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直接证明与间接证明反证法_图文

直接证明之三:反证法

直接证明: 条件p ? 结论q
(1)综合法—— 由因导果 已知条件 ?… ? … ? (2)分析法—— 执果索因 结论

结论

? … ? … ? 已知条件

例: 小华睡觉前,地上是干的,早晨起来, 看见地上全湿了。小华对婷婷说:“昨 天晚上下雨了。”

您能对小华的判断说出理由吗?
如果昨天晚上没有下雨,那么地上应是干的, 这与早晨地上全湿了相矛盾,所以说昨晚下 雨是正确的。

在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成 立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知 条件矛盾,或者与定义、公理、定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证 的命题正确.这种证明方法叫做反证法。

引例
证明:在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.
已知:∠A, ∠ B, ∠ C是△ABC的内角. 求证: ∠ A, ∠ B, ∠ C中至少有一个 不小于60°

已知:∠A, ∠ B, ∠ C是△ABC的内角. 求证: ∠ A, ∠ B, ∠ C中至少有一个 不小于60°
证明: 假设 ?ABC 的三个内角A,B,C都小于60°, 所以

∠ A < 60°,∠B < 60°, ∠C < 60°

∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与 三角形内角和等于180° 相矛盾.

∴ 假设 不能成立,所求证的结论成立.

反证法的一般步骤:
(1)假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立; (2)从这个假设出发,经过推理 论证,得出矛盾; (3) 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确。
反设

归谬

结论

归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾;

(2)与已有公理、定理、定义矛盾;
(3)自相矛盾。

反证法: 反设——归谬——存真
?

q ??p

p?q

适宜使用反证法的情况 (1)结论以否定形式出现 (2)结论以“至多-------,” ,“至少-----”形式出现 ( 3)唯一性、存在性问题

(4) 结论的反面比原结论更具体更容易
研究的命题。

常见否定用语 是---不是 有---没有 等---不等 成立--不成立 都是--不都是,即至少有一个不是 都有--不都有,即至少有一个没有 都不是- -至少有一个是 唯一- -至少有两个 至少有一个有(是)--全部没有(不是) 至少有一个不-----全部都

反馈练习

1、写出用“反证法”证明下列命题的第 一步“假设”. (1)互补的两个角不能都大于90°.
假设互补的两个角都大于90°.

(2)△ABC中,最多有一个钝角
假设△ABC中,至少有两个钝角

演练反馈
1、写出下列命题,用反证法证明的第一步 (1)已知a=b,则a2=b2 (2)三角形最小的角小于或等于600 (3)两条直线相交,只有一个交点 (4)在同一平面内,若一条直线和两条平行线 中的一条相交,那么和另一条也相交

2、平面内有四个点,没有三点共线,
证明:以任意三个点为顶点的三角形不可能

都是锐角三角形

演练反馈
2、平面内有四个点,没有三点共线,求证:以任意三个点为顶点 的三角形不可能都是锐角三角形 证明:假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个 点为A、B、C、D。考虑点D在 ?ABC之内或之外两种情况。 (1)如果点D在 A D

?ABC

之内,根据假设,

?ADC, ?ADB, ?BDC都为锐角三角形
所以

?ADC ? ?ADB ? ?BDC ? 270

?

C
B

这与一个周角为360°矛盾。

演练反馈
2、平面内有四个点,没有三点共线, 证明:以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 (1)如果点D在 A

?ABC
D

之外,根据假设,

?ABC, ?ADC, ?BAD, ?BCD
都是锐角三角形,即
?

?BAD ? ?ABC ? ?BCD ? ADC ? 360
C

这与四边形内角和矛盾。

B
所以,综上所述,假设不成立,从而题目结论成立。 即这些三角形不可能都为锐角三角形。

反馈练习
2、“已知: △ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”. 下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四 个推理步骤. (1)所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和 定理相矛盾. (2)所以∠B<90°. (3)假设∠B≥90°. (4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即 ∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是( C ) A.(1)(2)(3)(4) B.(3)(4)(2)(1) C.(3)(4)(1)(2) D.(4)(3)(2)(1)

