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高三一轮复习课件:1.4运动图像和追及与相遇问题


一、图象问题的基本处理方式 1.找坐标:利用横坐标找纵坐标,利用纵坐标找 横坐标. 2.找规律:根据图线变化情况,确定两坐标所对 应的物理量之间的关系.有的可以写出对应方程 式. 3.找截距:利用图线跟坐标轴的交点,确定特殊 时候的物理量的值,有时利用它们写方程.

4.求斜率(k=tanα):曲线切线的斜率与曲线上一 点跟坐标原点连线的斜率的物理意义常常不 同.α 角是通过坐标来确定,而非直接量出的度 数. 5.求面积:曲线跟坐标轴包围的面积,时常具有 一定的物理意义.注意面积正负的物理含义. 6.找交点:同一坐标系中常常画出几条曲线,它 们的交点表示对应的物理量相同.

二、图象的作用 1.直观地反应位移x和速度v随时间t变化的规律. 2.可以直接得出任意时刻的位移和速度. 3.可以求出速度和加速度的大小和方向(看斜率). 4.v-t图线与时间轴所围“面积”表示物体在时间t 内的位移.

比较 图象

x-t图象

v-t图象

图象的物 反映的是位移随时间 反映的是速度随时间 理意义 的变化关系 的变化关系 匀变速直线运动的v 匀速直线运动的x-t 图象的形 -t图象是一条倾斜 图象是一条倾斜的直 式 的直线,如上图中b、 线,如上图中b、c、d c、d

图象斜率 的意义

直线斜率的大小表 示物体运动速度的 大小;直线斜率的 正负表示运动方向

直线斜率的大小表 示物体运动的加速 度的大小;直线斜 率的正负表示加速 度方向 图线的交点表示某 一时刻速度相等

图象交点 图线的交点表示到O 的意义 点的位移相等

续表

比较

x-t图象

v-t图象

图象与x轴的交点 图象与v轴的交点 表示物体的初位 表示物体的初速 图象与坐标轴交 置;图象与t轴的交 度;图象与t轴的交 点的意义 点表示物体从参 点表示物体的速 考点的一侧运动 度开始反向的时 到另一侧的时刻 刻

图象与坐标轴周 围成的“面积” 的物理意义

没有意义

表示相应时间内 的位移.面积在t 轴上方,则位移为 正;面积在t轴下 方,则位移为负

说明:在直线运动图象中,利用斜率计算v、a时,要 ?x ?v 用v = 和a = 进行计算,不要利用v =tan? 或a =tan?, ?t ?t 通过量角度,查表方式进行计算,因为不同的坐标系, 选取标度不同,则即使同一问题,量出的角度一般不 同,造成结果不同.

三、图象的实际意义 用图象描述一个物体的运动,要和物体的运动情景结 合起来,才能对各量的意义有更为明确的理解,看到 一个运动图象就要想到其运动情景;反之看到文字描 述的情景也要能反映出其对应的图象.图象是描述物 理规律的重要方法.位移和速度都是时间的函数,因 此描述物体运动的规律常用位移—时间图象(x-t图) 和速度—时间图象(v-t图).对于图象要注意理解它 的物理意义,即对图象的纵、横轴表示的是什么物理 量,图线的斜率、截距代表什么意义都要搞清楚.形

状完全相同的图线,在不同的图象(坐标轴的物理量 不同)中意义会完全不同.下表是对形状一样的x-t 图和v-t图意义上的比较.

x-t图

v-t图

①表示物体做匀加速直线运 动(斜率k表示加速度a); ①表示物体做匀速直线运动 (斜率表示速度v); ②表示物体做匀速直线运动 ②表示物体静止; ③表示物体静止; ③表示物体静止; ④表示物体做匀减速直线运 动; ④表示物体向正方向的反方 向做匀速直线运动; ⑤交点的纵坐标表示三个运 动质点的共同速度; ⑤交点的纵坐标表示三个运 ⑥表示t1时刻物体速度为v1( 动质点相遇时的位移; ⑥表示t1时刻物体位移为x1 图中阴影部分面积表示质点 ①在0~t1时间内的位移)

四、追及与相遇问题 虽然新课程标准对追及与相遇问题已人为淡化.但作 为一轮复习还是应予一定的时间,毕竟对于培养学生 的画草图能力及分析解决问题能力有一定帮助.对于 加深对图象的理解有一定的帮助. 1.分类: (1)初速度为零的匀加速直线运动的物体A追及同方向 的匀速运动的物体B,一定能赶上.在追上之前两者 有最大距离的条件是两物体速度相等.

