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湖南省长沙市长郡中学2014届高三第二次月考试卷 数学(文) Word版含答案_图文

炎德·英才大联考长郡中学 2014 届高三月考试卷(二)
数 学(文科)

高考资源网 长郡中学高三数学备课组组稿
(考试范围:高考全部内容) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设 z ? 1 ? i (i 是虚数单位),则 A. 1 ? i B. ?1 ? i

2 ? z 2 等于 z C. ?i D. ?1 ? i

2.点 M、N 分别是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱 A1 B1 、 A1 D1 的中点,用过 A、M、N 和 D、N、 C1 的两个 截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图,则该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依 次为

A.①、②、③ C.①、③、④
?

B.②、③、④ D.②、④、③

3.在△ABC 中, ?A ? 60 , AB ? 2 ,且△ABC 的面积为 A. 3 C. 7

3 ,则 BC 的长为 2
D.7

B.3

4.给出如下四个命题: ①若“ p ? q ”为假命题,则 p, q 均为假命题; ②命题“若 a>b,则 2 ? 2 ? 1 ”的否命题为“若 a≤b,则 2 ? 2 ? 1 ” ;
a b a b

③命题“任意 x ? R, x ? 1 ? 0 ”的否定是“存在 x0 ? R, x0 ? 1 ? 0 ” ;
2
2

④在△ABC 中, “A>B“是“sin A>sin B”的充要条件. 其中不正确命题的个数是

A.4

B.3

C.2

D.1

5.设第一象限内的点 ( x, y ) 满足 ?

?2 x ? y ? 4 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值是 4,则 ? x ? y ? 0,

1 1 ? 的最小值为 a b
A.3 B.4 C.8 D.9
2

6. 设奇函数 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数, 且 f (?1) ? ?1 , 若函数 f ( x) ? t ? 2at ? 1 对所有的 x ? ? ?1,1? 都 成立,则当 a ? ? ?1,1? 时 t 的取值范围是 A. ?2 ? t ? 2 C. t ? ?2或t ? 0或t ? 2 B. ?

1 1 ?t ? 2 2 1 1 D. t ? ? 或t ? 0或t ? 2 2
?

7.如图,平行四边形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1?A ? 60 , 点 M 在 AB 边上,且 AM ? A. ?

???? ? ??? ? 1 AB ,则 DM ?DB 等于 3
C.-1 D.1

3 3

B.

3 2

8.已知 ?an ? 为等差数列,若 a3 ? a4 ? a8 ? 9 ,则 S 9 ? A.24
3

B.27

C.15

D.54

9.设函数 f ( x) ? x ? 4 x ? a(0 ? a ? 2) 有三个零点 x1 、 x2 、 x3 ,且 x1 ? x2 ? x3 ,则下列结论正确的是 A. x1 ? ?1 B. x2 ? 0 C. x3 ? 2 D. 0 ? x2 ? 1

选择题答题卡

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 10.设集合 U ? ?0,1,2,3,4,5,6,? , M ? ?1,3,5? , N ? ?2,4,6? ,则 _________. 11.在等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? a5 ? a9 ?

?
4

,则 tan(a4 ? a6 ) =___________.

12.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上,且 AB=8, BC ? 2 3 ,则棱锥 O-ABCD 的体积

为__________.

? ? x ? 2 y ? 5 ? 0,? ? ? ? 2 2 2 13.若 ?( x, y ) | ?3 ? x ? 0, ? ? ?( x, y) | x ? y ? m (m ? 0)? ,则实数 m 的取值范围是___________. ? ? x ? y ? 0, ? ? ? ?
14.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的距离为 4,且双曲 2 a b

线的一条渐近线与抛物线准线的交点坐标为(-2,-1) ,则双曲线的焦距为__________. 15.定义平面向量的一种运算: a ? b ? a ?b sin a, b ,则下列命题: ① a ? b ? b ? a ;② ? (a ? b) ? (? a) ;③ (a ? b) ? c ? (a ? c) ? (b ? c) ; ④若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 y2 ? x2 y1 . 其中真命题是_________(写出所有真命题的序号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 向量 a ? ( , sin x ?

1 1 2 2

3 cos x), b ? (1, y ) ,已知 a∥b,且有函数 y ? f ( x) . 2

(])求函数 y ? f ( x) 的最小正周期;

(2)已知锐角△ABCC 的三个内角分别为 A,B,C,若有 ( A ? 的长及△ABC 的面积. 1 7. (本小题满分 12 分) 已知在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD,AB= 2,PA=AD=1,E,F 分别是 AB、PD 的中点. (l)求证:AF ? 平面 PDC; (2)求三棱锥 B-PEC 的体积; (3)求证:AF//平面 PEC.. 18.(本小题满分 12 分)

?
3

) ? 3 ,边 BC ? 7,sin B ?

21 ,求 AC 7

已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 ,数列 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,若
2

a1 ? f (d ? 1), a3 ? f (d ? 1)
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) S n 为 ?an ? 的前 n 项和,求证: 19.(本小题满分 13 分)

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? . S1 S2 Sn 3

请你设计一个 LED 霓虹灯灯箱.现有一批 LED 霓 虹灯灯箱材料如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的 正方形 LED 散片,边 CD 上有一以其中点 M 为圆 心,半径为 2 cm 的半圆形缺损,因此切去阴影部分 (含半圆形缺损)所示的四个全等的等腰直角三角 形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于空 间一点 P,正好形成一个正四棱柱形状有盖的 LED 霓虹灯灯箱,E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE= FB=xcm. (1)用规格长×宽×高=145 cm×145 cm ×75 cm 外包装盒来装你所设计的 LED 霓虹灯灯箱,灯箱彼此间 隔空隙至多 0.5 cm,请问包装盒至少能装多少只 LED 霓虹灯灯箱(每只灯箱容积 V 最大时所装灯箱只数最 少)? (2)若材料成本 2 元/ cm , 霓虹灯灯箱销售时以霓虹灯灯箱侧面积 S( cm )为准, 售价为 2.4 元/ cm . 试 问每售出一个霓虹灯灯箱可获最大利润是多少? 20.(本小题满分 13 分) 已知向量 m ? (e ln x ? k ), n ? (1, f ( x)), m / / n (k 为常数,e 是自然对数的底数) ,曲线 y ? f ( x) 在点
x,

2

2

2

(1, f (1)) 处的切线与 y 轴垂直, F ( x) ? xe x f '( x) .
(l)求 k 的值及 F( x )的单调区间; (2) 已知函数 g ( x) ? ? x ? 2ax ( a 为正实数) ,若对于任意 x2 ? ? 0,1? ,总存在 x1 ? (0. ? ? ) ,使得
2

g ( x2 ) ? F ( x1 ) ,求实数 a 的取值范围.
21.(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:C : 离心率 e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?1,0) ,且椭圆 C 的 a 2 b2

1 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的上下顶点分别为 A1 , A2 ,Q 是椭圆 C 上异于 A1 , A2 的任一点,直线 QA1 , QA2 分别交 x 轴于 点 S,T,证明: OS ?OT 为定值,并求出该定值; (3)在椭圆 C 上,是否存在点 M (m, n) ,使得直线 l : mx ? ny ? 2 与圆 O : x ? y ?
2 2

16 相交于不同的两 7

点 A、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理 由.


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