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函数的周期 (2)


空间向量与立体几何
一、空间向量的坐标运算 1、设 A( x1 , y1 , z1 ) 、B( x2 , ⑴ AB =( x2 ⑵

y2 , z2 )则

? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

AB = ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

2、设 a =( x1 , y1 , z1 ) 、 b =( x2 , ⑴ a ? b =( x1

y2 , z2 )则有

? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 )

⑵ ? a =( ?x1 , ?y1 , ?z2 ) ⑶ a ? b = x1 x2 ⑷a

? y1 y2 ? z1 z2

? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 =0
? b =? a
2 2 2

⑸ a ∥b ⑹

a

x1 ? y1 ? z1



3、⑴已知空间任意一点 O 和不共线三点 A、B、C,满足 OP 当x?

? xOA ? yOB ? zOC

y ? z ? 1时四点 P、A、B、C 共面
? xOA ? yOB ,当 x ? y ? 1时三点 P、A、B 共线

⑵已知空间任意一点 O,满足 OP 二、空间角的计算

平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量 n 垂直于平面 ? , 记作 n ⊥ ? ,那 么向量 n 叫做平面 ? 的法向量 注意: ①任何一个平面的法向量不能为零向量 ②任何一个平面的法向量不唯一 ⑴线线角 cos ? =

a ?b ab

?

例 1、已知 a ? (0, ?1,1) 、 b ? (1, 2, ?1) ,则 a 与 b 的夹角为( A. 30
?

B . 60

?

C. 90

?

D. 150

例 2、点 M、N 分别是正方体的棱 AA1 与 BB1 的中点,则 CM 与 D1 N 所成角的正弦值为(
1



空间向量与立体几何

A.

4 5 9

B .

2 5 3

C . 1

D.

3 5 4

⑵线面角 sin ? =

a?n an
) B. 5 4 C. 3 3 D. 3 6

例 1、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 F、G 分别是棱 AB、CC1 的中点,则直线 FG 与平面 A1ACC1 所成 角的正弦值等于( A. 2 3

⑶二面角 cos ? =

n1 ? n2 n1 n2

(或其补角)

? 例 1、 从一点 P 引三条射线 PA、 P B、 PC, 且两两成 90 且 PA : PB : PC ? 1: 2 : 3 则二面角 P-AC-B 的

正切值为( A . 3 5

) B.

2 10 3

C.

14 6

D.

3 5 2

例 2、在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,M 为 AD 的中点. ⑴求 DD 1 与平面 D 1 BM 所成角的大小 ⑵求二面角 M-BD 1 -A 的平面角的大小

三、点到面的距离

d?

AB ? n n
) 1 C. 2 3 3

例 1、正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是 A1C1 的中点,则 O 到平面 ABC1D1 的距离为( A. 3 2 B. 2 4 D.

例 2、已知 AB、AC、AD 两两垂直,且 AB=AC=AD=2 ⑴求二面角 B-CD-A 的余弦值 ⑵求点 A 到平面 BCD 的距离

2

空间向量与立体几何

例 3、在三棱锥 P-ABC 中,PA ? 平面 ABC, ? ACB= ⑴求 PC 和平面 PAB 所成角 ⑵求三棱锥 P-ABC 的表面积 ⑶求点 A 到平面 PBC 的距离

? ,AC=1,AB=2,PB=2 3 2

综合试题 1、已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定点 M 与 点 A、B、C 一定共面的是( A. OM ? OA ? OB ? OC C. OM ? OA ? ) B. OM ? 2OA ? OB ? OC D. OM ? )
[

1 1 OB ? OC 2 3

1 1 1 OA ? OB ? OC 3 3 3

2、下列各组向量中不平行的是(

? ? A. a ? (1,2,?2), b ? (?2,?4,4)
C. e ? (2,3,0), f ? (0,0,0)

B. c ? (1,0,0), d ? (?3,0,0) D. g ? (?2,3,5), h ? (16,24,40) ) D. (3,?1,?4)

?

?

?

?

?

?

