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高一数学必修一《指数函数》测试题


高一数学必修一《指数函数》测试题
一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 A. (﹣1,+∞) , B.[﹣1,2)
2

,则 M∩N=( C. (﹣1,2)
x



D.[﹣1,2] )

2.已知集合 A={y|y=﹣x +1,x∈R},B={y|y=2 ,x∈R}则( A.A?B B.B?A C.?RA?B D.B??RA 3.若 a>1,b<0,且 a +a =2 ,则 a ﹣a 的值等于( A. B.±2 C.﹣2 D.2
2 1﹣x b
﹣b

b

﹣b



4.若 f(x)=﹣x +2ax 与 g(x)=(a+1) (a>﹣1 且 a≠0)在区间[1,2]上都是减 函数,则 a 的取值范围是( ) A. (﹣1,0) B. (0,1] C. (0,1) D. (﹣1,0)∪(0,1)

5.函数

(0<a<1)的图象的大致形状是(



A.

B.

C.

D.

6.随着市场的变化与生产成本的降低,每隔 4 年计算机的价格降低 ,则 2000 年价格 为 8100 元的计算机到 2016 年价格应为( ) A.3000 元 B.2400 元 C.1600 元
x

D.1000 元 )

7.函数 y=a ﹣(b+1) (a>0 且 a≠1)的图象在第一、三、四象限,则必有( A.0<a<1,b>0 B.0<a<1,b<0 C.a>1,b<0 D.a>1,b>0 8.函数 y=a ﹣2(a>0 且 a≠1,﹣1≤x≤1)的值域是 A.3 B. C.3 或 D. 或
x

,则实数 a=(



9.已知奇函数 所示,那么 g(x)=( )

如果 f(x)=a (a>0 且 a≠1)对应的图象如图

x

A.

B.

C.2

﹣x

D.﹣2

x

10.函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b)的图象如图所示,则函数 g(x)=a +b 的大致图象是( )

x

A. 11. 若函数 是(D A. )

B.

C.

D. 是 R 上的单调函数, 则实数 a 的取值范围

B.
x

C.

D.

12.已知关于 x 的方程|3 ﹣1|=k,则下列说法错误的是(D ) A.当 k>1 时,方程的解的个数为 1 个; B.当 k=0 时,方程的解的个数为 1 个 C.当 0<k<1 时,方程的解的个数为 2 个;D.当 k=1 时,方程的解的个数为 2 个 二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.定义在 R 上的偶函数 f(x) ,当 x≥0 时.f(x)=2 ,则满足 f(1﹣2x)<f(3)的 x 取值范围是 . 14.如果函数 y=a +2a ﹣1(a>0,a≠1)在区间[﹣1,1]上的最大值是 14,则实数 a 的值为 .
2x x x

15.已知函数 f(x)= 围是 .

,若 f(a ﹣2)>f(a) ,则实数 a 的取值范

2

16.若 x1,x2∈R,x1≠x2,则下列性质对函数 f(x)=2 成立的是 件的序号全部写在横线上) ①f(x1+x2)=f(x1)?f(x2)②f(x1?x2)=f(x1)+f(x2) ③[f(x1)﹣f(x2)]?(x1﹣x2)>0④

x

. (把满足条



三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17. (本小题 10 分) (1)化简



(2)已知 x+y=12,xy=9,且 0<x<y,求

的值.

18. (本小题 12 分) 我们把集合{x|x∈A 且 x?B}叫做集合 A 与 B 的差集, 记作 A﹣B. 据 此回答下列问题: (Ⅰ)若 A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},求 A﹣B; (Ⅱ)在下列各图中用阴影部分表示集合 A﹣B; (Ⅲ)若 A={x|0<x≤a},B={x|﹣1≤x≤2},且 A﹣B=?,求 a 的取值范围.

19. (本小题 12 分)设函数 f(x)=ax +bx+1(a,b 为常数,且 a>0) ,f(﹣1)=0, 且对任意实数 x 均有 f(x)≥0. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)若 g(x)=f(x)﹣kx(x∈[﹣2,2])是单调函数,求实数 k 的取值范围.

2

20. (本小题 12 分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳含量 达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常.排气后 4 分钟测得车库内的一氧化碳浓度为 64ppm(ppm 为浓度单位,一个 ppm 表示百万分之一) ,再过 4 分钟又测得浓度为 32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度 y(ppm)与排气时间 t(分钟)存在函数 关系 y=c( ) (c,m 为常数) . (1)求 c,m 的值 (2)若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5ppm 为正常,问至少排气多少分钟,这个地下 车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态?
mt

21. (本小题 12 分)已知奇函数 f(x)=

的定义域为 R,其中 g(x)为指数

函数且过点(2,9) . (Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)判断函数 f(x)的单调性,并用函数单调性定义证明.

