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长乐市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

长乐市民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 不等式 A. C. 或 或 B.2x﹣y+1=0 的解集为( ) B. D. ) C.x+2y﹣7=0 D.x﹣2y+5=0 )

姓名__________

分数__________

2. 过直线 3x﹣2y+3=0 与 x+y﹣4=0 的交点,与直线 2x+y﹣1=0 平行的直线方程为( A.2x+y﹣5=0 → → → 3. 已知点 A(0,1),B(3,2),C(2,0),若AD=2DB,则|CD|为( 4 A.1 B. 3 5 C. D.2 3 4. 487 被 7 除的余数为 a(0≤a<7),则 A.4320 B.﹣4320 5. 复数 C.20 D.﹣20 展开式中 x﹣ 的系数为(
3



(1 ? i ) 2 的值是( ) 3?i 1 3 1 3 A. ? ? i B. ? i 4 4 4 4
6. P 是双曲线

C. ?

1 3 ? i 5 5

D.

1 3 ? i 5 5

【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则,突出复数知识中的基本运算,属于容易题. =1(a>0,b>0)右支上一点,F1、F2 分别是左、右焦点,且焦距为 2c,则△ PF1F2 ) C.c ,则 f(2016)等于( B.0 C.1 D.a+b﹣c ) D.2 )

的内切圆圆心的横坐标为( A.a 7. 已知 f(x)= A.﹣1 B.b

8. 在等比数列{an}中,已知 a1=3,公比 q=2,则 a2 和 a8 的等比中项为( A.48 B.±48 C.96 D.±96

9. 已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为

1 时,则输入的值为( 2



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A. 2

B. ? 1

C. ? 1 或 2

D. ? 1 或 10 )

10.如图所示是一样本的频率分布直方图,则由图形中的数据,可以估计众数与中位数分别为(

A.10 13

B.12.5

12 C.12.5 13 D.10 15 =( )

11.已知平面向量 =(1,2), =(﹣2,m),且 ∥ ,则 A.(﹣5,﹣10)

B.(﹣4,﹣8) C.(﹣3,﹣6) D.(﹣2,﹣4) )

12.某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取 一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为( A.100 B.150 C.200 D.250

二、填空题
13.已知圆 C:x ? y ? 2x ? 4 y ? m ? 0 ,则其圆心坐标是_________, m 的取值范围是________.
2 2

【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识,意在考查运算求解能力. 14.在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为 ①函数 y=2x +3x﹣1 的图象关于点(0,1)成中心对称; ②对?x,y∈R.若 x+y≠0,则 x≠1 或 y≠﹣1; ③若实数 x,y 满足 x2+y2=1,则 的最大值为 ;
3



④若△ ABC 为锐角三角形,则 sinA<cosB. ⑤在△ ABC 中,BC=5,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心,且 15.在复平面内,复数
3

?

=5,则△ ABC 的形状是直角三角形. ____. .


2

对应的点关于虚轴对称,且

,则

16.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 , x ? ?3 是函数 f ( x ) 的一个极值点,则实数 a ?

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17.命题“对任意的 x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是



18.阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 n 的值等于_________.

三、解答题
别是线段 AB,CD,PD 上的点.

开始
n ?1

19.已知等边三角形 PAB 的边长为 2,四边形 ABCD 为矩形,AD=4,平面 PAB⊥平面 ABCD,E,F,G 分 (1)如图 1,若 G 为线段 PD 的中点,BE=DF= ,证明:PB∥平面 EFG;
否 (2)如图 2,若 E,F 分别是线段 AB,CD 的中点, S ? T? DG=2GP,试问:矩形 ABCD 内(包括边界)能否找到
S ? 5, T ? 1

点 H,使之同时满足下面两个条件,并说明理由. 是
输出 4 ①点 H 到点 F 的距离与点 H 到直线 AB 的距离之差大于 ; n S ? S ?4

②GH⊥PD.

T ? 2T

结束

n ? n ?1

20.设 p:关于 x 的不等式 ax>1 的解集是{x|x<0};q:函数 p∧q 是假命题,求实数 a 的取值范围.

