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平邑县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

平邑县高中 2018-2019 学年高三下学期第三次月考试卷数学

一、选择题

1. 已知全集U ? R ,集合 A ? {x || x |? 1, x ? R} ,集合 B ? {x | 2x ? 1, x ? R},则集合 A CU B 为( )

A.[?1,1]

B.[0,1]

C. (0,1]

D.[?1,0)

【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识,意在考查运算求解能力.

2. 设 f(x)是定义在 R 上的恒不为零的函数,对任意实数 x,y∈R,都有 f(x)?f(y)=f(x+y),若 a1= ,

an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是(



A.[ ,2) B.[ ,2] C.[ ,1) D.[ ,1]

3.

是首项

,公差

的等差数列,如果

,则序号 等于( )

A.667

B.668

C.669

D.670

4. 过抛物线 y2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2),若 x1+x2=﹣6,则|AB|为(



A.8 B.10 C.6 D.4

5. 命题“ ?x ? 0 ,使得 a ? x ? b ”是“ a ? b ”成立的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6. 若动点 A(x1, y1)、B(x2, y2 ) 分别在直线: x ? y ?11 ? 0 和 l2 : x ? y ?1 ? 0 上移动,则 AB 中点 M 所
在直线方程为( )

A. x ? y ? 6 ? 0

B. x ? y ? 6 ? 0

C. x ? y ? 6 ? 0

D. x ? y ? 6 ? 0

? ? 7. 已知数列

an

为等差数列, Sn 为前项和,公差为 d

,若

S2017 2017

?

S17 17

? 100 ,则 d

的值为(

A. 1 20

B. 1 10

C.10


D. 20

8. 设函数 f(x)=

的最小值为﹣1,则实数 a 的取值范围是( )

A.a≥﹣2 B.a>﹣2 C.a≥﹣ D.a>﹣ 9. 已知函数 f(x)的定义域为[a,b],函数 y=f(x)的图象如下图所示,则函数 f(|x|)的图象是( )

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A.

B.

C.

D.

10.下列给出的几个关系中:①??? ? ?a,b? ;②??a,b?? ? ?a,b? ;③?a,b? ? ?b,a? ;

④ ? ? ?0? ,正确的有( )个

A.个

B.个

C.个

11.抛物线 x=﹣4y2 的准线方程为(



D.个

A.y=1 B.y= C.x=1 D.x=

12.四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形, 则在下列结论中,下列说法错误的是( )

A. AC ? BD

B. AC ? BD

C. AC PQMN

D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45

二、填空题

13.如图,△ ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,PA⊥平面 ABC,此图形中有

个直角三角形.

14.函数 f ? x? ? log2 x 在点 A?1, 2? 处切线的斜率为 ▲ .
15.已知偶函数 f(x)的图象关于直线 x=3 对称,且 f(5)=1,则 f(﹣1)= .

16.已知(x2﹣ )n)的展开式中第三项与第五项的系数之比为 ,则展开式中常数项是 .

17.双曲线 x2﹣my2=1(m>0)的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 的值为



18.阅读右侧程序框图,输出的结果 i 的值为



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三、解答题
19.已知双曲线过点 P(﹣3 ,4),它的渐近线方程为 y=± x. (1)求双曲线的标准方程; (2)设 F1 和 F2 为该双曲线的左、右焦点,点 P 在此双曲线上,且|PF1||PF2|=41,求∠F1PF2 的余弦值.

20.(本小题满分 12 分)

设曲线

C

:

y

?

a

ln

x(a

?

0)

在点

T

( x0

,

a

ln

x0

)

处的切线与

x

轴交与点

A(

f

(

x0

),

0)

,函数

g(

x)

?

2x 1? x



(1)求 f (x0 ) ,并求函数 f (x) 在 (0, ??) 上的极值;

(2)设在区间 (0,1) 上,方程 f (x) ? k 的实数解为 x1 , g(x) ? k 的实数解为 x2 ,比较 x1 与 x2 的大小.

21.求点 A(3,﹣2)关于直线 l:2x﹣y﹣1=0 的对称点 A′的坐标.
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22.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些 图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设 第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.
(Ⅰ)求出 f(5); (Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求 f(n) 的表达式.

23.在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 tanA= (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)若三角形△ ABC 的面积为 ,求角 C.

,c= .

24.求同时满足下列两个条件的所有复数 z: ①z+ 是实数,且 1<z+ ≤6; ②z 的实部和虚部都是整数.