22. (本小题 12 分)已知函数 f(x)=b?a (其中 a,b 为常量,且 a>0,a≠1)的图象 经过点 A(1,6) ,B(3,24) . (1)求 f(x) ; (2)若不等式( ) +( ) ﹣m≥0 在 x∈(﹣∞,1]时恒成立,求实数 m 的取值范围.
x x

x

详解答案
一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (2015?成都模拟)设集合 A. (﹣1,+∞) B.[﹣1,2) 解:由题意 ∴M∩N={x|﹣1≤x<2}∩{x|x>﹣1}=(﹣1,2) , 故选 C. 2. (2014?七里河区校级三模) 已知集合 A={y|y=﹣x +1, x∈R}, B={y|y=2 , x∈R}则 ( A.A?B B.B?A C.?RA?B D.B??RA 2 解:∵集合 A={y|y=﹣x +1,x∈R}={x|y≤ 1}, x B={y|y=2 ,x∈R}={y|y>0};∴CRA={y|y> 1},∴CRA ? B. 故选:C.
2 x

, C. (﹣1,2) ,

,则 M∩N=( D.[﹣1,2] ,





3. (2014?埇桥区校级学业考试)若 a>1,b<0,且 a +a 于( ) A. B.±2 C.﹣2 D.2 解:∵a +a =2 ∴
b b
﹣b

b

﹣b

=2

,则 a ﹣a

b

﹣b

的值等

,∴(a +a ) =a +a =a +a
﹣b

b

﹣b

2

2b

﹣2b

+2=8,∴a +a

2b

﹣2b

=6,

2b

﹣2b

﹣2=6﹣2=4,
b
﹣b

∵a>1,b<0,∴a ﹣a <0,∴a ﹣a 故选 C.

=﹣2.

4. (2014 秋?巢湖校级期中)若 f(x)=﹣x +2ax 与 g(x)=(a+1) (a>﹣1 且 a≠0) 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是( ) A. (﹣1,0) B. (0,1] C. (0,1) D. (﹣1,0)∪(0,1) 解:f(x)=﹣x +2ax 在区间[1,2]上是减函数,故对称轴 x=a,有 a≤1; 1﹣ x g(x)=(a+1) 在区间[1,2]上是减函数,只需 a+1>1,即 a>0, 综上可得 0<a≤1. 故选 B. 5. (2014?东阳市二模)函数 (0<a<1)的图象的大致形状是( )
2

2

1﹣x

A.

B.

C.

D.

解:因 故选 D.

,且 0<a<1,

6. (2013 秋?文登市期末)随着市场的变化与生产成本的降低,每隔 4 年计算机的价格 降低 ,则 2000 年价格为 8100 元的计算机到 2016 年价格应为( A.3000 元 B.2400 元 C.1600 元 D.1000 元 . =1600 元. )

解:∵每隔 4 年计算机的价格降低 ,∴第 n 年的价格 an= ∴2000 年价格为 8100 元的计算机到 2016 年价格= 故选:C.

7. (2014?漳州二模)函数 y=a ﹣(b+1) (a>0 且 a≠1)的图象在第一、三、四象限, 则必有( ) A.0<a<1,b>0 B.0<a<1,b<0 C.a>1,b<0 D.a>1,b>0 解:由题意,画出草图如下图: 结合图形,可得 a>1 且 b+1>1,∴a>1,b>0. 故选 D.

x

8. (2014 秋?梓潼县校级期中) 函数 y=a ﹣( 2 a>0 且 a≠1, ﹣1≤x≤1) 的值域是 则实数 a=( A.3 B. ) C.3 或
x

x



D. 或

解:当 a>1 时,函数 y=a ﹣2(a>0 且 a≠1,﹣1≤x≤1)是增函数,

∵值域是[a ﹣2,a﹣2],∴
x

﹣1

?a=3;

当 0<a<1 时,函数 y=a ﹣2(a>0 且 a≠1,﹣1≤x≤1)是减函数,
﹣1

∵值域是[a﹣2,a ﹣2],∴

?



综上所述,可得实数 a=3 或 故选 C.

9. (2015?珠海校级四模)已知奇函数 a≠1)对应的图象如图所示,那么 g(x)=( )

如果 f(x)=a (a>0 且

x

A.

B.

C.2

﹣x

D.﹣2

x

解:当 x>0 时,函数单调递减,则 0<a<1, ∵f(1)= ,∴a= ,即函数 f(x)=( ) , 当 x<0,则﹣x>0,则 f(﹣x)=( ) =﹣f(x) , 则 y=﹣( ) =﹣2 ,即 g(x)=﹣2 ,x<0, 故选:D 10. (2015?泉州模拟)函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b)的图象如图所示,则 函数 g(x)=a +b 的大致图象是(
x
﹣x ﹣x

x

x

x



A.

B.

C.