3、已知点 A(?3,1, ?4) ,则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为( A. (?3,?1,4) B. (?3,?1,?4) C. (3,1,4)

4、正方形 ABCD 的边长为 a ,PA ? 平面 ABCD,PA= a ,点 M、N 分别是 PB、PD 的中点,那么异面直 线 AN、CM 所成角的余弦值为( )

2 3 3 5、在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,点 P 在侧面 BCC 1 B 1 及其边界上运动,并保持 AP ? BD 1 ,则点 P 的
A. B.C. D. 轨迹为( A.线段 B 1 C C.BC 的中点与 CC 1 中点连成的线段 ) B.过 B 1 和 C 两点的抛物线 D. BC 的中点与 B 1 C 1 中点连成的线段
3

3 6

3 6

3 3

空间向量与立体几何

6、如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值为( A. 3 2 B. 10 10 ) 3 C. 5 2 D. 5 )

7、从点 P 引三条射线 PA、PB、PC,每两条的夹角都是 60°,则二面角 B—PA—C 的余弦值是( 1 A. 2 B. 1 3 C. 3 3 D. 3 2

8、已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱 A1A=5,AB=12,那么直线 B1C1 和平面 A1BCD1 的距离是( A.5 B. 13 2 60 C. 13 D.8

)

9、设三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的体积为 V,点 P、Q 分别是侧棱 AA 1 、CC 1 的点,且满足条件 PA=QC 1 ,则 四棱锥 B-APQC 的体积为( A. )

1 V 6

B.

1 V 4

C.

1 V 3

D.

1 V 2
. . . .

10、在空间直角坐标系中,点 M(2,-3,5)关于平面 xoy 对称的点为 11、已知向量 a =(2,-1,1) , b =(0,3,5) ,则 2 a -3 b = 12、已知 PD ? 正方形 ABCD 所在的平面,PD=AD=1,则点 C 到平面 PAB 的距离为 13、已知 AB =(2,2,1) , AC =(4,5,3) ,则平面 ABC 的单位法向量是

14 、已知两平面的法向量分别为 m = ( 0,1,0 ) , n = ( 0,1,1 ) ,则该两平面所成的二面角大小 为 . 15、三个平面两两垂直,她们的交线交于一点 M,空间另一点 N 到三个平面的距离分别为 1、2、1, 则线段 MN 的长为 . 16、如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=1,点 D 在棱 BB1 上, 且 BD=1,则 AD 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为_____ ___.

4

空间向量与立体几何

17、如图所示,已知 正方体 ABCD ? A 的棱长为2,E,F分别是BB1 , DD1的中点 1B 1C1D 1

(1)AE//FC1
求证: (2)FC1 / / 平面ADE

(3)平面ADE//平面B1C1F

18、在四棱锥

P ? ABCD中,底面ABCD为正方形,PD ? 平面ABCD

E, F分别为棱AD,PB的中点,且PD=AD
求证: 平面CEF ? 平面PBC

19、将边长为 2 的正三角形 ABC 沿 BC 边上的高 AD 折成二面角 B-AD-C ⑴若二面角 B-AD-C 为直二面角,求三角形 ABC 的面积 ⑵求直线 AB 与面 BCD 所成的角 ⑶若二面角 B-AD-C 为

2? 3

,求二面角 A-BC-D 的大小

5

空间向量与立体几何

20、在平行六面体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1,且两两夹角为 ⑴求 AC 的长 ⑵求 BD 1 与 AC 夹角的余弦值。

? 3

21、 如题 (19) 图, 四棱锥 P ? ABCD 为矩形,PA ? 底面 ABCD ,PA ? AB ? 的中点. ⑴求直线 AD 与平面 PBC 的距离; ⑵若 AD ? 3 ,求二面角 A ? EC ? D 的平面角的余弦值. E P

6 ,点 E 是棱 PB

A

D

B 题(19)图 22、已知已知直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的所有棱长均为 1,M 是底面 BC 边上的中点,N 是 侧棱 CC 1 上一点,且 CN=2C 1 N. ⑴求二面角 B 1 -AM-N 的平面角的余弦值 ⑵求点 B 1 到平面 AMN 的距离

C

6

空间向量与立体几何

23、如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中点. (1)求点 C 到平面 A1ABB1 的距离; (2)若 AB1⊥A1C,求二面角 A1-CD-C1 的平面角的余弦值.

24、 如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AB=5,AD=8, AA1=4,M 为 B1C1 上一点且 B1M=2, 点 N 在线段 A1D 上,A1D⊥AN. (1)求 cos〈 A1D , AM 〉; (2)求直线 AD 与平面 ANM 所成角 θ 的正弦值; (3)求平面 ANM 与平面 ABCD 所成角的余弦值.

25、如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面四边形 ABCD 是正方形,侧面 PDC 是边长为 a 的正三角形, 且平面 PDC⊥平面 ABCD,E 为 PC 的中点. (1)求异面直线 PA 与 DE 所成的角的余弦值. (2)求点 D 到平面 PAB 的距离.

26、如图所示,在三棱锥 P—ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB, PC⊥AC. (1)求证:PC⊥AB; (2)求二面角 B—AP—C 的余弦值; (3)求点 C 到平面 APB 的距离.

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空间向量与立体几何


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