fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

浅谈圆的第二定义在解题中的应用


9 一 j  

数 学教 学 

2 0 1 4 年第 9 期 

浅谈圆韵 第=定义在藤题 中的应用 
2 1 1 9 0 0 南京师范大 学第二附 属高 级 中学
2 1 1 9 0 0 江苏省仪征 中学

张晓飞 

邓迎春 

圆的第二定义: 平面内, 到两个定点的距  离之 比为 常数 k ( k≠ 1 ) 的点 的轨迹 是圆, 这 个  圆就 是阿波罗尼( A p o 1 l o n i u s   o f   P e r g a , 2 6 2 B C 一  
1 9 0 B C ) 圆, 俗称 圆的第 二定义. 下面从解 析几  何角度 先进行证 明.   已知:平面 上两个 定 点  、B, 一动 点 j [ ) ,   满足 PA = k PB(  ≠ 1 ) .求 证:点 P的轨 迹  是一个圆.   证明: 以 B所在直线为 轴 , 线段 A B中   垂线 所在直线 为Y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系,  

故点 P的轨迹是一个 圆, 得证.  

虽然 圆 的第 二定 义不属 于高 中教学 范畴,   但 却是 学生 利用 高 中知识 可 以 自行 推导解 决  的, 符合 学生 的能力要 求, 符合 高考考试 说 明 

要求 , 而 且近 几年 圆的第 二定义在各地 高考 中  都有着 不 少的应用 . . 以下就近年江苏省高考试  题举例说 明.   例 1’ ( 2 0 0 8 年高考江苏卷试题) 已知A B=  
2 , A C=   Bc, 求面积 S n A B C 的最大值.   分 析: 因为 B = 2 , A C=   V T BC, 由圆  的第 二定义得, 点  的轨迹是一个圆. 又A B=  

设A B=2 a , 则A ( -0 , 0 ) , B( a , 0 ) ,设P( x ,  ) .  
根据条件 PA= k P B(   ≠1 ) 得、 / /  十n )   +  




 

k v / — ( x,a ) — 2 +y 2 , 展开整理得 (   。 一1 )   一  
+  2 +   2 :0 j  

2 a ( k   +1 )   (   2 —1 ) y 2 +a 2 ( k  ̄ 2 —1 ) ,  0 , 因   大值 .  
为  ≠ 1 , 所以z 2 一  

2 ,以AB作 为 三 角 形 的 底,则 为 定 值,要  求  A B c 的最 大 值 即求 点  到 A B距 离 的最 
解 析: 因为 AB= 2 ( 定长) , 可 以以 AB所 

配 方 整 理 得 (   一  
~ ,  ~ ~ ~   ~ ~ ~ r  r  ~ ,  ~ ~
. 

) 2 +   2 =  
~ ~ ,  ~ ~ ~ ~ r  ~ ,  ~

,   面直角坐标系, 则 ( 一l , 0 ) , B( 1 , O ) , 设 c( x ,  ) .  
~ ,  ~ r  ,   ~ ~ ,  ~ ~ ~ ~ ~ ,   ,  ~ r  ~ ~ ~ r  r   ~   r  ~ ~ ~  

在直 线 为 轴 , 线 段 B 中垂线 为 Y 轴 建立 平 

探 究 2 将 三 角形与 四面体类比 , 三角形 

的边与 四面体 的面对 应, 三 角形 的面积与 四面 

e 4 + 4 + 镌 +   ≥   焉 
睾  

,  

体 的体 积对应 , 提 出如下 问题: 四面 体A BC D  的 四个面 的面 积依次为S i ,   、s 3 、   , 体积  为 , 四面体 内任 意的一 点P到S 1 、   、& 、 瓯 
四个 面 的距 离依 次为d 1 、d 2 、如 、也, 则又会 

当 且 仅 当 瓦 d l =   d 2 =   妾 = 塞 , 即 比 =  
。 : = = =   1 ,   2 , 3 文 , 4 ) J   时 , 取 耿 等 寺 号 亏 . ‘  
『 司样在 空 间 中这 一 结 论 可 以推广 到佗 面体,  

有怎样有趣的不等式呢?沿着平面 问题的思 

由 于推导过程类似, 不再赘述  . .   . 推广2 凸  面体体积为   V , 各面依次为  

1 ,   , … ,   , 礼 面 体 内任 意一 AP到各面 的  路, 由 柯西不等式得( d   +d ; +d ; +近) ? (  +   S +   +  ) ≥( d l S 1   4 - d 2 S 2 +d 3 S 3 +d 4 S 4 )   ,   距离依次为d 1 , d 2 , …,  , 则不等式∑ d } ≥  

而 V:  ( d l S I +d 2 S 2 +d 3 S 3 +d 4  ) , 即有 
o 

9 V2

( d i +   +d ; +d i ) ? ( s } +  +  +  ) ≥  
9 V2
,  

∑ 

( 当且仅当  :   ,  :1 , 2 , … , 礼 时,   ∑ 

等号成立1 .  