D.

解:由 f(x)的图象可知 0<a<1,b<﹣1, 则函数 g(x)为减函数,且 g(0)=1+b<0, 故选:A

11. (2013 秋?信阳期末)若函数 则实数 a 的取值范围是( A. B. ) C. D.

是 R 上的单调函数,

解:∵
﹣x


﹣x

当 x≥﹣1 时,f(x)=a ,则必有 a>0,此时 f(x)=a , 而当 x<﹣1 时,f(x)=a(x﹣1)+1,由于 a>0,则其为增函数, 故 f(x)=a =( ) , (x≥﹣1)必为增函数, 则有 ∴ 故选 D. ,即 a<1,且﹣2a+1≤a,∴a≥ ;
﹣x

x

12. (2014?上海模拟)已知关于 x 的方程|3 ﹣1|=k,则下列说法错误的是( A.当 k>1 时,方程的解的个数为 1 个 B.当 k=0 时,方程的解的个数为 1 个 C.当 0<k<1 时,方程的解的个数为 2 个 D.当 k=1 时,方程的解的个数为 2 个 解:画出函数 y=|3 ﹣1|,和 y=k 的图象,如图; 结合函数的图象,得
x

x



当 k>1 时,两函数的图象有 1 个交点,∴方程|3 ﹣1|=k 的解有 1 个,∴A 正确;

x

当 k=0 时,两函数的图象有 1 个交点,∴方程|3 ﹣1|=k 的解有 1 个,∴B 正确; x 当 0<k<1 时,两函数的图象有 2 个交点,∴方程|3 ﹣1|=k 的解有 2 个,∴C 正确; x 当 k=1 时,两函数的图象有 1 个交点,∴方程|3 ﹣1|=k 的解有 1 个,∴D 错误; 故选:D.

x

二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (2015?衢州一模)定义在 R 上的偶函数 f(x) ,当 x≥0 时.f(x)=2 ,则满足 f(1 ﹣2x)<f(3)的 x 取值范围是 (﹣1,2) . 解:∵定义在 R 上的偶函数 f(x) ,当 x≥0 时.f(x)=2 , 即偶函数 f(x)在(﹣∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数 ∴自变量的绝对值越大函数值越大 ∴f(1﹣2x)<f(3)?|1﹣2x|<3?﹣3<1﹣2x<3?﹣1<x<2 故答案为 (﹣1,2) 14. (2015 春?常州期中)如果函数 y=a +2a ﹣1(a>0,a≠1)在区间[﹣1,1]上的最 大值是 14,则实数 a 的值为 3 或
x 2x x x x


2 2

解:设 t=a ,则函数等价为 y=f(t)=t +2t﹣1=(t+1) ﹣2, 对称轴为 t=﹣1, 若 a>1,则 0< ≤t≤a, 此时函数的最大值为 f(a)=(a+1) ﹣2=14,即(a+1) =16, 即 a+1=4 或 a+1=﹣4,即 a=3 或 a=﹣5(舍) , 若 0<a<1,则 0<a≤t≤ , 此时函数的最大值为 f( )=( +1) ﹣2=14,即( +1) =16, 即 +1=4 或 +1=﹣4,即 =3 或 =﹣5(舍) ,解得 a= , 综上 3 或 ; 故答案为:3 或 ;
2 2 2 2

15. (2014?北京模拟)已知函数 f(x)= 则实数 a 的取值范围是 ﹣1<a<2 . 解:f(x)=2 ﹣1 在(﹣∞,0)上单调递减函数 2 f(x)=﹣x ﹣2x 在(0,+∞)上单调递减函数 而函数在 x=0 处连续,∴函数 f(x)在 R 上是单调递减函数 而 f(a ﹣2)>f(a) ,∴a ﹣2<a,解得 a∈(﹣1,2) . 故答案为:﹣1<a<2.
2 2
﹣x

,若 f(a ﹣2)>f(a) ,

2

16. (2014?开福区校级模拟)若 x1,x2∈R,x1≠x2,则下列性质对函数 f(x)=2 成立 的是 ①③④ . (把满足条件的序号全部写在横线上) ①f(x1+x2)=f(x1)?f(x2)②f(x1?x2)=f(x1)+f(x2) ③[f(x1)﹣f(x2)]?(x1﹣x2)>0④ 解:①f(x1+x2)= ②f(x1?x2)= 错 ③f(x)在定义域 R 上是增函数,对于任意的两不等实数 x1,x2,若 x1>x2 则 f(x1) ,若 x1<x2 则 f(x1)<f(x2) ,总之必有[f(x1)﹣f(x2)]?(x1﹣x2)>0.③ >f(x2) 对 ④如图 A,B 为函数图象上任意不同两点,M 为线段 AB 的中点,过 M 且与 x 轴垂直 = =f(x1)?f(x2)①对 ,f(x1?x2)≠f(x1)+f(x2)② .

x

,f(x1)+f(x2)=

的直线与图象交与点 P.各点坐标如图所示. 由图可知 故答案为:①③④. ,两边同时乘以 2,即知④对.

