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广东省增城市2013届高三毕业班调研测试数学(文)


增城市 2013 届高三毕业班调研测试

数学(文)试题
试题分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 共 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.第 I 卷(选择题)每小题选出答案后,用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上; 2.第 II 卷(非选择题)答案写在答卷上。 参考公式: S 球 ? 4?R 2 , V柱 ? Sh, V锥 ?

1 1 4 Sh,V台 ? ( S ? ? S ?S ? S )h,V球 ? ? R 3 3 3 3

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) P( B) .

第 I 卷(选择题,共 40 分)
一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.设集合 U ? {x x是小于9的正整数}, 集合A ? {1,2,3}, 集合B={3,4,5,6} 则 Cu A ? Cu B ? A.{3} 2.复数 B. {7,8} C. {4,5,6,7,8} D. {1,2,7,8}

5 = -2+i A. 2+i
?2

B.

?2 ? i

C.

?2 ? i

D.

2?i

3.已知函数 f ( x) ? x ,则 A.

f ( x) 为偶函数且在 (0,??) 上单调增

B. f ( x) 为奇函数且在 (0,??) 上单调增 D. f ( x) 为奇函数且在 (0,??) 上单调增

C. f ( x) 为偶函数且在 (0,??) 上单调减 4.函数 f ( x) ? log3 x 的定义域是 A.

(0,1]
2

B.

[1,??)

C.

(3,??)

D.

[3,??)

5.抛物线 y ? 2x 的焦点坐标是 A. (

1 ,0) 2

B. (0,

1 ) 2

C.

1 (0, ) 4

D.

1 (0, ) 8

6.已知实数 x 满足 x ? x ?1 ? 3, 则 x ? x
2

?2

?
C.

A. 7

B.

7

?7

D.

? 7

7.在⊿ ABC 中,已知 A ? 45?, C ? 30?, c ? 10 ,则 a ? A.

20 2

B.

10 2

C.

5 2

D.

10 6 3

8.给出三个命题: (1)若两直线和第三条直线所成的角相等,则这两直线互相平行. (2)若两直线和第三条直线垂直,则这两直线互相平行. (3)若两直线和第三条直线平行,则这两直线互相平行. 其中正确命题的个数是 A.0 B. 1 C. 2 D. 3 9.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 10 次,每次命中的环数如下: 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 则下列判断正确的是 A. 甲射击的平均成绩比乙好 B. 乙射击的平均成绩比甲好 C. 甲比乙的射击成绩稳定 D. 乙比甲的射击成绩稳定 10.设 M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点, O 为任意一点,则 OA ? OB ? OC ? OD ? A. OM B. 2OM C.

3OM

D.

4OM

第 II 卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 14~15 题是选做题,只能做一题,两题 全答的,只计算前一题得分. (1)必做题(9~13 题)
2 11.已知非空集合 A ? {x x ? a, x ? R} ,则实数 a 的取值范围是

. .

12.函数 f ( x) ? ln x 的图像在点 x ? 1 处的切线方程是 13.有一问题的算法程序是

i ?1
S ?0
WHILE i ?? 100

S ? S ?i i ? i ?1
WEND PRINT S END 则输出的结果是



(二)选做题(14、15 题) 14. (几何证明选讲选做题)已知圆 O 割线 PAB交圆 O 于 A, B ( PA ? PB) 两点,割线 PCD 经过圆 心 O ( PC ? PD) ,已知 PA ? 6 , AB ? 7 , PO ? 10 ;则圆 O 的半径是 15(坐标系与参数方程选做题)曲线 ?

1 3



? x?t ? x ? cos? ( t 为参数且 t ? 0 )与曲线 ? ( ? 为参 ?y ? t ?1 ? y ? cos 2? ? 1

数)的交点坐标是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16(12 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) ? 1 (1)求 f ( x) 的最小正周期及最大值; (2)用五点法画出 f (x) 在一个周期上的图像. 17(12 分)某种饮料每箱 6 听,如果其中有两听不合格产品. (1)质检人员从中随机抽出 1 听,检测出不合格的概率多大?; (2)质检人员从中随机抽出 2 听,检测出不合格的概率多大? 18(14 分)如图,在三棱锥 V ? ABC 中, VA ? 平面 ABC , ?ABC ? 90 ? ,且 AC ? 2 BC ? 2VA ? 4 . (1)求证:平面 VBA ? 平面 VBC ; (2)求 VV ? ABC . B C V

A

19(14 分)在等比数列 {an }(q ? 1) 中,已知 a3 ? (1)求 {an } 的通项公式; (2)求和 Sn ? a1 ? 2a2 ? ? ? nan .