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25.(本小题满分 12 分)
如图(1),在三角形 PCD 中, AB 为其中位线,且 2BD ? PC ,若沿 AB 将三角形 PAB 折起,使 ?PAD ?? ,构成四棱锥 P ? ABCD ,且 PC ? CD ? 2 .
PF CE (1)求证:平面 BEF ? 平面 PAB ; (2)当 异面直线 BF 与 PA 所成的角为 ? 时,求折起的角度.
3

26.已知椭圆:

,离心率为 ,焦点 F1(0,﹣c),F2(0,c)过 F1 的直线交椭圆

于 M,N 两点,且△ F2MN 的周长为 4.

(Ⅰ)求椭圆方程;

(Ⅱ) 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m)(m≠0),与椭圆 C 交于相异两点 A,B 且

.若



求 m 的取值范围.

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平邑县高中 2018-2019 学年高三下学期第三次月考试卷数学(参考答案)

一、选择题

1. 【答案】C.
【解析】由题意得, A ? [?1,1], B ? (??, 0] ,∴ A
2. 【答案】C

CU B ? (0,1] ,故选 C.

【解析】解:∵对任意 x,y∈R,都有 f(x)?f(y)=f(x+y), ∴令 x=n,y=1,得 f(n)?f(1)=f(n+1),

即=

=f(1)= ,

∴数列{an}是以 为首项,以 为等比的等比数列, ∴an=f(n)=( )n,

∴Sn=

=1﹣( )n∈[ ,1).

故选 C. 【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题,解题的关键是根据对任意 x,y∈R,都有 f(x)?f(y)=f(x+y) 得到数列{an}是等比数列,属中档题.

3. 【答案】C

【解析】 由已知

,由



,故选 C

答案:C

4. 【答案】A

【解析】解:由题意,p=2,故抛物线的准线方程是 x=1, ∵抛物线 y2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点 ∴|AB|=2﹣(x1+x2), 又 x1+x2=﹣6 ∴∴|AB|=2﹣(x1+x2)=8 故选 A

5. 【答案】C
6. 【答案】 D
【解析】

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点:直线方程

7. 【答案】B

【解析】

n?n ?1?

试题分析:若

?an?

为等差数列,

Sn n

na1 ? ?

n

2

?

a1

??n

? 1? ?

d 2

,则

? ? ?

Sn n

? ? ?

为等差数列公差为

d 2

,

? S2017 ? S17 ? 100, 2000? d ? 100, d ? 1 ,故选 B.

2017 17

2

10

考点:1、等差数列的通项公式;2、等差数列的前项和公式.

8. 【答案】C

【解析】解:当 x≥ 时,f(x)=4x﹣3≥2﹣3=﹣1, 当 x= 时,取得最小值﹣1; 当 x< 时,f(x)=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+a﹣1, 即有 f(x)在(﹣∞, )递减, 则 f(x)>f( )=a﹣ , 由题意可得 a﹣ ≥﹣1, 解得 a≥﹣ . 故选:C. 【点评】本题考查分段函数的运用:求最值,主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法,属于中档 题.

9. 【答案】B
【解析】解:∵y=f(|x|)是偶函数, ∴y=f(|x|)的图象是由 y=f(x)把 x>0 的图象保留, x<0 部分的图象关于 y 轴对称而得到的. 故选 B. 【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力,注意区别函数 y=f(x)的图象和函数 f(|x|)的图象之间的关 系,函数 y=f(x)的图象和函数|f(x)|的图象之间的关系;体现了数形结合和运动变化的思想,属基础题.

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10.【答案】C 【解析】
试题分析:由题意得,根据集合之间的关系可知:?a,b? ? ?b, a? 和 ? ? ?0? 是正确的,故选 C.
考点:集合间的关系. 11.【答案】D 【解析】解:抛物线 x=﹣4y2 即为 y2=﹣ x,
可得准线方程为 x= .
故选:D.

12.【答案】B 【解析】
试题分析:因为截面 PQMN 是正方形,所以 PQ // MN,QM // PN ,则 PQ // 平面 ACD,QM // 平面 BDA , 所以 PQ// AC, QM // BD,由 PQ ? QM 可得 AC ? BD,所以 A 正确;由于 PQ // AC 可得 AC // 截面 PQMN,所以 C 正确;因为 PN ? PQ ,所以 AC ? BD ,由 BD // PN ,所以 ?MPN 是异面直线 PM 与 BD 所成的角,且为 450 ,所以 D 正确;由上面可知 BD // PN, PQ // AC ,所以 PN ? AN , MN ? DN ,而
BD AD AC AD AN ? DN, PN ? MN,所以 BD ? AC ,所以 B 是错误的,故选 B. 1
考点:空间直线与平面的位置关系的判定与证明. 【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明,其中解答中涉及到直线与平面平行 的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和 解答问题的能力,属于中档试题,此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答 的关键.
二、填空题
13.【答案】 4

【解析】解:由 PA⊥平面 ABC,则△PAC,△PAB 是直角三角形,又由已知△ABC 是直角三角形,∠ACB=90° 所以 BC⊥AC,从而易得 BC⊥平面 PAC,所以 BC⊥PC,所以△PCB 也是直角三角形, 所以图中共有四个直角三角形,即:△PAC,△PAB,△ABC,△PCB. 故答案为:4 【点评】本题考查空间几何体的结构特征,空间中点线面的位置关系,线面垂直的判定定理和性质定理的熟练 应用是解答本题的关键.

