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江西省南昌市2016届高考数学一模试卷 文(含解析)


2016 年江西省南昌市高考数学一模试卷(文科)

一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数(1+ i)?i 对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合 A={x|y= ),B={y|y﹣l<0),则 A∩B=( C.[0,1) D.[0,1] )

A.(一∞,1) B.(一∞,1]

3.已知命题 p:函数 f (x)=|cosx|的最小正周期为 2π ;命题 q:函数 y=x3+sinx 的图象 关于原点中心对称,则下列命题是真命题的是( )

A.p∧q B.p∨q C.(¬p)∧(¬q) D.p∨(¬q) 4.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, 算得的线性回归方程可能是( A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 ) C. =﹣2x+9.5 D. =﹣0.3x+4.4 ) =3.5,则由该观测数据

5.执行如图所示的程序框图.若输出的结果为 3,则可输入的实数 x 的个数为(

A.l

B.2

C.3

D.4 ,则下列结论正确的是( )

6.已知函数 f(x)= A.f(x)是偶函数

B.f(x)是增函数

C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[﹣1,+∞) 7.设 α 为平面,a、b 为两条不同的直线,则下列叙述正确的是( A.若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b B.若 a⊥α ,a∥b,则 b⊥α C.若 a⊥α ,a⊥b,则 b∥α D.若 a∥α ,a⊥b,则 b⊥α
1



8.若等比数列的各项均为正数,前 4 项的和为 9,积为 A. B. C.1 D.2

,则前 4 项倒数的和为(



9.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交 点,若 A. =3 B. ,则|QF|=( C.3 )

D.2

10.如图网格纸上小正方形的边长为 l,粗实线画山的是某几何体的三视图,则这个几何体 的体积为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

11. 已知点 P 在直线 x+3y﹣2=0 上, 点 Q 在直线 x+3y+6=0 上, 线段 PQ 的中点为 M (x0, y0) , 且 y0<x0+2,则 的取值范围是( )

A.[﹣ ,0)

B.(﹣ ,0)

C.(﹣ ,+∞) D.(﹣∞,﹣ )∪(0,+∞)

12.已知函数 f(x)= A.(﹣∞,0] B.(﹣∞,1]

,若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( C.[﹣3,0] D.[﹣3,1]



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知函数 f(x)= ,则 f[f(﹣4)]= .

14.已知向量 =(1,

),向量 , 的夹角是



? =2,则| |等于



15.已知双曲线

的离心率为 2,那么该双曲线的渐近线方程为



2

16. 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 Sn+Sn﹣1=2n﹣1 (n≥2) , 且 S2=3, 则 a1+a3 的值为



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数 4π . (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 满足(2a﹣c)cosB=bcosC,求函数 f (A)的取值范围. 18.如图,四棱锥 S﹣ABCD 中,SD⊥底面 ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,M, N 分别为 SA,SC 的中点,E 为棱 SB 上的一点,且 SE=2EB. (1)证明:MN∥平面 ABCD; (2)证明:DE⊥平面 SBC. 的最小正周期为

19.现有甲、乙、丙、丁 4 个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的活动,每人参加且只 能参加一个社团的活动,且参加每个社团是等可能的. (1)求文学社和街舞社都至少有 1 人参加的概率; (2)求甲、乙同在一个社团,且丙、丁不同在一个社团的概率. 20.已知椭圆 C: 形,直线 x+y+2 =1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角 ﹣1=0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,椭圆的长半轴为半径的圆相切.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 B,C,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点 B 与点 D 关于原点 O 对称,设直线 CD,CB,OB,OC 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4,且 k1k2=k3k4. (i)求 k1k2 的值; (ii)求 OB2+OC2 的值.

3

21.已知函数 f(x)=lnx﹣ax ﹣a+2(a∈R,a 为常数) (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若存在 x0∈(0,1],使得对任意的 a∈(﹣2,0],不等式 mea+f(x0)>0(其中 e 为自然对数的底数)都成立,求实数 m 的取值范围.

2

[选修 4-1:几何证明选讲]共 1 小题,满分 10 分) 22.如图,圆 M 与圆 N 交于 A,B 两点,以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M 和圆 N 于 C,D 两点,延长延长 DB 交圆 M 于点 E,延长 CB 交圆 N 于点 F.已知 BC=5,DB=10. (1)求 AB 的长; (2)求 .

[选修 4-4:坐标系与参数方程](共 1 小题,满分 0 分) 23.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =4cosθ .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴 的正半轴,建立平面直角坐标系,直 l 的参数方程是 (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且|AB|= ,求直线的倾斜角 α 的值. (t 是参数)

[选修 4-5:不等式选讲](共 1 小题,满分 0 分) 24.设函数 f(x)= (Ⅰ)求实数 M 的值; 的最大值为 M.