的定义域为 R.若 p∨q 是真命题,

21.某港口的水深 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,下面是每天时间与水深的关系表:

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t 0 3 6 9 12 15 y 10 13 9.9 7 10 13 经过长期观测,y=f(t)可近似的看成是函数 y=Asinωt+b (1)根据以上数据,求出 y=f(t)的解析式;

18 10.1

21 7

24 10

(2)若船舶航行时,水深至少要 11.5 米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港?

22.已知函数 f(x0=



(1)画出 y=f(x)的图象,并指出函数的单调递增区间和递减区间; (2)解不等式 f(x﹣1)≤﹣ .

23.【徐州市 2018 届高三上学期期中】已知函数 (1)若函数 (2)求函数 (3)设函数 在区间 的极值;



, 是自然对数的底数).

上是单调减函数,求实数 的取值范围;

图象上任意一点处的切线为 ,求 在 轴上的截距的取值范围.

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24.【南师附中 2017 届高三模拟一】已知 a , b 是正实数,设函数 f ? x ? ? xlnx, g ? x ? ? ?a ? xlnb . (1)设 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,求 h ? x ? 的单调区间; (2)若存在 x0 ,使 x0 ? ?

b ? a ? b 3a ? b ? 且 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,求 的取值范围. , ? a 5 ? ? 4

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长乐市民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】 令 得 , ; 或 ,故选 A 其对应二次函数开口向上,所以解集为 答案:A 2. 【答案】A 【解析】解:联立 ∴交点为(1,3), 过直线 3x﹣2y+3=0 与 x+y﹣4=0 的交点, 与直线 2x+y﹣1=0 平行的直线方程为:2x+y+c=0, 把点(1,3)代入,得:2+3+c=0, 解得 c=﹣5, ∴直线方程是:2x+y﹣5=0, 故选:A. 3. 【答案】 【解析】解析:选 C.设 D 点的坐标为 D(x,y), → → ∵A(0,1),B(3,2),AD=2DB, ∴(x,y-1)=2(3-x,2-y)=(6-2x,4-2y), ,得 x=1,y=3,

?x=6-2x, ? 5 ∴? 即 x=2,y= , 3 ? ?y-1=4-2y
5 5 → ∴CD=(2, )-(2,0)=(0, ), 3 3 5 5 → ∴|CD|= 02+( )2= ,故选 C. 3 3 4. 【答案】B
7 7 解析:解:48 =(49﹣1) =



+…+

﹣1,

∵48 被 7 除的余数为 a(0≤a<7), ∴a=6,

7

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展开式的通项为 Tr+1=



令 6﹣3r=﹣3,可得 r=3, ∴ 故选:B.. 5. 【答案】 C 【解析】 展开式中 x﹣ 的系数为
3

=﹣4320,

(1 ? i)2 2i 2i(3 ? i) ? 2 ? 6i 1 3 ? ? ? ?? ? i. 3?i 3 ? i (3 ? i)(3 ? i) 10 5 5

6. 【答案】A 【解析】解:如图设切点分别为 M,N,Q, 则△PF1F2 的内切圆的圆心的横坐标与 Q 横坐标相同. 由双曲线的定义,PF1﹣PF2=2a. 由圆的切线性质 PF1﹣PF2=FIM﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a, ∵F1Q+F2Q=F1F2=2c, ∴F2Q=c﹣a,OQ=a,Q 横坐标为 a. 故选 A.

【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质,强调了双曲线的定义. 7. 【答案】D 【解析】解:∵f(x)= ,

∴f(2016)=f(2011)=f(2006)=…=f(1)=f(﹣4)=log24=2, 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数求值,难度不大,属于基础题.

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8. 【答案】B 【解析】解:∵在等比数列{an}中,a1=3,公比 q=2, ∴a2=3×2=6, =384, ∴a2 和 a8 的等比中项为 故选:B. 9. 【答案】 D 【解析】 =±48.