(2)匀速运动的物体A追及同方向做匀加速运动的物体B, 恰好追上或恰好追不上的临界条件是两物体的速度相 等时的位置相同. ①物体A追及物体B:开始时,两个物体相距x0,要使 A追上B时,必有xA-xB=x0,且vA≥vB; ②物体A追及物体B:开始时,两个物体相距x0,要使 两物体恰好不相撞(即追不上),必有xA-xB=x0,且vA =vB. (3)匀减速运动的物体追及同方向的匀速运动的物体时, 情形跟第二种情况相似.

2.分析方法 (1)解题思路: 分析两物体 运动过程,画 运动示意图 由示意图找两 物体位移关系 据物体运动性质列 含有时间的位移方 程并解答

(2)追及和相遇问题多种解法 ①数学公式法:追及和相遇问题,可以根据两物体运动性 质,(如果追上或相遇则两物体在同一时刻到达同一位 置),从而列出位移关系方程,并建立时间关系,列式求解.

如若追及者甲和被追及者乙最初相距d0,令两者在t 时相遇,则有x甲-x乙=d0,得到关于时间t的一元 二次方程:当Δ=b2-4ac>0时,两者相撞或相遇两 次;当Δ=b2-4ac=0时,两者恰好相遇或相遇不 相撞;Δ=b2-4ac<0时,两者不会相撞或相遇. ②物理分析法:追及和相遇问题除了列方程,用公 式的方法解决外,也可以用物理逻辑推理分析的方 法求解,就是根据物理情景,结合科学的推理得到 结论.如两物体处于同一位置时速度

相等,或两物体速度相等时恰处于同一位置.是追 上和追不上的临界条件.通过找临界条件列方程求 解. ③图象法:图象法解追及相遇问题,一般画出两物 体的速度图象,利用图象围成的面积即为物体的运 动位移大小的特点,解决物理问题,该方法往往较 为直观方便.应用图象,可把较复杂的问题转变为 简单的数学问题解决.尤其是用图象定性分析,可 避开繁杂的计算,快速找出答案.

3.分析追及、相遇问题时应注意的问题: (1)一个条件:即两者速度相等,它往往是物体间 能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界 条件,也是分析判断的切入点.如两物体恰能相遇 的临界条件是,两物体处于同一位置时速度相等, 或两物体速度相等时恰处于同一位置. (2)两个关系,即时间关系和位移关系.时间关系 是指两物体的运动时间是否相等,两物体是同时运 动还是一先一后运动等;位移关系是指两物体是同 地运动还是一前一后运动等.通过画示意图找到两 物体间的位移关系是解题的突破口,因此要养成画

图分析问题的习惯. (3)若被追及的物体做匀减速直线运动,一定要注意, 追上之前该物体是否已经停止运动. (4)仔细审题,注意抓住题目中的关键字眼,充分挖 掘题目中隐含的条件,如“刚好”、“恰好”、“最 多”、“至少”等,根据它们对应的临界状态分析相 应的临界条件. 4.追及与相遇与图象的结合

类型
(一) 匀加 速追 匀速

图象

特点
能追及且只能相遇一 次;交点意义:速度 相等,追上前两物体 的距离最远.

(二) 匀减 速追 匀速

当v减=v匀时,如果Δx =x0,则恰能追及,这 也是避免相撞的临界条 件,只相遇一次;若Δx <x0,则不能追及(其中 x0为两物体开始追及时 的距离) 交点意义:速度相等时 若未追及,则距离最近 ; 若Δx>x0(也就是Δx=x0 时,v减>v匀)能相遇两 次.

