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高一数学教案:苏教版高一数学任意角的三角函数5


第六课时 任意角的三角函数 教学目标: 理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等,使学生认识到规律是客观存在的,只 要用心去找,认真寻求,就不难发现,不难认识.客观世界中的事物也是这样,要善于发现规 律,认识规律,掌握规律,利用规律,按照事物的发展规律去办事. 教学重点: 各种三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等. 教学难点: 各种三角函数在各象限内的符号. 教学过程: Ⅰ.复习回顾 任意角三角函数的定义 Ⅱ.讲授新课 三角函数的定义告诉我们,各三角函数值实质上是个比值,因此,各三角函数在各象限 内的符号, 取决于 x、 y 的符号(因为 r 恒大于零).因为 P 点在第一、第二象限时,纵坐标 y>0, P 点在第三、第四象限时,纵坐标 y<0,所以正弦函数值对于第一、第二象限角是正的,对 于第三、第四象限角是负的.请同学们仿照我们讨论正弦函数值在各象限内符号的方法,回答 余弦函数值在各象限内的符号. 余弦函数值的正负取决于 P 点横坐标 x 的正负,因为 P 点在第一、第四象限时,横坐标 x>0,P 点在第二、第三象限时,横坐标 x<0,所以余弦函数值对于第一、第四象限角是正 的,对于第二、第三象限角是负的. 对于正切函数值,其正负怎样确定呢?
正切函数值 y 的正负,取决于 x、y 的符号是否相同.因为 P 点在第一象限时,x、y 同正, x y y >0,P 点在第二、第四象限时,x、y 异号,此时 x x

P 点在第三象限时,x、y 同负,此时

<0,所以正切函数值对于第一、第三象限角是正的,对于第二、第四象限角是负的. Ⅲ.例题分析 [例 1]确定下列三角函数值的符号 π (1)cos250° (2)sin(- ) 4 11π (3)tan(-672°) (4)tan 3

解:(1)∵250°是第三象限角,∴cos250°<0 π π (2)∵- 是第四象限角,∴sin(- )<0 4 4 (3)tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48° 而 48°是第一象限角,∴tan(-672°)>0 11π 5π 5π (4)tan =tan( +2π )=tan 3 3 3 而 5π 11π 是第四象限角,∴tan <0. 3 3

[例 2]如果点 P(2a,-3a)(a<0)在角θ 的终边上,求 sinθ 、cosθ 、tanθ 的值. 分析:依据点 P(2a,-3a)(a<0)坐标,可以在一直角三角形中利用任意角的三角函数 定义求. 解:如图,点 P(2a,-3a)(a<0)在第二象限, 且 r=- 13 a, -3a -3a 3 13 ∴sinθ = = = r 13 - 13a 2a 2a 2 13 cosθ = = =- r 13 - 13a -3a 3 tanθ = =- 2a 2 3 [例 3]已知角θ 的终边在直线 y=-3x 上,求 10sinθ + 的值. cosθ 分析:依据θ 的终边在直线 y=-3x 上,可设出其终边上任一点 P(m,-3m) ,再对 m>0 与 m<0 分别讨论. 解:设 P(m,-3m)是θ 终边上任一点,则 r= x2+y2 = m2+(-3m)2 = 10 |m| 当 m>0 时,r= 10 m. -3m 3 10 1 10m ∴sinθ = =- , = = 10 10 m cos θ 10m 3 ∴10sinθ + =-3 10 +3 10 =0 cosθ 当 m<0 时,r=- 10 m ∴sinθ = 3m 3 10 = 10 10m

- 10m 1 = =- 10 m cosθ 3 ∴10sinθ + =3 10 -3 10 =0 cosθ 3 综上,得 10sinθ + =0 cosθ Ⅳ.课堂练习 课本 P16 练习 4、5、6、7、8. Ⅴ.课时小结 本节课我们重点讨论了三角函数在各象限内的符号,这是我们日后学习的基础,经常要 用,请同学们熟记. Ⅵ.课后作业 课本 P23 习题 4、5、6.

任意角的三角函数(二)
1.已知角θ 的终边过点 P(-4a,3a)a≠0,则 2sinθ +cosθ 的值是 A. 2 5 2 B.- 5 C. 2 2 或- 5 5 ( D.不确定 ( B.第二象限角 D.第四象限角 ( B.小于 0 C.等于 0 θ 的终边在 2 D.不确定 ( ) ) ) )

2.设 A 是第三象限角,且|sin A.第一象限角 C.第三象限角 3.sin2cos3tan4 的值 A.大于 0

A A A |=-sin ,则 是 2 2 2

4.已知|cosθ |=cosθ ,|tanθ |=-tanθ ,则

A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.第一、三象限或 x 轴上 D.第二、四象限或 x 轴上 5.若 sinθ ·cosθ >0,则θ 是第 象限的角. 6.若α 的余弦线为 0,则它的正弦线的长度为 . 7.角α (0<α <2π )的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同,则α 的值为 8.已知α 是第三象限角,试判定 sin(cosα )·cos(sinα )的符号.

.

9.已知:P(-2,y)是角α 终边上一点,且 sinα =-

5 ,求 cosα 的值. 5

1 10.已知角α 的终边经过 P(8m,6m)(m≠0),求 log2| -tanα |的值. cosα

任意角的三角函数(二)答案
π 5π 1.C 2.D 3.B 4.D 5.一、三 6.1 7. 或 4 4 8.已知α 是第三象限角,试判定 sin(cosα )·cos(sinα )的符号. 分析:依据α 是第三象限角可得 cosα <0 且-1<cosα <0,与 sinα <0 且-1<sinα <0,进而确定式子 sin(cosα )·cos(sinα )的符号. 解:∵α 是第三象限角 ∴-1<cosα <0,-1<sinα <0, ∴sin(cosα )<0,cos(sinα )>0. ∴sin(cosα )·cos(sinα )<0 9.已知:P(-2,y)是角α 终边上一点,且 sinα =- 由 P(-2,y)且 sinα =- 又
y ( ?2 ) ? y
2 2

5 ,求 cosα 的值. 5

5 <0 知 y<0 5

=-

5 2 ,y +4=5y2,y2=1 5

∴y=-1 ∴cosα =
?2 4 ? y2



?2

2 5 =- 5 5

1 10.已知角α 的终边经过 P(8m,6m)(m≠0),求 log2| -tanα |的值. cosθ 1 分析:依据点 P(8m,6m)(m≠0)的坐标,求出 及 tanα 的值,进而求出 cosθ 1 log2| -tanα |的值. cosθ 解:∵P(8m,6m)(m≠0),∴r=10|m| 当 m>0 时,r=10m ∴ 1 5 3 = ,tanα = , 4 4 cosθ 1 5 3 =- ,tanα = , 4 4 cosθ ∴log2| 1 1 -tanα |=log2 =-1 2 cosθ 1 -tanα |=log22=1 cosθ

当 m<0 时,r=-10m ∴ ∴log2|

?? 1 1 综上,得 log2| -tanα |= ? cosθ 1 ?

(m ? 0) (m ? 0)


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