90°, ∴AB⊥CD, 又∵AD=AC, ∴AB 平分∠DAC, ∴∠DAC=2∠BAC, ∵OA=OB, ∴∠OAB=∠ABO, ∴∠DAC=2∠ABO; (2)结论依然成立 理由如下:如图 2,连接 AO ∵AD=AC, ∴∠1=∠C, ∵∠2 和∠C 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 ∴∠2=2∠C=∠1+∠C, ∵OA=OB, ∴∠ABO=∠3, ∵∠2+∠ABO+∠3=∠1+∠C+∠DAC=180° ∴∠DAC=∠3+∠ABO=2∠ABO 即∠DAC=2∠ABO; (3)如图 3,延长 CO 交⊙O 于点 G 连接 BG,过点 B 作 BN⊥FG 于点 N,过点 C 作 CM⊥AB 于点 M. ∵∠BOC=120°, ∴∠BOG=180°﹣120°=60°, 又∵OG=OB, ∴△OGB 是等边三角形, ∴∠G=60°,GN=ON, ∵∠AFC=∠BFN, ∴在 Rt△BNF 中,tan∠BFN=tan∠AFC= 即 设 BN=5 ∴BF= , a,则 NF=3a, =2 a,
22



在 Rt△BNG 中,GN=5a,那么 ON=5a, ∴半径 OG=OB=OC=5a+5a=10a,GF=GN+NF=8a, ∴CF=CG﹣GF=2×10a﹣8a=12a 在 Rt△CFM 中,∠CMF=90°,tan∠AFC= ∴FM= a,CM= a, ,

∵∠BAC= ∠BOC= ×120°=60° 在 Rt△ACM 中,可得 AC=AD= ,AM= a,

∴AF=AM+FM= a+ a= a, 又∵∠AEF=∠ACE+∠DAC=∠ABG+∠DAC=∠ABG+2∠ABO=∠OBG+∠ABO=60°+∠ABO, ∵∠AFC=∠BOF+∠ABO=60°+∠ABO, ∴∠AFC=∠AEF ∴AF=AE, ∵AD﹣AE=DE, ∴ a﹣ a=2,解得:a= = . ,

∴半径 OC=10a=10×

【点评】本题主要考查三角函数、等边三角形判定与性质、三角形的内角、外角定理、圆周角定理 等知识点,综合性强,根据三角函数构建直角三角形为切入点,表示出不同线段长度逐步转移到圆 的半径上来是关键和难点. 27.如图,在平面直角坐标系中,直线 y=﹣x﹣1 与 x 轴交于 A 点,与 y 轴交于 B 点,抛物线 y=ax ﹣6ax+c 经过 A、B 两点. (1)求抛物线的解析式; (2)C 是抛物线对称轴上一点,连接 AC,将线段 AC 绕点 C 逆时针旋转 90°,当点 A 的对应点 D 恰 好落在第四象限的抛物线上时,求点 D 的坐标; (3)在(2)的条件下,设直线 AB 与抛物线对称轴交于点 G,连接 DG,P 是抛物线对称轴上一点, 过点 P 作 x 轴的平行线交 BG 于点 M, 交 DG 于点 N, 连接 CM、 CN, 设点 P 的纵坐标为 t, 当∠MCN= ∠AGD 时,求 t 的值.
2

23

【考点】二次函数综合题. 2 【分析】(1)根据自变量与函数值的对应关系,可得 A、B 点坐标,再把 A、B 两点坐标代入 y=ax ﹣6ax+c,利用待定系数法,可得抛物线的解析式; (2)设抛物线对称轴交 x 轴于点 F,作 DE⊥CF 于点 E.利用 AAS 证明△ACF≌△CDE,根据全等三角 形的性质,可得 AF=CE,CF=DE,设 C(3,m),则 AF=CE=4,CF=DE=m,D(m+3,m﹣4),将 D(m+3, m﹣4)代入抛物线的解析式,可得关于 m 的方程,解方程,可得答案; (3)先求出∠AGF=∠DGE=45°,则∠AGD=90°,∠MCN= ∠AGD=45°.在 BA 延长线上取一点 H,使 AH=DN,证明△ACH≌△DCN,得出 CH=CN,∠HCA=∠NCD,再证明△MCH≌△MCN,得出∠HMC=∠NMC.作 CK⊥HM 于 K,求出 CG=7,解 Rt△CKG,得出 CK=CG?sin∠CGK= ,则 CP= ,t=3﹣ 【解答】解:(1)直线 y=﹣x﹣1 与坐标轴交点坐标 A(﹣1,0),B(0,﹣1). 2 ∵抛物线 y=ax ﹣6ax+c 经过 A、B 两点, .






2



∴y= x ﹣ x﹣1; (2)如图,设抛物线对称轴交 x 轴于点 F,作 DE⊥CF 于点 E, ∵y= x ﹣ x﹣1 的对称轴 x=3, ∴F(3,0). ∵CF⊥x 轴,DE⊥CE, ∴∠AFC=∠AFE=∠CED=90°. ∵∠CAF+∠ACF=∠DCE+∠ACF=90°, ∴∠CAF=∠DCE. 在△ACF 和△CDE 中,
2


24

∴△ACF≌△CDE(AAS), ∴AF=CE,CF=DE. 设 C(3,m),则 AF=CE=4,CF=DE=m,D(m+3,m﹣4), 将 D(m+3,m﹣4)代入抛物线的解析式, 得 m﹣4= (m+3) ﹣ (m+3)﹣1, 解得 m1=3,m2=4(舍), ∴D(6,﹣1); (3)由(1)知 A(﹣1,0),由(2)知 F(3,0), 则 OA=1,OF=3. ∴AF=4. 由(2)知 DE=3,C(3,3), 当 x=3 时,y=﹣3﹣1=﹣4, ∴G(3,﹣4), ∴AF=FG=4, ∵D(6,﹣1), ∴EF=1, ∴EG=3. ∴DE=GE=3, ∵∠AFG=∠DEG=90°, ∴∠FAG=∠FGA=45°,∠EDG=∠EGD=45°, ∴∠AGF=∠DGE=45°, ∴∠AGD=90°. ∵∠MCN= ∠AGD, ∴∠MCN=45°. 在四边形 CAGD 中,∵∠CAG+∠AGD+∠CDG+∠ACD=360°, ∴∠CAG+∠CDG=180°. 如图,在 BA 延长线上取一点 H,使 AH=DN, ∵∠CAG+∠CAH=180°, ∴∠CAH=∠CDG. ∵AC=CD, ∴△ACH≌△DCN, ∴CH=CN,∠HCA=∠NCD. ∵∠ACN+∠NCD=90°, ∴∠ACN+∠HCA=90°, ∴∠HCM=∠NCM=45°. 在△MCH 与△MCN 中,
2

, ∴△MCH≌△MCN,

25

∴∠HMC=∠NMC. ∵MN∥x 轴, ∴CP⊥MN, 作 CK⊥HM 于 K, ∴CK=CP,由 C(3,3),G(3,﹣4), ∴CG=7. 在 Rt△CKG 中,CK=CG?sin∠CGK= ∴CP= ∴t=3﹣ , . ,

【点评】本题是二次函数综合题,其中涉及到待定系数法求二次函数解析式、旋转的性质、全等三 角形的判定与性质、函数图象上点的坐标特征等知识.本题综合性较强,难度较大,准确作出辅助 线利用数形结合是解题的关键.

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