(三) 匀速 追匀 加速

规律同上(二)

(四) 匀速 追匀 减速

规律同上(一)

(五) 匀加 速追 匀减 速 (六) 匀减 速追 匀加 速

规律同上(一)

规律同上(二)

一、图象的基本问题 1.识图:通俗地讲就是要把图看懂,即已知图 象,要同学们能把图象所反映的物体的运动过程 或物理规律理解清楚.具体来说,就是识别纵、 横坐标所代表的物理量,图象反映出什么物理规 律,明确物理图象中的点(起点、交点、拐点、 终点)、线(直、曲)、峰值、截距、斜率、面积、 正负号等的物理意义,以及图象给我们提供了哪 些有用的信息.

例1、一质点沿直线运动时的速度—时间图线如图 1- 1所示,则以下说法中正确的是 4( CD ) A.第1s末质点的位移和速度都改变方向 B.第2s末质点的位移改变方向 C.0~4s内质点的位移为零 D.第3s末和第5s末质点的位置相同

解析:该图象为速度图象,从图线中可以直接从 纵坐标轴上读出速度,其正、负就表示速度方向, 位移为速度图线下的“面积”,在坐标轴下方的 “面积”为负. 由图中可直接看出,速度方向发生变化的时刻是 第2s末、第4s末,而位移始终为正值,前2s内位移 逐渐增大,第3s、第4s内又逐渐减小.第4s末位移 为零,以后又如此变化.0~3s内与0~5s内的位移 均为0.5m.故选项CD正确.

点评:速度图线(切线)的斜率表示加速度;位 移图线(切线)的斜率表示速度.速度图线与横 轴围成的面积与位移大小相等.

变式训练1、如图1?4?2所示为表示甲、乙物体运动 的x-t图象,则其中错误的是 ( B ) A.甲物体做变速直线运动,乙物体做匀速直线运动 B.两物体的初速度都为零 C.在t1时间内两物体平均速度大小相等 D.相遇时,甲的速度大于乙的速度

解析:x-t图象描述物体运动位移随时间变化的关 系,图线(某点切线)斜率表示速度,故B错,A、 D正确;图线交点表示两物体相遇,又从图线上看 出两物体从同一位置出发,t1时间内的位移相等, 所以平均速度大小相等,C正确.

变式训练2、(2009·广东卷)某物体运动的速度图 象如图1?4?3所示,根据图象可知 ( AC ) A.0~2s内的加速度为1m/s2 B.0~5s内的位移为10m C.第1s末与第3s末的速度方向相同 D.第1s末与第5s末加速度方向相同

解析:v-t图象反映的是速度v随时间t的变化规律, 其斜率表示的是加速度,A正确;图中图象与坐 标轴所围成的梯形面积表示的是0~5s内的位移为 7m,在前5s内物体的速度都大于零,即运动方向 相同,C正确;0~2s加速度为正,4~5s加速度为 负,方向不同.

2.辨图:对于具体物理过程的图象分析. 例2、如图1?4?4所示,有两个固定光滑斜面AB和BC,A 和C在同一水平面上,斜面BC比AB长,一个滑块自A点 以速度vA上滑,到达B点时速度减小为零,紧接着沿BC 滑下,设滑块从A点到C点的总时间为tC,那么图中正确 表示滑块速度v大小随时间t变化规律的是 ( B )

解析:速度—时间图象中,直线的斜率表示匀变速 直线运动的加速度,加速度越大,直线越陡;而物 体从A经B到C的整个过程中,由于无阻力,故A、C 两处的速率相等,选项C不正确;AB和BC两段上平 均速率相等,AB段比BC段运动的时间短,选项A不 正确;又因为AB段的加速度大于BC段的加速度,两 段均做匀变速直线运动,AB段和BC段的速度图线为 直线,选项B正确,D错误.

点评:要理解图象的意义,根据图线描绘出物体 的物理过程,才能正确地求解这类问题.

变试训练3、(2010· 安徽理综)质量为2kg的物体在水 平推力F的作用下沿水平面做直线运动,一段时间 后撤去F,其运动的v-t图象如图1- 5所示.g取 410m/s2,求: (1)物体与水平面间的动摩擦因数μ; (2)水平推力F的大小; (3)0~10s内物体运动位移的大小.