3 9 , S3 ? . 2 2

20(14 分)已知点 P 是圆 ( x ? 1) ? y ? 16 上的动点,圆心为 B , A(1,0) 是圆内的定点; PA 的中
2 2

垂线交 BP 于点 Q . (1)求点 Q 的轨迹 C 的方程; (2) 若直线 l 交轨迹 C 于 M , N ( MN 与 x 轴、y 轴都不平行) 两点, 为 MN 的中点, k MN ? kOG 求 G

的值( O 为坐标系原点) .

21(14 分)圆 x 2 ? y 2 ? 1内接等腰梯形 ABCD ,其中 AB 为圆的直径(如图) . (1)设 C ( x, y )( x ? 0) ,记梯形 ABCD 的周长为 D

y
C B O

f ( x) ,求 f ( x) 的解析式及最大值;
(2)求梯形 ABCD 面积的最大值. A

x

参考答案
(1) 选择题:BCCBD ABBDD

(2) 15. (1,2) 三、解答题:

填空题:11. [0,??)

12. y ? x ? 1

13. 5050 14. 2 5

16.(1) f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 sin x cos x ?1 )

1分 3分

? ? cos 2 x ? sin 2 x
= 2 (sin 2 x cos = 2 sin( 2 x ?

?
4
)

? sin

?
4

cos 2 x)
5分 7分 9分 10 分 11 分 12 分 1分 2分 4分

4分

?
4

? f (x) 的最小正周期是 ? ,最小值是 2
(2)列表 画图 特征点 坐标系 17.(1)在 6 听中随机抽出 1 听有 6 种方法 在 2 听中随机抽出 1 听有 2 种方法 所以 P ?

2 1 ? 6 3

答: 5分 8.设合格饮料为 1,2,3,4,不合格饮料为 5,6 6分 则 6 听中选 2 听共有(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6)共 15 种 8分 有 1 听不合格的有(1,5) (1,6) (2,5) (2,6) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6)共 8 种 9 分 有 2 听不合格的有(5,6) 10 分

8 ?1 3 ? 15 5 18.(1)? VA ? 平面 ABC ?VA ? BC ? ?ABC ? 90? ? BC ? AC ? BC ? 平面 VBA ? 平面 VBA ? 平面 VBC
所以所求概率为 (2) ? ?ABC ? 90?, AC ? 2BC ? 2VA ? 4 ?VA ? VB ? 2

12 分 2分 3分 5分 7分 8分 10 分

? AB ? 2 3, BC ? 2,VA ? 2
1 1 ?VV ? ABC ? ? AB ? BC ?VA 3 2 1 ? ? 2 3 ? 2? 2 6

12 分 13 分

?

4 3 3
2

14 分

19.(1)解:由条件得: a1q ?

3 2 9 2

1分 2分

a1 ? a1q ? a1q 2 ?

?

1? q ?2 q2
1 2
6分 7分

4分

? q ? 1 ?q ? ?

5分

1 时, a1 ? 6, 2 1 n ?1 所以 an ? 6( ? ) 6 分 2
当q ? ? 或解:当 q ? 1 时由条件得:

3 ? 2 ? a1q ? 2 ? ? a (1 ? q 3 ) 9 ? 1 ? ? 1? q 2 ?

2分

1 ? q3 ? 3 ,即 2q3 ? 3q 2 ? 1 ? 0 2 q (1 ? q)

3分

?(2q ?1)(1 ? q)2 ? 0
?a1 ? 6
当 q ? 1 时, a1 ? 所以

?q ? ?

1 2

4分 5分

3 符合条件 2

6分 7分

1 0 1 1 2 1 n ?1 ] 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? ? S n ? 6[( ? ) ? 2 ? (? ) 2 ? 3 ? (? )3 ? ? ? n(? ) n ] 2 2 2 2 2 3 1 1 2 1 n ?1 1 n ? S n ? 6[1 ? (? ) ? (? ) ? ? ? (? ) ? n(? ) ] 2 2 2 2 2
(2) S n ? 6[( ? ) ? 2 ? (? ) ? 3 ? (? ) ? ? ? n(? )

8分 10 分 11 分

1 1 ? (? ) n 3 2 ? n( ? 1 ) n ] ? S n ? 6[ 1 2 2 1? 2 8 4 1 ? S n ? ? (3n ? 2)( ? ) n 3 3 2
20.(1)解:由条件知: QA ? QP

13 分

14 分 1分 2分 3分 4分 5分 6分

? QB ? QP ? 4 ? QB ? QA ? 4

? AB ? 2 ? 4
所以点 Q 的轨迹是以 B, A 为焦点的椭圆

? 2a ? 4,2c ? 2 ?b2 ? 3
所以点 Q 的轨迹 C 的方程是

x2 y2 ? ?1 4 3
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

7分

(2)解:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )(x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,则 G (

8分

?

x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 4 3 4 3

9分

1 1 2 2 ? ( x12 ? x2 ) ? ( y12 ? y2 ) ? 0 4 3

10 分

?