?2 x x ? 0 1 1 x 试题分析:程序是分段函数 y ? ? ,当 x ? 0 时, 2 ? ,解得 x ? ?1 ,当 x ? 0 时, lg x ? , 2 2 ?lg x x ? 0 解得 x ? 10 ,所以输入的是 ? 1 或 10 ,故选 D.
考点:1.分段函数;2.程序框图.11111] 10.【答案】C 【解析】解:众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标, ∴中间的一个矩形最高,故 10 与 15 的中点是 12.5,众数是 12.5 而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于 Y 轴的直线横坐标 第一个矩形的面积是 0.2,第三个矩形的面积是 0.3,故将第二个矩形分成 3:2 即可 ∴中位数是 13 故选:C. 【点评】用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法.频率分布直方图中小长方形的面积=组距 × ,各个矩形面积之和等于 1,能根据直方图求众数和中位数,属于常规题型.

11.【答案】B 【解析】解:排除法:横坐标为 2+(﹣6)=﹣4, 故选 B. 12.【答案】A 【解析】解:分层抽样的抽取比例为 总体个数为 3500+1500=5000, ∴样本容量 n=5000× =100. = ,

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故选:A.

二、填空题
13.【答案】 (1, ?2) , (??,5) . 【解析】将圆的一般方程化为标准方程, ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ? m ,∴圆心坐标 (1, ?2) , 而 5 ? m ? 0 ? m ? 5 ,∴ m 的范围是 (??,5) ,故填: (1, ?2) , (??,5) . 14.【答案】 :①②③
3 【解析】解:对于①函数 y=2x ﹣3x+1=的图象关于点(0,1)成中心对称,假设点(x0,y0)在函数图象上,

则其关于①点(0,1)的对称点为(﹣x0,2﹣y0)也满足函数的解析式,则①正确; 对于②对?x,y∈R,若 x+y≠0,对应的是直线 y=﹣x 以外的点,则 x≠1,或 y≠﹣1,②正确;
2 2 对于③若实数 x,y 满足 x +y =1,则

=

2 2 ,可以看作是圆 x +y =1 上的点与点(﹣2,0)连线

的斜率,其最大值为

,③正确;

对于④若△ ABC 为锐角三角形,则 A,B,π﹣A﹣B 都是锐角, 即 π﹣A﹣B< 则 cosB<cos( ,即 A+B> ﹣A), ,B> ﹣A,

即 cosB<sinA,故④不正确. 对于⑤在△ ABC 中,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心, 取 BC 的中点为 D,连接 AD、OD、GD,如图:则 OD⊥BC,GD= AD, ∵ 由 则 即 则 又 BC=5 则有 由余弦定理可得 cosC<0, 即有 C 为钝角. 则三角形 ABC 为钝角三角形;⑤不正确. , = |,

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故答案为:①②③ 15.【答案】-2 【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知: 所以 故答案为:-2 16.【答案】5 【解析】 试题分析: f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? 3,? f ' (?3) ? 0,? a ? 5 . 考点:导数与极值. 17.【答案】 存在 x∈R,x3﹣x2+1>0 .

【解析】解:因为全称命题的否定是特称命题, 所以命题“对任意的 x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是:存在 x∈R,x3﹣x2+1>0. 故答案为:存在 x∈R,x3﹣x2+1>0. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系. 18.【答案】 6 【解析】解析:本题考查程序框图中的循环结构.第 1 次运行后, S ? 9, T ? 2, n ? 2, S ? T ;第 2 次运行后,

S ? 13, T ? 4, n ? 3, S ? T ; 第 3 次 运 行 后 , S ? 17, T ? 8, n ? 4, S ? T ; 第 4 次 运 行 后 , S ? 21, T ? 16, n ? 5, S ? T ;第 5 次运行后,S ? 25, T ? 32, n ? 6, S ? T ,此时跳出循环,输出结果 n ? 6 程
序结束.

三、解答题
19.【答案】 【解析】(1)证明:依题意,E,F 分别为线段 BA、DC 的三等分点, 取 CF 的中点为 K,连结 PK,BK,则 GF 为△DPK 的中位线, ∴PK∥GF, ∵PK?平面 EFG,∴PK∥平面 EFG, ∴四边形 EBKF 为平行四边形,∴BK∥EF, ∵BK?平面 EFG,∴BK∥平面 EFG, ∵PK∩BK=K,∴平面 EFG∥平面 PKB, 又∵PB?平面 PKB,∴PB∥平面 EFG.