解析: ? 设物体做匀减速直线运动的时间为?t2,初速 ?1 度为v20,末速度为v2t,加速度为a2,则 v2t - v20 a2 ? ? -2m / s 2 ?t 2 Ff =ma2 Ff =-? mg ② ③ ④ ①

设物体所受的摩擦力为Ff ,根据牛顿第二定律有

-a2 联立②③得:? ? ? 0.2 g

? 2 ? 设物体做匀加速运动的时间为?t1、初速度为v10、
末速度为v1t、加速度为a1,则 v1t - v10 a1 ? ? 1m / s 2 ?t1 联立③⑥得:F ? ? mg ? ma1 ? 6 N ⑤

根据牛顿第二定律有F+Ff ? ma1⑥

? 3? 解法一:由匀变速运动的位移公式得:
1 1 2 2 x ? x1 ? x2 ? v10 ?t1 ? a1 ?t1 ? v20 ?t2 ? a2 ?t2 ? 46m 2 2

解法二:根据v-t图象围成的面积得: v10 ? v1t 1 x?( ? ?t1 ? ? v20 ? ?t2 ) ? 46m. 2 2

变式训练4、两辆游戏赛车a、b在两条平行的直 车道上行驶.t=0时两车都在同一计时处,此时 比赛开始.它们在四次比赛中的v-t图如图所 示.哪些图对应的比赛中,有一辆赛车追上了另 一辆 ( )

解析:v-t图线与时间轴围成的几何图形的面 积等于这段时间位移的大小.B、D两图中无法 得到相等时间面积相等的几何图形,但在A、C 两图中都可以实现.A图所描述的是a在前,b在 后,最后b追上a并超过;C图所描述的是a在前 做减速运动,b在后做加速运动,最后b追上a并 超过.

3.用图:“用图”就是运用图象分析和解决问 题.具体来说,就是利用图象中的点(起点、交 点、拐点、终点)、线(直、曲)、峰值、截距、 斜率、面积、正负号等的物理意义来定性分析 和定量计算或理解物理规律.

(1)比较物体的运动时间 例3、如图1?4?6所示,两光滑斜面的总长度相等, 高度也相同,两球由静止从顶端滑下,若球在右 图斜面上的转折处无能量损失,则两球谁先滑至 底端?

图1-4-6

解析:由于两斜面光滑,高度相等.因此,两球滑 至底端时的速度大小相等.b球在斜面上C点之前的 加速度大于a球的加速度,在C点之后的加速度小于a 球加速度.又因为两斜面长度相等,即两球下滑的 位移相等,故两图象下的面积相等.这样,作出两 小球的速度图象如图所示, 由图象可以看出:tb<ta. 即b球先滑至斜面底端.

变式训练5、老鼠离开洞穴沿直线前进,它的 速度与到洞穴的距离成反比,当行进到离洞穴 的距离为d1的甲处时速度为v1,试求: (1)老鼠行进到离洞穴的距离为d2的乙处时的速 度v2; (2)老鼠从甲处到乙处要用多长时间?

d1 解析:)根据题意可得:v1 d1 ? v2 d 2,所以v2 ? v1 (1 d2 1 (2)由题意可知速度的倒数 与离开洞口的距离d 成正比, v 1 作出如图所示的 -d图象,图中阴影部分的面积即表示 v 老鼠由甲处到乙处所用时间t,
2 d 2 d12 1 1 1 且t ? ( ? )(d 2-d1 )= . 2 v1 v 2 2v1 d1

变式训练6、如图1- 7所示,图线a、b、c是三个 4质点同时同地开始沿直线运动的位移—时间图象, 则0~t0时间内 ( )A A.三质点的平均速度相等 B.a的平均速度最大 C.三质点的平均速率相等 D.b的平均速率最小

图1-4-7

解析:首先要清楚:平均速度=位移÷时间, 平均速率=路程÷时间.0~t0内,三质点位移 相同,则平均速度均相同,而三个质点的路程 有sa>sb=sc,则b与c的平均速率相等,a的平 均速率最大.

? 2 ?比较物体的加速度
例4、物体做加速直线运动,依次通过A、B、C 三点, AB=BC.物体在AB段加速度为a1,在BC 段加速度为a2, v A vC 且物体在B点的速度为vB ? ,则 2 A.a1 ? a2 B.a1 ? a2 C.a1 ? a2 D.不能确定 (    C)

解析:依题意作出物体的v-t图象,如右图所 示.图线下方所围成的面积表示物体的位移, 由几何知识知图线②、③不满足AB=BC.只 能是①这种情况.因为斜率表示加速度,所 以a1<a2,选项C正确.