2 y12 ? y2 3 ?? 2 2 x1 ? x2 4

11 分

? k MN ?

y1 ? y2 y ? y2 , kOG ? 1 x1 ? x2 x1 ? x2
2 y12 ? y2 3 ? 2 ?? 2 x1 ? x2 4

13 分

? kMN ? kOG

14 分

或解:解:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )(x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,直线 MN 的方程为 y ? kx ? b(k ? 0) 则 G(

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

8分 9分

? y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b,? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2b

? kOG ?

y1 ? y2 2b ?k? x1 ? x2 x1 ? x2

10 分

将 y ? kx ? b 代入椭圆方程得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kbx ? 4b2 ?12 ? 0

11 分 12 分

? x1 ? x2 ? ?

8kb 4k 2 ? 3

? kOG

2b 4k 2 ? 3 3 ?k? ?k? ?? ? 8kb 4k 4k 2 4k ? 3
3 3 )?? 4k 4
? EB ? 1 ? x

13 分

所以 k MN ? kOG ? k ? (?

14 分 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10 分

解: (1)过点 C 作 CE ? AB 于 E , 则 OE ? x(0 ? x ? 1)

? x 2 ? y 2 ? 1,? CB ?

y 2 ? (1 ? x) 2

? 2 ? 2x

? f ( x) ? 2 ? 2x ? 2 2 ? 2x (0 ? x ? 1)
令 2 ? 2x ? t ,则 2x ? 2 ? t 2 (0 ? t ? 2 )

? f ( x) ? 4 ? t 2 ? 2t ? ?(t ?1)2 ? 5 ? 5
1 时 f (x) 有最大值 5 2 1 一、设 C ( x, y )(x ? 0) ,则 S ( x ) ? ( AB ? DC ) y 2 1 ? (2 ? 2 x) y ? ( x ? 1) 1 ? x 2 (0 ? x ? 1) 2
当 t ? 1 ,即 x ?

1 ? 2x ? S ?( x) ? 1 ? x 2 ? ( x ? 1) ? ? 2 1? x2

?

? 2x2 ? x ?1 1? x2

=0

11 分

? 2 x 2 ? x ? 1 ? 0, (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0,? x ?
且当 0 ? x ?

1 2

12 分 13 分

1 1 时, S ?( x) ? 0 ,当 ? x ? 1 时, S ?( x) ? 0 2 2

所以当 x ?

1 3 3 时, S (x) 有最大值 ,即 2 4

14 分

或解:设 ?BAC ? ? (0 ? ? ? 90?) ,过点 C 作 CE ? AB 于 E

? AB 是直径,? ?ACB ? 90? ? AC ? 2 cos ?
? AE ? AC ? c o ? ? 2 c o 2 ? , CE ? AC ? s i n ? 2 s i n c o ? s s ? ? s
? OE ? 2 s i n c o s ? 1 ? ? 1 3 S (? ) ? (2 ? 4 s i n c o s ? 2)2 s i n c o s ? 4 s i n ? c o s ? ? ? ? ? 2
2 3 ? S ?(? ) ? 4 ? 3s i n ? c o ? c o ? ? 4 s i n ? (? s i n ) s s ?

8分 9分 10 分 11 分

? 4 sin 2 ? (3 cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 4 sin 2 ? cos2 ? (3 ? tan2 ? ) ? 0

12 分

? tan? ? 3,?? ? 60?
当 0 ? ? ? 60? 时, S ?(? ) ? 0 ,当 60? ? ? ? 90? 时, S ?(? ) ? 0 所以当 ? ? 60? 时 S (? ) 有最大值

13 分

3 3 4
1 ( AB ? DC ) y 2

14 分 8分 9分 10 分

或解:设 C ( x, y )(x ? 0) ,则 S ( x ) ?

?

1 (2 ? 2 x) y ? ( x ? 1) 1 ? x 2 (0 ? x ? 1) 2

? ( x ? 1) 3 (1 ? x)

?

1 ( x ? 1)(x ? 1)(x ? 1)(3 ? 3x) 3 1 6 4 3 3 ( ) ? 3 2 4
1 时等号成立 2
13 分

11 分

?
当且仅当 x ? 1 ? 3 x ? 3 ,即 x ? 所以

12 分

14 分


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