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永清县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

永清县第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 下列 4 个命题: ①命题“若 x2﹣x=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣x≠0”; ②若“?p 或 q”是假命题,则“p 且?q”是真命题; ③若 p:x(x﹣2)≤0,q:log2x≤1,则 p 是 q 的充要条件; ④若命题 p:存在 x∈R,使得 2x<x2,则?p:任意 x∈R,均有 2x≥x2; 其中正确命题的个数是( ) ) C.[﹣3,6] ) C.2x+ln2 ) D. D.[﹣3,+∞) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2. 函数 y=x2﹣4x+1,x∈[2,5]的值域是( A.[1,6] B.[﹣3,1]
x

姓名__________

分数__________

3. 已知函数 f(x)=2 ,则 f′(x)=( A.2x B.2xln2

4. 执行如图所示的程序框图,输出的结果是(

A.15 B.21 C.24 D.35 5. 天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为 40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中 恰有两天下雨的概率:先利用计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,用 1,2,3,4 表示下雨,用 5,6, 7,8,9,0 表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表这三天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数: 907 966 191 431 257 393 925 027 271 556 932 488 812 730 458 113 569 537 683 989

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据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为( A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15

) )

6. 等差数列{an}中,已知前 15 项的和 S15=45,则 a8 等于( A. B.6 C. D.3 ) B.名师出高徒 C.吸烟有害健康

7. 下列语句所表示的事件不具有相关关系的是( A.瑞雪兆丰年

D.喜鹊叫喜 在 方向上的投影为( )

8. 已知点 A(0,1),B(﹣2,3)C(﹣1,2),D(1,5),则向量 A. B.﹣ C. D.﹣

9. 已知函数 f =Asin |φ|< ω>0, (x) (ωx+φ) (a>0,

) 的部分图象如图所示, 则f (x) 的解析式是 (



A.f(x)=sin(3x+

) B.f(x)=sin(2x+ )

) C.f(x)=sin(x+



D.f(x)=sin(2x+



10.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则( A. ac ? bc B.

1 1 ? a b

C. a ? b
2

2

D. a ? b
3

3

11.已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8},集合 B={2,4,5,6,8}, 则(? UA)∩(? UB)=( A.{5,8} 的( ) B.充分不必要条件 B.{7,9} ) C.{0,1,3} D.{2,4,6}

12.设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b” A.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

二、填空题
13.已知点 M(x,y)满足 是 . . ,当 a>0,b>0 时,若 ax+by 的最大值为 12,则 + 的最小值

14.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合为

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15.对任意实数 x,不等式 ax2﹣2ax﹣4<0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 16. 17.给出下列命题: ①存在实数 α,使 ②函数 ③ 是函数 是偶函数 的一条对称轴方程 . = .



④若 α、β 是第一象限的角,且 α<β,则 sinα<sinβ 其中正确命题的序号是

18.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球 运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .

三、解答题
19.如图,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,B(﹣ , ). (I)若∠AOB=α,求 cosα+sinα 的值; (II)设点 P 为单位圆上的一个动点,点 Q 满足 的最大值. = + .若∠AOP=2θ, 表示| |,并求| |

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20.【无锡市 2018 届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路 AB,现在小路的一边围出一个三角 形 (如图) 区域, 在三角形 ABC 内种植花卉.已知 AB 长为 1 千米, 设角 C ? ? , AC 边长为 BC 边长的 a ? a ? 1? 倍,三角形 ABC 的面积为 S(千米 2). 试用 ? 和 a 表示 S ;
? (2)若恰好当 ? ? 60 时,S 取得最大值,求 a 的值.

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21.已知 f(x)=x2﹣(a+b)x+3a. (1)若不等式 f(x)≤0 的解集为[1,3],求实数 a,b 的值; (2)若 b=3,求不等式 f(x)>0 的解集.

22.(本小题满分 12 分)菜农为了蔬菜长势良好,定期将用国家规定的低毒杀虫农药对蔬菜进行喷洒,以防 止害虫的危害,待蔬菜成熟时将采集上市销售,但蔬菜上仍存有少量的残留农药,食用时可用清水清洗干净, 下表是用清水 x(单位:千克)清洗该蔬菜 1 千克后,蔬菜上残存的农药 y(单位:微克)的统计表: xi 1 2 3 4 5 yi 57 53 40 30 10 (1)在下面的坐标系中,描出散点图,并判断变量 x 与 y 的相关性;