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(2)解:连结 PE,则 PE⊥AB, ∵平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB, PE?平面 PAB,PE⊥平面 ABCD, 分别以 EB,EF,EP 为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系, ∴P(0,0, ),D(﹣1,4,0), ),∵P(0,0, =(﹣1,4,﹣ ), ), ), =(﹣1,4,﹣ D(﹣1,4,0), ∵ =

=(﹣ , ,﹣ ),

∴G(﹣ , ,

设点 H(x,y,0),且﹣1≤x≤1,0≤y≤4, 依题意得:
2 ∴x >16y,(﹣1≤x≤1),(i)





=(x+ ,y﹣ ,﹣ ,

),

∵GH⊥PD,∴ ∴﹣x﹣ +4y﹣

,即 y=
2

,(ii)

把(ii)代入(i),得:3x ﹣12x﹣44>0, 解得 x>2+ 或 x<2﹣ ,

∵满足条件的点 H 必在矩形 ABCD 内,则有﹣1≤x≤1, ∴矩形 ABCD 内不能找到点 H,使之同时满足①点 H 到点 F 的距离与点 H 到直线 AB 的距离之差大于 4, ②GH⊥PD.

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【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能 力、空间想象能力,考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识. 20.【答案】
x 【解析】解:∵关于 x 的不等式 a >1 的解集是{x|x<0},∴0<a<1;

故命题 p 为真时,0<a<1; ∵函数 ∴ 的定义域为 R, ?a≥ ,

由复合命题真值表知:若 p∨q 是真命题,p∧q 是假命题,则命题 p、q 一真一假, 当 p 真 q 假时,则 ?0<a< ;

当 q 真 p 假时,则

?a≥1,

综上实数 a 的取值范围是(0, )∪[1,+∞). 21.【答案】 【解析】解:(1)由表中数据可以看到:水深最大值为 13,最小值为 7, ∴ =10,

且相隔 9 小时达到一次最大值说明周期为 12, 因此 故 , , (0≤t≤24)

(2)要想船舶安全,必须深度 f(t)≥11.5,即 ∴ , k∈Z

解得:12k+1≤t≤5+12k 又 0≤t≤24 当 k=0 时,1≤t≤5; 当 k=1 时,13≤t≤17;

故船舶安全进港的时间段为(1:00﹣5:00),(13:00﹣17:00).

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【点评】本题主要考查三角函数知识的应用问题.解决本题的关键在于求出函数解析式.求三角函数的解析式 注意由题中条件求出周期,最大最小值等. 22.【答案】 【解析】解:(1)图象如图所示:由图象可知函数的单调递增区间为 (﹣∞,0),(1,+∞), 丹迪减区间是(0,1) (2)由已知可得





解得 x≤﹣1 或 ≤x≤ , 故不等式的解集为(﹣∞,﹣1]∪ [ , ].

【点评】本题考查了分段函数的图象的画法和不等式的解集的求法,属于基础题.

23.【答案】(1)

(2)见解析(3) 在区间 上恒成立,化简可得一次函数恒成立,根据一次函

【解析】试题分析:(1)由题意转化为

数性质得不等式,解不等式得实数 的取值范围;(2)导函数有一个零点,再根据 a 的正负讨论导函数符号变 化规律,确定极值取法(3)先根据导数得切线斜率再根据点斜式得切线方程,即得切线在 x 轴上的截距,最 后根据 a 的正负以及基本不等式求截距的取值范围.

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试题解析:(1)函数 则 又 在区间 ,所以

的导函数 在区间 上恒成立,



上恒成立,且等号不恒成立,

记 (2)由 ①当 所以函数 所以函数 ②当 所以函数 所以函数 综上可知: 当 当 (3)设切点为 时,有 在 在 时,有 在 在

,只需

, 即 ,得 ; 单调递增, ,

,解得



, 单调递减, ,没有极小值.