演练反馈 1.用反证法证明: 如果a>b>0,那么 a > b

证:假设 a > b不成立,则 a ≤ b
若 a = b,则a = b, 与已知a > b矛盾,
若 a < b,则a < b, 与已知a > b矛盾,

故假设不成立,结论 a > b成立。

演练反馈
2. 已知a≠0,证明x的方程ax=b有且只有一 个根。 证:假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根,
不妨设其中的两根分别为x1,x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b,ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a(x1 - x2) =0 ∵x1 ≠ x2,x1 - x2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立,结论成立。

演练反馈
3.求证: 2 是无理数。
证:假设 2是有理数,

m 则存在互质的整数m,n使得 2 = , n 2 2

∴ m = 2n

∴ m = 2n

∴m 2 是偶数,从而m必是偶数,故设m = 2k(k∈N?)

从而有4k2 = 2n2,即n2 = 2k 2 ∴n2也是偶数, 这与m,n互质矛盾!
所以假设不成立,2是有理数成立。

总结提炼 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论

2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?

用反证法在归谬中所导出的矛盾可以 是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、 公理、定理矛盾,自相矛盾等.

推理 合情推理 (归纳、类比) 证明 直接证明 (分析法、综合法) 间接证明 (反证法) 演绎推理 (三段论)

数学—公理化思想

反证法 【探究1】将9个球分别染成红色或白色 无论怎样染色,至少有5个球 一 定是同色的。正确吗? 【探究2】 已知 a ≠0 ,关于 x 的方程 a x = b 有解吗? 解唯一吗?

【例1】给定实数 a , a ? 0 且 a ? 1

设函数

x ?1 1 f ( x) ? (x ? R , x ? ) ax ? 1 a

求证:经过函数图像上任 意两个不同点的直线

不平行于x轴。

【 例2 】已 知 a , b, c ? (0,1) , 求 证 : (1 ? a )b , 1 (1 ? b)c , (1 ? c )a 不 能 同 时 大 于 4

1 【 例3 】 对 于 函 数 f ( x) ? , 找 不 到 正 数 A, x 使得在整个定义域内 |, f ( x ) |? A恒 成 立 。

【方法总结】 推出矛盾,可通过特殊

值进行说明。

? [例4] 已知0<a≤3,函数f(x)=x3-ax在区 间[1,+∞)上是增函数,设当x0≥1, f(x0)≥1时,f(f(x0))=x0,求证:f(x0)=x0. ? [分析] 要求证明存在某个对象具有某种 特殊性质,而我们又无法具体地指出这个 对象来,如本例,此时应考虑用反证法来 解决.

? [ 证明 ] 假设 f(x0)≠x0 ,则必有 f(x0)>x0 或 f(x0)<x0, ? 若f(x0)>x0≥1,由f(x)在[1,+∞)上为增函 数,则f(f(x0))>f(x0), ? 又f(f(x0))=x0,∴x0>f(x0),与假设矛盾, ? 若x0>f(x0)≥1,则f(x0)>f(f(x0)), ? 又f(f(x0))=x0,∴f(x0)>x0也与假设矛盾. ? 综上所述,当 x0≥1 , f(x0)≥1 且 f(f(x0)) = x0 时有f(x0)=x0.

? ? ? ? ? ?

已知p3+q3=2,求证:p+q≤2. [证明] 假设p+q>2,那么p>2-q, ∴p3>(2-q)3=8-12q+6q2-q3. 将p3+q3=2代入得,6q2-12q+6<0, 即6(q-1)2<0. 由此得出矛盾.∴p+q≤2.

思考题.求证:1, 3,2 不能为同一等差数列的三项.

[证明]

假设 1, 3,2 是某一等差数列的三项,设

这一等差数列的公差为 d, 则 1= 3-md,2= 3+nd,其中 m,n 为两个正整 数, 由上面两式消去 d,得 n+2m= 3(n+m). 因为 n+2m 为有理数,而 3(n+m)为无理数, 所以 n+2m≠ 3(n+m),矛盾,因此假设不成立, 即 1, 3,2 不能为同一等差数列的三项.

【试一试】
1、如果一条直线经过平面内一点,又经过平 面外一点,则此直线与平面相交。
2 2 若 a ? b ? 2a ? 4b ? 3 ? 0 , 则 a ? b ? 1 2、证明:

3、已知方程 2x = 3 ,求证方程有且只有一根

【作业】 P54

练习1、2 A组 3


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