(2)若用解析式 y=cx2+d 作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程,求其解析式;(c,a 精确到 0.01); 附:设 ωi=x2 i ,有下列数据处理信息: ω =11, y =38, (ωi- ω )(yi- y )=-811, 计分别为 (ωi- ω )2=374,

对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线方程 y=bx+a 的斜率和截距的最小二乘估

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(3)为了节约用水,且把每千克蔬菜上的残留农药洗净估计最多用多少千克水.(结果保留 1 位有效数字)

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,过点 F1 作垂直 8 4 于轴的直线,直线 l 2 垂直于点 P ,线段 PF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M . (1)求点 M 的轨迹 C2 的方程;
23.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 : (2)过点 F2 作两条互相垂直的直线 AC 、BD ,且分别交椭圆于 A、B、C、D ,求四边形 ABCD 面积 的最小值.

24.(本题满分 12 分)在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? AD ? a , E 是棱 CD 上的一点, P 是棱 AA 1 上的一点. (1)求证: AD1 ? 平面 A1B1D ; (2)求证: B1E ? AD1 ; (3)若 E 是棱 CD 的中点, P 是棱 AA 1 的中点,求证: DP // 平面 B 1 AE .

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永清县第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C
2 2 【解析】解:①命题“若 x ﹣x=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣x≠0”,①正确;

②若“?p 或 q”是假命题,则?p、q 均为假命题,∴p、?q 均为真命题,“p 且?q”是真命题,②正确; ③由 p:x(x﹣2)≤0,得 0≤x≤2, 由 q:log2x≤1,得 0<x≤2,则 p 是 q 的必要不充分条件,③错误; ④若命题 p:存在 x∈R,使得 2x<x2,则?p:任意 x∈R,均有 2x≥x2,④正确. ∴正确的命题有 3 个. 故选:C. 2. 【答案】C
2 2 【解析】解:y=x ﹣4x+1=(x﹣2) ﹣3

∴当 x=2 时,函数取最小值﹣3 当 x=5 时,函数取最大值 6
2 ∴函数 y=x ﹣4x+1,x∈[2,5]的值域是[﹣3,6]

故选 C 【点评】本题考查了二次函数最值的求法,即配方法,解题时要分清函数开口方向,辨别对称轴与区间的位置 关系,仔细作答 3. 【答案】B
x x 【解析】解:f(x)=2 ,则 f'(x)=2 ln2,

故选:B. 【点评】本题考查了导数运算法则,属于基础题. 4. 【答案】C 【解析】【知识点】算法和程序框图 【试题解析】 否, 则输出 S=24. 故答案为:C 5. 【答案】B 否, 否, 是,

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【解析】解:由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果,经随机模拟产生了如下 20 组随机数, 在 20 组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有:191、271、932、812、393,共 5 组随机数, ∴所求概率为 故选 B. 6. 【答案】D 【解析】解:由等差数列的性质可得:S15= 故选:D. 7. 【答案】D 【解析】解:根据两个变量之间的相关关系, 可以得到瑞雪兆丰年,瑞雪对小麦有好处,可能使得小麦丰收, 名师出高徒也具有相关关系, 吸烟有害健康也具有相关关系, 故选 D. 【点评】 本题考查两个变量的线性相关关系, 本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个 变量之间的关系,本题是一个基础题. 8. 【答案】D 【解析】解:∵ ∴ 在 方向上的投影为 = ; = . =15a8=45,则 a8=3. .

故选 D. 【点评】考查由点的坐标求向量的坐标,一个向量在另一个向量方向上的投影的定义,向量夹角的余弦的计算 公式,数量积的坐标运算. 9. 【答案】D 【解析】解:由图象知函数的最大值为 1,即 A=1, 函数的周期 T=4( ﹣ )=4× = ,

解得 ω=2,即 f(x)=2sin(2x+φ), 由五点对应法知 2× +φ= ,

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解得 φ=

, ),

故 f(x)=sin(2x+ 故选:D 10.【答案】D 【







考 点:不等式的恒等变换. 11.【答案】B 【解析】解:由题义知,全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8},集合 B={2, 4,5,6,8}, 所以 CUA={2,4,6,7,9},CUB={0,1,3,7,9}, 所以(CUA)∩(CUB)={7,9} 故选 B 12.【答案】B 【解析】解:∵b⊥m,∴当 α⊥β,则由面面垂直的性质可得 a⊥b 成立, 若 a⊥b,则 α⊥β 不一定成立, 故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件, 故选:B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用线面垂直的性质是解决本题的关键.