变式训练7、如图1- 8所示,质量相同的木块A、 4B用轻弹簧连接,置于光滑水平面上,弹簧处于 自然长度,现在用水平恒力F推木块A,则在弹簧 第一次被压缩至最短的过程中,当A、B速度相同 时,谁的加速度较大?

图1-4-8

解析:在弹簧压缩过程中,A做加速度减小的加速运 动,B做加速度增大的加速运动,可定性作出它们的 速度图象如图中的A、B所示.它们的交点为C,此时 两物体速度相同,而从图可以看出图象B在该处切线 的斜率大于A的斜率,即此时A的加速度小于B的加速 度.故,速度相同时,A的加速度小于B的加速度.

二、追及与相遇问题 例5、在水平轨道上有两列火车A和B相距x,A车在后 面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动, 而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线 运动,两车运动方向相同.要使两车不相撞,求A车的 初速度v0满足什么条件.

解析:解法一: (物理分析法) A、B车的运动过程(如图) 利用位移公式、速度公式求解. 1 对A车有xA =v0 t + ? (-2a) ? t 2 2 vA =v0 +(-2a) ? t 1 2 对B车有xB = at ,vB =at,两车有x =x A-xB 2 追上时,两车不相撞的临界条件是vA =vB 联立以上各式解得v0 = 6ax 故要使两车不相撞,A车的初速度v0 应满足的条件是v0 ? 6ax .

解法二: (极值法)利用判别式求解,由解法一可知 1 1 2 2 xA ? x ? xB,即v0 t ? ? (-2a) ? t =x+ at 2 2 整理得3at 2-2v0 t+2 x=0 这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式 ?=(2v0 ) 2 -4 ? 3a ? 2 x<0时,t 无实数解,即两车不相 撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0 应满足的 条件是v0 ? 6ax .

解法三: 象法)利用速度-时间图象求解, (图 先作A、B两车的速度-时间图象,其图象 如右图所示,设经过t时间两车刚好不相撞, 则对A车有vA=v=v0-2at 对B车有vB=v=at v0 以上两式联立解得t = 3a 经t时间两车发生的位移之差,即为原来两车间的距离x, 1 1 v0 v02 它可用图中的阴影面积表示,由图象可知x = v0 ? t = v0 ? = , 2 2 3a 6a 所以要使两车不相撞,A车的初速度v0 应满足的条件是v0 ? 6ax .

解法四: (相对运动法)巧选参考系求解,以B车对参考系, A车的初速度为v0,加速度为a A =-2a-a =-3a. A车追上B车 且刚好不相撞的条件是:vt=0,这一过程A车相对于B车
2 的位移为x,由运动学公式vt2-v0=2a A x得: 2 02 -v0=2 ? (-3a) ? x,所以v0 = 6ax ,即要使两车不相撞,

A车的初速度v0 应满足的条件是v0 ? 6ax .

变式训练8、在十字路口,汽车以0.5m/s2的加速度 从停车线启动做匀加速运动,恰好有一辆自行车以 5m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶,求: (1)什么时候它们相距最远?最远距离是多少? (2)在什么地方汽车追上自行车?追到时汽车的速 度是多大?

1 解析:方法1:()?x ? x自 - x汽 ? 5t - ? 0.5t 2 ? 1 2 1 2 - (t -10) ? 25 4 当t=10s时,?x有最大值,最远距离为25m. 1 2 ? 2 ? 追上时?x=0,即5t- t =0 4 解得t1=0,t2=20s,t1=0表示开始两车从同一位置出发, t2=20s表示经20s汽车追上自行车,此时两车行驶的距 离x=5 ? 20m=100m,汽车的速度v汽=0.5 ? 20m / s= 0m / s 1

方法2:开始,v自 ? v汽,两车距离不断增大,当汽 车速度增大到v汽 ? v自,两车的距离将逐渐减小,所 以v汽=v自时,两车距离最大. v 5 v汽=v自,v=at,t= = s=10s a 0.5 1 2 ?1? 最远距离:?x=vt- at 2 1 =5 ? 10m- ? 0.5 ? 10 2 m=25m 2 1 2 追上时,x自=x汽,vt= at 2 2v 2 ? 5 t= = s=20s,此时汽车的速度 a 0.5

v汽=at=0.5 ? 20m / s=10m / s 1 2 1 行驶的距离x1= at = ? 0.5 ? 202 m=100m 2 2 方法3:画出两车的速度 — 时间图象如右图示.