三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17. (本小题 10 分) (1)化简



(2)已知 x+y=12,xy=9,且 0<x<y,求

的值.

解: (1)原式=(0.0081) = ×[ + ]﹣10×

﹣[3× ( ) ] ?[81

0

﹣1

﹣0.25

+ (3 )

]

﹣10×0.027

=3﹣3=0;

(2)号

=

=



∵x+y=12,xy=9,且 0<x<y, ∴ =﹣ =﹣ =﹣ ;



=

=

=



18. (本小题 12 分) 我们把集合{x|x∈A 且 x?B}叫做集合 A 与 B 的差集, 记作 A﹣B. 据 此回答下列问题: (Ⅰ)若 A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},求 A﹣B; (Ⅱ)在下列各图中用阴影部分表示集合 A﹣B; (Ⅲ)若 A={x|0<x≤a},B={x|﹣1≤x≤2},且 A﹣B=?,求 a 的取值范围.

解: (Ⅰ)若 A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},

则 A﹣B={1}; (Ⅱ)在下列各图中用阴影部分表示集合 A﹣B;

(Ⅲ)若 A={x|0<x≤a},B={x|﹣1≤x≤2},且 A﹣B=?, 则 a≤2,又 0<a ∴a 的取值范围是(0,2] 19. (本小题 12 分)设函数 f(x)=ax +bx+1(a,b 为常数,且 a>0) ,f(﹣1)=0, 且对任意实数 x 均有 f(x)≥0. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)若 g(x)=f(x)﹣kx(x∈[﹣2,2])是单调函数,求实数 k 的取值范围. 解: (1)∵f(﹣1)=0,∴b=a+1; ∴f(x)=ax +(a+1)x+1, 又∵对任意实数 x 均有 f(x)≥0, ∴△=(a﹣1) ≤0,故 a=1;故 f(x)=x +2x+1; 2 (2)g(x)=x +(2﹣k)x+1, ∵g(x)=f(x)﹣kx(x∈[﹣2,2])是单调函数, ∴ ≤﹣2 或 ≥2;故 k≤﹣2 或 k≥6.
2 2 2 2

20. (本小题 12 分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳含量 达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常.排气后 4 分钟测得车库内的一氧化碳浓度为 64ppm(ppm 为浓度单位,一个 ppm 表示百万分之一) ,再过 4 分钟又测得浓度为 32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度 y(ppm)与排气时间 t(分钟)存在函数 关系 y=c( ) (c,m 为常数) . 1)求 c,m 的值 2)若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5ppm 为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车 库中的一氧化碳含量才能达到正常状态? 解: (1)∵函数 y=c( ) (c,m 为常数)经过点(4,64) , (8,32) ,
mt mt



解得 m= ,c=128,

(2)由(1)得 y=128

,∴128

< ,解得 t=32.

故至少排气 32 分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态. 21. (本小题 12 分)已知奇函数 f(x)= 的定义域为 R,其中 g(x)为指数

函数且过点(2,9) . (Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)判断函数 f(x)的单调性,并用函数单调性定义证明. 解: (Ⅰ)设 g(x)=a ,由 g(x)的图象过点(2,9) ,可得 a =9,∴a=3,g(x)=3 . 故函数 f(x)= = .
x 2 x

再根据 f(x)为奇函数,可得 f(0)=

=

=0,

∴m=g(0)=1,即 f(x)=



(Ⅱ)∵f(x)=

=

=

﹣1, .

设 x1<x2,则 0<





由于 f(x1)﹣f(x2)=



=



结合 0<



,可得 2(



)>0,

∴f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) ,故 f(x)在 R 上单调递减. 22. (本小题 12 分)已知函数 f(x)=b?a (其中 a,b 为常量,且 a>0,a≠1)的图象 经过点 A(1,6) ,B(3,24) . (1)求 f(x) ;
x

(2)若不等式( ) +( ) ﹣m≥0 在 x∈(﹣∞,1]时恒成立,求实数 m 的取值范围.
x

x

x

解: (1)把 A(1,6) ,B(3,24)代入 f(x)=b?a ,得
x

结合 a>0 且 a≠1,解得:
x x

,∴f(x)=3?2 .

(2)要使( ) +( ) ≥m 在(﹣∞,1]上恒成立, 只需保证函数 y=( ) +( ) 在(﹣∞,1]上的最小值不小于 m 即可. ∵函数 y=( ) +( ) 在(﹣∞,1]上为减函数, ∴当 x=1 时,y=( ) +( ) 有最小值.∴只需 m≤ 即可.
x x x x x x


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