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2014届高中数学学业水平考试模拟卷(7)

高中数学学业水平模拟考试训练试卷(七)2014.3
一、填空题(1-14)(共 14 题,每题 3 分,满分 42 分) 1、设复数 z 满足(1+i)z=2,其中 i 为虚数单位,则 Z=___________

2 2(1 ? i ) ? ? 1? i 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2 2、已知集合 P ? {x | x ? 1} , M ? {a} ,若 P ? M ? P ,则 a 的取值范围是__________
答案: z ? 答案: P ? {x | x ? 1} ? {x | ?1 ? x ? 1} , P ? M ? P ? a ?[?1,1]
2

3、双曲线 2 x ? y ? 8 的实轴长是________答案:4
2 2

4、 设抛物线的顶点在原点, 准线方程为 x ? ?2 , 则抛物线的方程是_______ 答案:y ? 8 x
2

x2 ?x ? 0? 4 6、等差数列 ?a n ? 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 ? 1, a k ? a 4 ? 0 ,则 k=____________
5、函数 y ? 2 x ?x ? 0? 的反函数为________答案: y ? 答案:10 7、已知单位向量 e1 , e 2 的夹角为 60°,则 2e1 ? e2 =__________答案: 3 8、三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,则三棱 锥 P-ABC 的体积等于_________答案: 3 9、已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y=

1 4 9 ? 的最小值是 ______________ 答案: a b 2

10、下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是

11、有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可 能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为______答案:
2 2 2

1 3

12、在 ? ABC 中. sin A ? sin B ? sin C ? sin Bsin C .则 A 的取值范围是________ 答案:由题意正弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ? b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ?
答案:10

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? 1 ? cos A ? ? 0 ? A ? bc 2 3

log 2 x, x?0 ? ? x ? 0 若 f ? a ? ? f ? ?a ? ,则实数 a 的取值范围是______ 1 ??x? , ? ? 2 答案: a ? ? ?1, 0 ? U ?1, ?? ?
13、函数 f ? x ? ? ?log 分析:若 a ? 0 ,则 log 2 a ? log 1 a ,即 2 log 2 a ? 0 ,所以 a ? 1 , 若 a ? 0 则 log 1 ? ?a ? ? log 2 ? ?a ? ,即 2 log 2 ? ? a ? ? 0 ,所以 0 ? ?a ? 1 , ?1 ? a ? 0 。 所以实数 a 的取值范围是 a ? 1 或 ?1 ? a ? 0 ,即 a ? ? ?1, 0 ? U ?1, ?? ? .
1
2

2

14、函数 f ( x) 的定义域为 A,若 x1 , x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ( x) 为单函 数.例如,函数 f ( x) =2x+1( x ? R )是单函数.下列命题: ①函数 f ( x) ? x 2 (x ? R)是单函数; ②指数函数 f ( x) ? 2 x (x ? R)是单函数; ③若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是_________. (写出所有真命题的编号) 答案:②③④ 解析:对于①,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2 ,不满足;②是单函数;命题③实际上是 单函数命题的逆否命题,故为真命题;根据定义,命题④满足条件. 二、选择题(15-20)(共 6 题,每题 3 分,满分 18 分) 15、命题“若 f ? x ? 是奇函数,则 f ? ? x ? 是奇函 数”的否命题是( A.若 f ? x ? 偶函数,则 f ? ? x ? 是偶函数 B.若 f ? x ? 不是奇函数,则 f ? ? x ? 不是奇函数 C.若 f ? ? x ? 是奇函数,则 f ? x ? 是奇函数 D.若 f ? ? x ? 不是奇函数,则 f ? x ? 不是奇函数 答案:B 16、下面四个条件中,使 a > b 成立的充分而不必要的条件是( (A) a > b +1 (B) a > b -1 (C) a > b
2 2
2 2 3

) .


3

(D) a > b

答案:A

17、已知集合 A={ (x,y)|x,y 为实数,且 x ? y ? 1 },B={(x,y) |x,y 为实数,且 y=x}, 则 A ∩ B 的元素个数为( ) A.0 B. 1 C.2 D.3

解析 : 集合A表示由圆x 2 ? y 2 ? 1上的所有点组成的集合; 集合B表示直线y ? x上的所有点 组成的集体,由于直线经过圆内的点O(0,0), 故直线与圆有两个交点 , 故选C. ? 1 18、 “ ? ? ”是“ cos 2? ? ”的 6 2
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A )

19、 1 , 2 , 3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A. B. C.

l

l

l

l1 ? l2 l1 ? l2
l l

, ,

l2 ? l3 ? l1 / / l3 l2 / / l3 ? l1 ? l3
, 2 , 3 共面

l2 / /l3 / /l3 ? l1
l

l

l

D. 1 , 2 , 3 共点 ? 1 , 2 , 3 共面 答案:B 20 、 已 知 定 义 在 [ 0 ?? 上 的 函 数 f ? x ? 满 足 f ( x)? 3 f (? , ) x
2

l

l

l

f ? x ? 在 [2n ? 2, 2n) 上的最大值为 an (n ? N*) ,且 {an } 的前 n 项和为 S n , f ( x)? ? x ? 2 .设 x
n ??