?1? 从图中可看出当速度相等时两车相距最远,最远
的距离为? ABO的面积. v0 5 由at0=v0,t0= = s=10s, a 0.5 v0 5 得:x= t0= ? 10m=25m 2 2

从图中可看出当S? OAB=S? BDC时,汽车追上自行车, 此时t?0=2t0=20s,追上时汽车的速度为: v?=20 ? 0.5m / s=10m / s 位移x=t=? 20m=100m

例6、在水平面上,一辆小车从静止开始以1m/s2的加 速度前进.有一人在车后与车相距x0=20m处,同时 以6m/s的速度匀速追车. (1)试分析人能否追上车? (2)若能追上,求追上时小车的速度;若追不上,求 人与车的最小距离.

解析: ?当人与车相距最近时,即人与车速度相等时, ?1 v 6 所需时间:t ? ? s=6s a 1 v 车的位移:x ? t ? 18m,x+x0=18m+20m=38m 2 人的位移:x1=vt=36m 因为x1 ? x+x0,所以,人追不上小车.

? 2 ? 两者相距的最小距离:xmin=x+x0-x1=38m-36m=2m

例7、经检测汽车A的制动性能:以标准速度20m/s在 平直公路上行驶时,制动后40s停下来.现A在平直 公路上以20m/s的速度行驶发现前方180m处有一货车 B以6m/s的速度同向匀速行驶,司机立即制动,是否 发生撞车事故?

解析:如图汽车A以v0=20m / s的初速做匀减速直线运 动经40s停下来.据加速度公式可求出a=-0.5m / s 2 .当 A车减为与B车同速时是A车逼近B车距离最多的时刻, 这时若能超过B车则相撞,反之则不能相撞.
2 据vt2 ? v0 ? 2ax可求出A车减为与B车同速时的位移 2 vt2 ? v0 400 ? 36 x1 ? ? m ? 364m 2a 2 ? 0.5

此时间内B车位移为 v2 ? v0 x2=v2 t=6 ? 28m=168m(t ? =28s ) a ?x=364m-168m=196m>180m 所以两车相撞.

点评:分析追及问题应把两物 体的位置关系图画好,通过此图 理解物理情景.本题也可以借图

象帮助理解.如图,阴影区是A车
比B车多通过的最多距离,这段距离若能大于两车初 始时刻的距离则两车必相撞.小于、等于则不相撞. 从图中也可以看出A车速度为零时,不是A车比B车 多走距离最多的时刻,因此不能作为临界条件分 析.

变式训练9、甲、乙两汽车在一条平直的单行道上 乙前甲后同向匀速行驶.甲、乙两车的速度分别 为v01=40m/s和v02=20m/s,当两车距离接近到x= 250m时两车同时刹车,已知两车刹车时的加速度 大小分别为a1=1.0m/s2和a2=1/3m/s2,问甲车是否 会撞上乙车?

解析:作两车的运动草图和v-t图象如图甲、乙所示. 从图中可看出:在0~t秒即两车速度相等之前,后面的 甲车速度大,追得快;前面的乙车速度小,“逃”得慢.两 车之间的距离越来越小,而在t秒后,后面的车速度小于 前面车的速度.可见,速度相等时,两者距离最近.此时 若不会相撞,那么以后一定不会相撞,由此可知速度相 等是解决本题的关键.

两车速度相等时有v01-a1t=v02-a2 t,得t=30s 故在30s内,甲、乙两车运动的位移分别为 1 2 1 2 x甲=v01t - a1t =750m,x乙 =v02 t- a2 t =450m 2 2 因为x乙+x=700m ? x甲,故甲车会撞上乙车.


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