2 0 1 4 年第9 期 

数 学教学 

9 一  

由A C=、 / / 2 B  得 ̄ / (  +1 ) 2 +y 2= 、 / / 2?  

圆 的第二 定义 在近 年江 苏省 高考 中出现  了两次, 其实在 其他省份 的高考 卷 中也屡次 出  现, 如2 0 0 0 年全 国高考 卷, 2 0 0 4 年 的北京市春  季 高考卷  2 0 0 6 年四 川省 高考 理科卷 , 2 0 0 8 年 
四川省高考理科卷. 这说 明圆的第 二定义应用  广 泛, 很受 高考命题 组专家 的亲睐.其 实在 平  时我们 的教学和模拟考试中也时常会遇到这样  的问题, 下面举两例说 明.   例3   己 知 等 腰 三 角 形 中 腰 上 中 线 长 

、 / /  一1 )   +y 2 , 展开 整理得( X 一 3 )   + Y 0 =8 ,  
即 点  在 以 ( 3 , 0 ) 为 圆心, 2   为半 径 的 圆上 

运动, 所以S  ̄ A B C=妄? I A B 1 . f  f :I Y c I ≤  
2   .  

说 明:本 题 从题 目表 面上 看 是考 查 学 生  解 三角形 一章 的应用 , 可 以利用正余 弦定理解  决, 但 过程繁 琐.而从 另一 角度注 意 到 C =  

、 / / 2 B  , 即会发现点   的轨迹是一个圆, 从而  
用解 析几何手 段解决更方 便快捷, 计算上也 可 

以简单很 多.   例2 ( 2 0 1 3 年 高考江苏卷试 题) 如 图1 ’ 在 

为、 / / 3 , 求该三角形面积的最大值.   分析: 如图2 , B D :、 / / 3 , A B   =2 A D, 由  
圆的第 二定义 可知, 点 A的轨迹 是一个 圆, 求  该三角 形面积 的最大值 , 即求 该三角形面积 的 


平面直角坐标系x O y中, 点A( O , 3 ) , 直线z : Y =  
2 x— —4 .  
J   y 

半( 即 △ABD面积 ) 的最大值 .  

3   I   A

/  
C 

- O 4   /  
f  
图1  

图2  

解析: 以 BD 所 在 直 线 为 X轴 , 线 段 BD 中 

垂 线所  直线为 

建立平面 直角坐标 系. 则 

设圆  的半径 为 1 , 圆心在 2 上.   ( 1 )若 圆心  也 在 直线 Y= X一 1 上, 过  点 A作 圆  的切线 , 求切线 的方程;   ( 2 ) 若 圆  上存在 点  , 使MA= 2 M O,   求 圆心  的横坐标 a的取值 范 围.   分 析: 在第 ( 2 ) 小 题 中,   A=2 M O,由   圆 的第 二定 义 得知 点  的轨迹 是 一个 圆, 要  圆  上存 在 点 M , 使  A = 2 M O, 则 本 小题  就转化为两个 圆有交点 问题.  

B (  , 0 ) , D (  , 0 ) , 设   .A B =   2   D 得 (   +  ) 2 + y 2  4   ) 。 卅,  
展 开 化 简 得 f   一 昙   +   2 : 百 4 , 所 以  A B G  


I BDI . I  f =   . I Y A l ≤   .  

=2 , 所 

以该三角形面积 的最大值 是 2 .  

解析: ( 1 ) ( 过程 略) 切线方程 为 Y= 3 或 =  
一  

3 ;  

说 明: 本 题也可 以通过 向量 或三 角等途 径  解决, 在这里不再赘述 .   例4   已知集合 M : { (   ,  ) l z一3≤Y≤   x - l } , N={ PI PA≥、 , / 2 J F ) B, A( - 1 , 0 ) , B( 1 , 0 ) ] . ,  
则 表 示  nⅣ 的 图形 面 积 为 

( 2 )设 M( x ,   ) , 由MA=2 MO得 

分析: 集 合 M 表 示 的 图 形 是 两 条 平 行 

v / X 2 +   一3 ) 0 :2 、 / / z 0 +Y   ,  
化简得X  + ( Y+ 1 )  = 4 , 即 点 M 的轨迹 是 

线Y =  一3 , Y =  一1 之 间的区域, 集合 Ⅳ 表示 

以( 0 , - 1 ) 为圆心, 2 为半径的圆,可记为圆P,  
又 因 为点  在 圆  上 , 故 圆  和 圆 P有 公共 

的图形是 点 P的轨迹 ,  、   为定 点, 则P A=   PB满足圆的第二定义, 即此时点 J F ) 的轨迹 

点,即 相 交 或 者 相 切 , 故 1≤ }  Pl≤ 3 i其 

是圆.设e ( x ,   ) , 则、 / / (  +1 ) 0 +Y  ≥ 、 / 2 ?   、 / /  =   , 整理得(   一 3 ) 。 +y 2 ≤8 , 如  
( 下转第9 — 1 4 页)  

中I C P I =x / a s +( 2 a 一 3 ) 0 , 因 此 0 ∈L o , . ~ - g . - 1 .  