取得极大值 ; 单调递减, 取得极小值 时,函数 时,函数 , 在 在

, 单调递增, ,没有极大值. 取得极大值 取得极小值 ,没有极小值; ,没有极大值. , ,其在 轴上的截距不存在.

则曲线在点 处的切线 方程为 当 当 时,切线 的方程为 时,令 ,得切线 在 轴上的截距为

, 当 时,

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当且仅当 当 时,

,即



时取等号;



当且仅当

,即



时取等号. .

所以切线 在 轴上的截距范围是 点睛:函数极值问题的常见类型及解题策略

(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为 0 的点,再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号. (2)已知函数求极值.求 论. (3)已知极值求参数.若函数 反. 在点 处取得极值,则 ,且在该点左、右两侧的导数值符号相 →求方程 的根→列表检验 在 的根的附近两侧的符号→下结

b ?b ? , ? ? 上单调递增.(2) e ? ? 7 a ?e ? 【解析】【试题分析】(1)先对函数 h ? x ? ? xlnx ? xlnb ? a, x ? ? 0, ?? 求导得 h ' ? x ? ? lnx ? 1 ? lnb ,再解不
24.【答案】(1)在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? 等式 h ' ? x ? ? 0 得 x ?

? ?

b? e?

情形,分别研究函数 h ? x ? ? xlnx ? xlnb ? a, x ? ? 0, ?? 的最小值,然后建立不等式进行分类讨论进行求解出 其取值范围 e ?

b b 求出单调增区间;解不等式 h ' ? x ? ? 0 得 x ? 求出单调减区间;( 2)先依据题设 e e a ? b 3a ? b b a ? b b 3a ? b b a ? b b 3a ? b ? ? ? 得 ? 7 ,由(1)知 h ? x ?min ? 0 ,然后分 、 ? 、 ? 三种 4 5 a 4 e 5 e 4 e 5
b ?7: a b ? b? ,?h ' ? x ? 在 ? 0, ? e ? e?

解: (1) h ? x ? ? xlnx ? xlnb ? a, x ? ? 0, ?? , h ' ? x ? ? lnx ? 1? lnb ,由 h ' ? x ? ? 0 得 x ? 上单调递减,在 ?

?b ? , ? ? 上单调递增. ?e ?
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a ? b 3a ? b b ? 得 ? 7 ,由条件得 h ? x ?min ? 0 . 4 5 a a ? b b 3a ? b e b 3e b b ?b? ? ? ? ? ①当 ,即 时, h ? x ?min ? h ? ? ? ? ? a ,由 ? ? a ? 0 得 4 e 5 4?e a 5?e e e ?e? b b 3e ? e,? e ? ? . a a 5?e b a?b 4?e ? a ? b 3a ? b ? b,? h ? x ? 在 ? ②当 ? 时, a ? 上单调递增, , e 4 a 5 ? ? 4 ? a?b ? b ? a?b ? a?b? a?b ? ? h ? x ?min ? h ? ? lnb ? ? a ? ?? ? ln ? ln ? lnb ? ? a 4 ? 4 4 ? e ? 4 ? ? ? 4?e 3? b?b a?b 3?e e ? ? ? b ? 0 ,矛盾,? 不成立. 4 4 e b 由 ? ? a ? 0 得. e b 3a ? b b 3e 5?e ? a ? b 3a ? b ? b ,? h ? x ? 在 ? ③当 ? ,即 ? 时, a ? 上单调递减, , e 5 a 5?e 3e 5 ? ? 4 ? 3a ? b ? b ? 3a ? b ? 3a ? b ? 3a ? b ? ? h ? x ?min ? h ? ? lnb ? ? a ? ?? ? ln ? ln ? lnb ? ? a 5 ? 5 5 ? e ? 5 ? ? ? 5?e 2? b ?b b 3e b 2a ? b 2?e 时恒成立,综上所述, e ? ? 7 . ? ? 3e ? b ? 0 ,? 当 ? a 5?e a 5 5 3e
(2)由

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