二、填空题
13.【答案】 4 . 【解析】解:画出满足条件的平面区域,如图示:

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,解得:A(3,4),

显然直线 z=ax+by 过 A(3,4)时 z 取到最大值 12, 此时:3a+4b=12,即 + =1, ∴ + =( + )( + )=2+ 当且仅当 3a=4b 时“=”成立, 故答案为:4. 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了利用基本不等式求最值,解答此题的关键是对“1”的灵活运用, 是基础题. 14.【答案】 {(x,y)|xy>0,且﹣1≤x≤2,﹣ ≤y≤1} . 【解析】解:图中的阴影部分的点设为(x,y)则 {x,y)|﹣1≤x≤0,﹣ ≤y≤0 或 0≤x≤2,0≤y≤1} ={(x,y)|xy>0 且﹣1≤x≤2,﹣ ≤y≤1} 故答案为:{(x,y)|xy>0,且﹣1≤x≤2,﹣ ≤y≤1}. 15.【答案】 (﹣4,0] . 【解析】解:当 a=0 时,不等式等价为﹣4<0,满足条件; 当 a≠0 时,要使不等式 ax2﹣2ax﹣4<0 恒成立, 则满足 , + ≥2+2 =4,

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即 ∴ 解得﹣4<a<0,



综上:a 的取值范围是(﹣4,0]. 故答案为:(﹣4,0]. 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,注意要对二次项系数进行讨论. 16.【答案】 2 . 【解析】解: 故答案为:2. 【点评】本题考查了对数的运算性质,属于基础题. 17.【答案】 ②③ . 【解析】解:①∵sinαcosα= sin2α∈[ 错误, ②函数 ③当 时, =cosx 是偶函数,故②正确, =cos(2× + )=cosπ=﹣1 是函数的最小值,则 是函数 , ],∵ > ,∴存在实数 α,使 错误,故① =2+lg100﹣2=2+2﹣2=2,

的一条对称轴方程,故③正确, ④ 当 α= ,β= ,满足 α、β 是第一象限的角,且 α<β,但 sinα=sinβ,即 sinα<sinβ 不成立,故④错误,

故答案为:②③. 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及三角函数的图象和性质,考查学生的运算和推理能力.

18.【答案】 12 . 【解析】解:设两者都喜欢的人数为 x 人,则只喜爱篮球的有(15﹣x)人,只喜爱乒乓球的有(10﹣x)人, 由此可得(15﹣x)+(10﹣x)+x+8=30,解得 x=3, 所以 15﹣x=12,

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即所求人数为 12 人, 故答案为:12.

三、解答题
19.【答案】 【解析】 解:(Ⅰ)点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,B(﹣ , ). 可得 sinα= ,cosα= ,∴cosα+sinα= . = =(1+cos2θ,sin2θ), =2|cosθ|,因为 ,

(Ⅱ)因为 P(cos2θ,sin2θ),A(1,0)所以 所以 所以 | = =2|cosθ|∈ . , =

|的最大值

【点评】本题考查三角函数的定义的应用,三角函数最值的求法,考查计算能力. 20.【答案】(1) S ?

1 asin? ? (2) a ? 2 ? 3 2 2 1 ? a ? 2acos?

【解析】 解析: (1)设边 BC ? x ,则 AC ? ax , 在三角形 ABC 中,由余弦定理得:

试题

1 ? x2 ? ax2 ? 2ax2cos? , 1 2 所以 x ? , 2 1 ? a ? 2acos? 1 1 asin? 所以 S ? ax ? x ? sin? ? ? , 2 2 2 1 ? a ? 2acos?
2 1 acos? 1 ? a ? 2acos? ? 2asin? ? asin? (2)因为 S ? ? ? , 2 2 1 ? a 2 ? 2acos?

?

?

?

?

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2 2 1 acos? 1 ? a ? 2a , ? ? 2 1 ? a 2 ? 2acos? 2

?

?

?

?