2, ) 当 x ?[ 0 , 2 时 ) ,

则 lim S n ? ( A.3

) B.

5 2

C.2

D.

3 2

答案:D

f ( x ? 2) ?
【解析】由题意

1 f ( x) 3 ,在 [2n ? 2, 2n] 上,
2

1 1 ? ( )n 1 1 1 3 ? lim S ? 3 n ? 1, f ( x) ? 1, n ? 2, f ( x) ? , n ? 3, f ( x) ? ( ) 2 ? an ? ( ) n ?1 ? Sn ? n 1 3 3 3 2 1? 3
三、解答题(21-25)(共 5 题,每题 10+12+12+12+14 分,满分 60 分) 21、已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 5 证明: ? 3 ? f ?x ? ? 3 ; 证明:化简

x ? 2, ? ?3, ? f ( x ) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ?2 x ? 7, 2 ? x ? 5, ?3, x ? 5. ?
当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2 x ? 7 ? 3. 所以 ?3 ? f ( x) ? 3.

22、如图,已知点 P 在圆柱 OO1 的底面圆周上, AB 是圆 O 的直径。 ⑴ 求证: BP ? A1 P ; ⑵ 若圆柱的体积为 12? ,OA ? 2 ,?AOP ? 120 , 求异面直线 A1 B 与 AP 所成角的大小。
0

A1

O1

B1

22、解: (1)证明:易知 AP ? BP ,又由 AA1 ? 平面 PAB ,得 AA1 ? BP , 从而 BP ? 平面 PAA 1 ,故 BP ? A 1P ; O (2) 解:延长 PO 交圆 O 于点 Q,连接BQ, A1Q ,则 BQ ? AP , 则异面直线 A1 B 与 AP 所成的角为 ?A1 BQ 或它的补角。 由题意 V ? ? ? OA ? AA1 ? 4? ? AA1 ? 12? , 解得 AA1 ? 3.
2

3分

6分 8分
O1

A

B

P

A1

B1

又 BQ ? 2 3 , AQ ? 2 ,得 AA1 ? 13 , A1 B ? 5 , 由余弦定理得 cos ?A1 BQ ?

10 分
O

A1 B ? BQ ? A1Q 2 3 ? ?0 2 A1 B ? BQ 5
2 2 2

A

B

2 3 5 2 23、已知等比数列 {an } 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 .
得异面直线 A1 B 与 AP 所成的角为 arccos (1)求数列 {an } 的通项公式. (2)设 bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? log 3 an ,求数列 {

12 分

P

1 } 的前 n 项和. bn 1 2 3 2 2 解: (1)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 所以 q ? . 9 1 1 由条件可知 c>0,故 q ? .由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? .故数列{an} 3 3 1 的通项式为 an= n . 3 n?n ? 1? (Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log 3 an = ? 2
3

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 2n 所以数列 { } 的前 n 项和为 ? bn n ?1
故 24、已知函数 f ? x ? ? tan? 2 x ?

(Ⅰ)求 f ? x ? 的定义域与最小正周期;

? ?

??
? 4?

?? ? f ? ? ? 2 cos 2? 求 ? 的大小. ?2? ? ? ? k? ,k ?Z . 解 (I)解:由 2 x ? ? ? k? , k ? Z ,得 x ? ? 4 2 8 2 ? ? k? , k ? Z } , f ( x) 的最小正周期为 . 所以 f ( x) 的定义域为 {x ? R | x ? ? 2 8 2 a ? (II)解:由 f ( ) ? 2 cos 2a, 得 tan(a ? ) ? 2cos 2a, 2 4
(II)设 ? ? ? 0,

? ?? ? ,若 ? 4?

sin(a ? ) 4 ? 2(cos 2 a ? sin 2 a), ? cos(a ? ) 4 sin a ? cos a ? 2(cos a ? sin a)(cos a ? sin a). 整理得 cos a ? sin a ? 1 1 2 因为 a ? (0, ) ,所以 sin a ? cos a ? 0. 因此 (cos a ? sin a) ? , 即sin 2a ? . 4 2 2 ? ? ? ? 由 a ? (0, ) ,得 2a ? (0, ) .所以 2a ? , 即a ? . 4 2 6 12 25、已知直线 l : y=x+m,m∈R.
(1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; 2 (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? ,问直线 l ? 与抛物线 C: x ? 4 y x2=4y 是否相切? 说明理由. 解: (1)依题意,点 P 的坐标为(0,m) 因为 MP ? l ,所以

?

0?m ?1 ? ?1,解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2) 2?0
(2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2,
2 2

从而圆的半径 r ?| MP |?

故所求圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8. (II) 因为直线 l 的方程为 y ? x ? m, 所以直线 l ' 的方 程为 y ? ? x ? m. 由?

? y ' ? ? x ? m,
2 ?x ? 4 y

得x 2 ? 4 x ? 4m ? 0 , ? ? 42 ? 4 ? 4m ? 16(1 ? m)

(1)当 m ? 1, 即? ? 0 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切 (2)当 m ? 1,那 ? ? 0 时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。 综上,当 m=1 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切; 当 m ? 1时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。
4


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