14.【答案】 1 ln 2

【解析】

试题分析: f ?? x? ? 1 ?k ? f ??1? ? 1

x ln 2

ln 2

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考点:导数几何意义 【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异,过点 P 的切线中, 点 P 不一定是切点,点 P 也不一定在已知曲线上,而在点 P 处的切线,必以点 P 为切点. (2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直 直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解. 15.【答案】 1 .
【解析】解:f(x)的图象关于直线 x=3 对称,且 f(5)=1,则 f(1)=f(5)=1, f(x)是偶函数,所以 f(﹣1)=f(1)=1. 故答案为:1.
16.【答案】 45 .

【解析】解:第三项的系数为 Cn2,第五项的系数为 Cn4,

由第三项与第五项的系数之比为 可得 n=10,则 Ti+1=C10i(x2)10﹣i(﹣ )i=(﹣1)iC10i

=,

令 40﹣5r=0,解得 r=8,故所求的常数项为(﹣1)8C108=45, 故答案为:45.

17.【答案】 4 .

【解析】解:双曲线 x2﹣my2=1 化为 x2﹣ =1,
∴a2=1,b2= , ∵实轴长是虚轴长的 2 倍, ∴2a=2×2b,化为 a2=4b2,即 1= , 解得 m=4. 故答案为:4. 【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键.
18.【答案】 7 .
【解析】解:模拟执行程序框图,可得 S=1,i=3 不满足条件 S≥100,S=8,i=5 不满足条件 S≥100,S=256,i=7 满足条件 S≥100,退出循环,输出 i 的值为 7.
第 9 页,共 14 页

故答案为:7. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,正确得到每次循环 S,i 的值是解题的关键,属于基础题.
三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)设双曲线的方程为 y2﹣ x2=λ(λ≠0), 代入点 P(﹣3 ,4),可得 λ=﹣16,
∴所求求双曲线的标准方程为
(2)设|PF1|=d1,|PF2|=d2,则 d1d2=41, 又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6, ∴d12+d22﹣2d1d2=36 即有 d12+d22=36+2d1d2=118, 又|F1F2|=2c=10, ∴|F1F2|2=100=d12+d22﹣2d1d2cos∠F1PF2 ∴cos∠F1PF2= 【点评】本题给出双曲线的渐近线,在双曲线经过定点 P 的情况下求它的标准方程,并依此求∠F1PF2 的余弦 值.着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识,属于中档题.

20.【答案】

【解析】(1)∵ y ? a ln x ,∴ y? ? a . x

∴曲线 C 在点T 处的切线斜率 k ? a , x0

∴切线方程为

y

?

y0

?

a x0

(x

?

x0 )



令 y ? 0 ,得 ?x0 y0 ? a(x ? x0 ) ,

∵ y0 ? a ln x0 ,∴ ?x0a ln x0 ? a(x ? x0 ) ,∴ x ? x0 ? x0 ln x0 . ∴ f (x0 ) ? x0 ? x0 ln x0 .∴ f (x) ? x ? x ln x . f ?(x) ? ? ln x . 当 0 ? x ? 1时, f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递增,当 x ?1时, f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递减,

∴当 x ?1时, f (x) 取得极大值 f (1) ? 1,无极小值.

(2)由题设知

f

( x1 )

?

k

, g(x2 )

?

k

,故 2x2 1? x2

?

k

,解得 x2

?

k 2?k





f

( x1 )

?

k

代入上式得

x2

?

f 2?

( x1 ) f (x1)



∴ x2 ? x1

?

2

f ?

( x1 ) f (x1

)

?

x1

?

(1? x1) f (x1) ? 2x1 2 ? f (x1)

?

x1(1? x1) 2 ? f (x1)

[(1

?

ln

x1

)

?

1

2 ? x1

]



∵ x1 ? (0,1) ,由(1)知 f (x1) ? 1,∴ 2 ? f (x1) ? 0 ,

第 10 页,共 14 页



x1 (1 ?

x1 )

?

0

,∴

x1(1? x1) 2 ? f (x1)

?

0



令 h(x)

? (1? ln x) ? 2 , x ? (0,1) ,则 h?(x) 1? x

?

?1 x

?

2 (1? x)2

?

?1? x2 x(1? x)2

?