9 一 _ f  

数 学款 学 

2 0 1 4 年第9 期  

当入 <0 、   ≥0 时, { P   L O P:A oA4 - # OB,   I A { +f   I ≤1 ,  、   ∈R)={ P   L O P=   I , x t o d ' - - I   0 百,   +   ≤1 ,  、   ∈R) , 对应于区域 3 ;   当  < 0 、   <0 时, { P   L OP:A OA+# O B,   I 入 I +l  l ≤1 , 入 、   ∈R] . ={ P   L O P=l ,  ̄ l Od+  

图6  

D D ,   +I   ≤1 ,  、   ∈R) , 对应于区域 4 .   综上所述, 点集. f Pl O P=   l 二 )  +  D 雪,  
+   ≤1 ,  、   ∈R) 所表 示的区域 即图 7 中的  矩形 区域 , 其面积 为 S= 2×2 、 / / 3=4 、 / / 3 .  

点评 :本题也 可 以同例 1 一样 , 将 点 P看  成 既落在 Z BA C所 在 区域 , 且 与 点  分处 于 
直线  D两侧, 又与点  处于直线 B   同侧 中,  
1  

f   ≥0 ,

即 得不等 式组  
  .

≥1
,  

X  

≤i .  
图7  

例3 ( 2 0 1 3 年 高考 安 徽卷 理科 第 9 题) 在 

平 面 直 角 坐 标 系 中 l = ) 是 坐 标 原 点, 两 定 点  A、B满足 1 0  l =1 0  I =《 二 )  . OB =2 , 则点  集{ P   L OP=A O A+# OB, l   l +l   I ≤1 ,  、   ∈R) 所表示的区域 的面积是… … …… . . ()   ( A ) 2 、 , / 2 ; ( B ) 2 、 , / 3 ; ( C ) 4 X / 2 ; ( D) 4 、 / / 3 .  
解析: 如图7 , 分别作D  =一 ( = )  、《 二 )  =  


点评:从 向量 的角度 来探 讨 平面 区域 问  
题, 充 分体现 了 向量 的工 具性, 绕 开了直角 坐  标系, 大大简化 了运算.  
参考文献:   『 1 1 朱贤 良. 寻“ 前世” , 定“ 今生” —— 一道 

oB.  

当 ≥0 、   ≥0 时, {  ̄l oP:A OA +I  ̄ OB,   l   l +J   I ≤1 ,  、   ∈R] - ={ P l o p=l   l 0  +  

安徽高考试题的多角度分析与探源 [ J ] . 数学教 
学研究, 2 0 1 3 ( 1 1 ) : 4 0 - 4 2 :  

『 2 ] 崔志荣. 把 向量 的系 数 和 化 为 “ 1 ”  .  

( = } 百,   +   ≤1 , 入 、   ∈ R) , 对应于区域 1 ;   当入 ≥0 、   <0 时, . [ PI Dp=   《 = )  +   D雪,   l   l +l   l ≤l ,  、   ∈R) ={ PI 《 二 ) 户=1   I I D  +  
( 二 》  ,   +   ≤1 ,  、   ∈R] . , 对应于区域2 ;  
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

数学通讯( 下半月) , 2 o 1 2 ( 1 0 ) : 2 9 _ 3 1 .  
f 3 1 杨华, 易立 杭. 利 用共 线 向量 中的 系 

数巧解一类 向量 问题 f J ] . 数学通讯( 上半月) ,   2 0 1 1 ( 5 - - 6 ) : 2 0 — 2 1 .  
~ ~ ~ ~ ~ ~ , ’   ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~  

( 上接第9 — 1 1 页)  
L y  

面积为妄 圆的面积一 ( 扇形c   的面积一 三角  
s / /  
T  

/ 

形C T S的面积) =  7 r +2 、 / / 3 .  
圆的第二定义 的应用还 只是冰 山一角 , 像 

y  

l ( )  

一  

这种在高 中课本没有 出现, 但 由学生 的能力完 
全可 以 自推 的结论定理还有不少. 平 时我们要  做个有心人 , 将 问题归类 整理, 总结反思, 不断 

y = , x- 3  

图3  

提 高我们 自身 的专业素质, 也可 以更好地 提高 
我们的教学质量 !  

图3 所 示. 则 M  n   N表 示 的 区域 是 M NS T,  


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图