2a , 1 ? a2 2a 且当 ? ? ?0 时, cos? 0 ? , S? ? 0 , 1 ? a2 2a 当 ? ? ?0 时, cos? 0 ? , S? ? 0 , 1 ? a2
令 S ? ? 0 ,得 cos? 0 ? 所以当 ? ? ?0 时,面积 S 最大,此时 ?0 ? 600 ,所以 解得 a ? 2 ? 3 , 因为 a ? 1 ,则 a ? 2 ? 3 . 点睛:解三角形的实际应用,首先转化为几何思想,将图形对应到三角形,找到已知条件,本题中对应知道一 个角,一条边,及其余两边的比例关系,利用余弦定理得到函数方程;面积最值的处理过程中,若函数比较复 杂,则借助导数去求解最值。 21.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 f(x)=x2﹣(a+b)x+3a, 当不等式 f(x)≤0 的解集为[1,3]时, 方程 x2﹣(a+b)x+3a=0 的两根为 1 和 3, 由根与系数的关系得 , 解得 a=1,b=3; (2)当 b=3 时,不等式 f(x)>0 可化为 x2﹣(a+3)x+3a>0, 即(x﹣a)(x﹣3)>0; ∴当 a>3 时,原不等式的解集为:{x|x<3 或 x>a}; 当 a<3 时,原不等式的解集为:{x|x<a 或 x>3}; 当 a=3 时,原不等式的解集为:{x|x≠3,x∈R}. 【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题,是基础题目. 22.【答案】 【解析】解:(1)

2a 1 ? , 2 1? a 2

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根据散点图可知,x 与 y 是负相关. (2)根据提供的数据,先求数据(ω1,y1),(ω 2,y2),(ω3,y3),(ω4,y4),(ω5,y5)的回归直线 方程,y=cω+d,

= ^ ^ a=y-cω =38-(-2.17)×11=61.87.

-811 ≈-2.17, 374

∴数据(ωi,yi)(i=1,2,3,4,5)的回归直线方程为 y=-2.17ω+61.87, 又 ωi=x2 i, ∴y 关于 x 的回归方程为 y=-2.17x2+61.87. (3)当 y=0 时,x=
2

61.87 = 2.17

6187 ≈5.3.估计最多用 5.3 千克水. 217

23.【答案】(1) y ? 8x ;(2) 【解析】

64 . 9

试题分析:(1)求得椭圆的焦点坐标,连接 MF2 ,由垂直平分线的性质可得 MP ? MF2 ,运用抛物线的定 义,即可得到所求轨迹方程;(2)分类讨论:当 AC 或 BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,此时四
2

边形 ABCD 面积 S ? 2b .当直线 AC 和 BD 的斜率都存在时,不妨设直线 AC 的方程为 y ? k ?x ? 2? ,则直 线 BD 的方程为 y ? ?

1 ?x ? 2 ? .分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系,利用弦长公式可得 AC , k 1 利用四边形 ABCD 面积 S ? AC BD 即可得到关于斜率的式子, 再利用配方和二次函数的最值求法, BD . 2

即可得出.

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(2) 当直线 AC 的斜率存在且不为零时, 直线 AC 的斜率为,A( x1 , y1 ) , 则直线 BD 的斜率为 ? C ( x2 , y2 ) ,

1 , k

? y ? k ( x ? 2) ? 直线 AC 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,联立 ? x 2 y 2 ,得 (2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0 .111] ?1 ? ? 4 ?8 8k 2 ? 8 8k 2 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 1 32(k 2 ? 1) | AC |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? .由于直线 BD 的斜率为 ? ,用 ? 代换上式中的。可得 2 k k 2k ? 1 2 32(k ? 1) . | BD |? k2 ? 2 1 16(k 2 ? 1)2 ∵ AC ? BD ,∴四边形 ABCD 的面积 S ? | AC | ? | BD |? 2 . 2 (k ? 2)(2k 2 ? 1) 64 (k 2 ? 2) ? (2k 2 ? 1) 2 3(k 2 ? 1) 2 2 2 2 2 ] ?[ ] ,∴ S ? 由于 (k ? 2)(2k ? 1) ? [ ,当且仅当 k ? 2 ? 2k ? 1 ,即 9 2 2 k ? ?1 时取得等号. 易知,当直线 AC 的斜率不存在或斜率为零时,四边形 ABCD 的面积 S ? 8 . 64 综上,四边形 ABCD 面积的最小值为 . 9
考点:椭圆的简单性质.1 【思路点晴】求得椭圆的焦点坐标,由垂直平分线的性质可得 | MP |?| MF2 | ,运用抛物线的定义,即可得所求的 轨迹方程.第二问分类讨论,当 AC 或 BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,四边形面积为 2b .当直线
2

AC 和 BD 的斜率都存在时,分别设出 AC, BD 的直线方程与椭圆联立得到根与系数的关系,利用弦长公式求得

AC , BD ,从而利用四边形的面积公式求最值.
24.【答案】 【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明,对空间想象能力及 逻辑推理有较高要求,对于证明中辅助线的运用是一个难点,本题属于中等难度.

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