0



∴ h(x)

在 (0,1)

上单调递减,∴ h(x)

?

h(1)

?0

,即 (1? ln

x1

)

?

1

2 ? x1

?

0



∴ x2 ? x1 ? 0 ,从而 x2 ? x1 .

选做题:请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

21.【答案】

【解析】解:设点 A(3,﹣2)关于直线 l:2x﹣y﹣1=0 的对称点 A′的坐标为(m,n),

则线段 A′A 的中点 B( , ),

由题意得 B 在直线 l:2x﹣y﹣1=0 上,故 2× ﹣ ﹣1=0 ①.

再由线段 A′A 和直线 l 垂直,斜率之积等于﹣1 得 解①②做成的方程组可得: m=﹣ ,n= ,

× =﹣1 ②,

故点 A′的坐标为(﹣ , ). 【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法,注意利用垂直及中点在轴上两个条件.

22.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(2)﹣f(1)=4=4×1. f(3)﹣f(2)=8=4×2, f(4)﹣f(3)=12=4×3, f(5)﹣f(4)=16=4×4 ∴f(5)=25+4×4=41.… (Ⅱ)由上式规律得出 f(n+1)﹣f(n)=4n.… ∴f(2)﹣f(1)=4×1, f(3)﹣f(2)=4×2, f(4)﹣f(3)=4×3, … f(n﹣1)﹣f(n﹣2)=4?(n﹣2), f(n)﹣f(n﹣1)=4?(n﹣1)… ∴f(n)﹣f(1)=4[1+2+…+(n﹣2)+(n﹣1)]=2(n﹣1)?n, ∴f(n)=2n2﹣2n+1.…

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23.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)由题意知,tanA=



则=

,即有 sinA﹣sinAcosC=cosAsinC,

所以 sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,

由正弦定理,a=b,则 =1;…

(Ⅱ)因为三角形△ABC 的面积为 ,a=b、c= ,

所以 S= absinC= a2sinC= ,则

,①

由余弦定理得,

=

,②

由①②得,cosC+ sinC=1,则 2sin(C+ )=1,sin(C+ )= ,

又 0<C<π,则 C+ < ,即 C+ = ,

解得 C=

….

【点评】本题考查正弦定理,三角形的面积公式,以及商的关系、两角和的正弦公式等,注意内角的范围,属 于中档题.

24.【答案】 【解析】解:设 z+

=t,则 z2﹣tz+10=0.∵1<t≤6,∴△=t2﹣40<0,

解方程得 z= ±

i.

又∵z 的实部和虚部都是整数,∴t=2 或 t=6, 故满足条件的复数共 4 个:z=1±3i 或 z=3±i.

25.【答案】(1)证明见解析;(2)? ? 2? . 3
【解析】
试题分析:(1)可先证 BA ? PA ,BA ? AD 从而得到 BA ?平面 PAD ,再证 CD ? FE , CD ? BE 可得 CD ? 平面 BEF ,由 CD // AB ,可证明平面 BEF ? 平面 PAB ;(2)由 ?PAD ? ? ,取 BD 的中点 G ,连接 FG, AG , 可得 ?PAG 即为异面直线 BF 与 PA 所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1
试题解析:

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(2)因为 ?PAD ? ? ,取 BD 的中点 G ,连接 FG, AG ,所以 FG // CD , FG ? 1 CD ,又 AB // CD , 2
AB ? 1 CD ,所以 FG // AB , FG ? AB ,从而四边形 ABFG 为平行四边形,所以 BF // AG ,得;同时, 2
因为 PA ? AD , ?PAD ? ? ,所以 ?PAD ? ? ,故折起的角度? ? 2? . 3

考点:点、线、面之间的位置关系的判定与性质. 26.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)由题意,4a=4, = ,

∴a=1,c= ,



=,

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∴椭圆方程方程为



(Ⅱ)设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1),B(x2,y2)



得(k2+2)x2+2kmx+(m2﹣1)=0

△=(2km)2﹣4(k2+2)(m2﹣1)=4(k2﹣2m2+2)>0(*)

∴x1+x2=﹣

,x1x2=









∴λ=3

∴﹣x1=3x2

∴x1+x2=﹣2x2,x1x2=﹣3x22,

∴3(x1+x2)2+4x1x2=0,

∴3(﹣

)2+4?

=0,

整理得 4k2m2+2m2﹣k2﹣2=0

m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,



由(*)式得 k2>2m2﹣2 ∵k≠0,



>0,

∴﹣1<m<﹣ 或 <m<1
即所求 m 的取值范围为(﹣1,﹣ )∪( ,1). 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、基本性质和直线与椭圆的综合问题.直线和圆锥曲线的综合题是高考 的重点题目,要强化学习.

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