4

(Ⅱ)求关于 x 的不等式|x﹣

|+|x+2

|≤M 的解集.

5

2016 年江西省南昌市高考数学一模试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数(1+ i)?i 对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】计算题;方程思想;转化法;数系的扩充和复数. 【分析】写出复数的对应点的坐标,判断即可. 【解答】解:复数(1+ 故选:B. 【点评】本题考查复数的几何意义,考查计算能力. i)?i=﹣ +i.对应点为(﹣ ,1)在第二象限.

2.已知集合 A={x|y=

),B={y|y﹣l<0),则 A∩B=( C.[0,1) D.[0,1]



A.(一∞,1) B.(一∞,1] 【考点】交集及其运算.

【专题】集合思想;定义法;集合. 【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A,求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出两集合的交集 即可. 【解答】解:由 A 中 y= 解得:0≤x≤1,即 A=[0,1], 由 B 中不等式解的:y<1,即 B=(﹣∞,1), 则 A∩B=[0,1), 故选:C. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. ,得到 x﹣x2≥0,即 x(x﹣1)≤0,

6

3.已知命题 p:函数 f (x)=|cosx|的最小正周期为 2π ;命题 q:函数 y=x +sinx 的图象 关于原点中心对称,则下列命题是真命题的是( )

3

A.p∧q B.p∨q C.(¬p)∧(¬q) D.p∨(¬q) 【考点】复合命题的真假. 【专题】计算题;转化思想;综合法;简易逻辑. 【分析】分别判断出 p,q 的真假,从而判断出复合命题的真假即可. 【解答】解:命题 p:函数 f (x)=|cosx|的最小正周期为 π ,故命题 p 是假命题; 命题 q:函数 y=x3+sinx 的图象关于原点中心对称,是真命题; 故 p∧q 是假命题,p∨q 是真命题,(¬p)∧(¬q)是假命题,p∨(¬q)是假命题, 故选:B. 【点评】 本题考查了充分必要条件, 考查三角函数问题, 考查函数的奇偶性, 是一道基础题.

4.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, 算得的线性回归方程可能是( A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 ) C. =﹣2x+9.5 D.

=3.5,则由该观测数据

=﹣0.3x+4.4

【考点】线性回归方程. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】变量 x 与 y 正相关,可以排除 C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直 线方程. 【解答】解:∵变量 x 与 y 正相关, ∴可以排除 C,D; 样本平均数 =3, 故选:A. 【点评】本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键. =3.5,代入 A 符合,B 不符合,

5.执行如图所示的程序框图.若输出的结果为 3,则可输入的实数 x 的个数为(



7

A.l

B.2

C.3

D.4

【考点】程序框图. 【专题】计算题;图表型;分类讨论;函数的性质及应用;算法和程序框图. 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数 y= 的值,分类讨论满足输出的结果为 3 的 x 值,可得答案.

【解答】解:由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数 y=
2

的值,

当 x≤1 时,由 x ﹣1=3 得:x=﹣2 或 2(舍去), 当 x>1 时,由 log2x=3 得:x=8, 综上可得:可以输入的 x 的个数为 2 个, 故选:B. 【点评】本题考查的知识点是循环框图,分段函数的应用,难度不大,属于基础题.

6.已知函数 f(x)= A.f(x)是偶函数

,则下列结论正确的是( B.f(x)是增函数



C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[﹣1,+∞) 【考点】函数的值域;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【专题】函数思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数的性质分别进行判断即可. 【解答】解:当 x≤0 时,f(x)=cos2x 不是单调函数,此时﹣1≤cos2x≤1, 当 x>0 时,f(x)=x4+1>1,
8

综上 f(x)≥﹣1, 即函数的值域为[﹣1,+∞), 故选:D 【点评】 本题主要考查函数性质的判断, 根据条件判断函数的单调性和值域的关系是解决本 题的关键.

7.设 α 为平面,a、b 为两条不同的直线,则下列叙述正确的是( A.若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b B.若 a⊥α ,a∥b,则 b⊥α C.若 a⊥α ,a⊥b,则 b∥α D.若 a∥α ,a⊥b,则 b⊥α



【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】利用空间线线、线面、面面间的关系求解. 【解答】解:若 a∥α ,b∥α ,则 a 与 b 相交、平行或异面,故 A 错误; 若 a⊥α ,a∥b,则由直线与平面垂直的判定定理知 b⊥α ,故 B 正确; 若 a⊥α ,a⊥b,则 b∥α 或 b? α ,故 C 错误; 若 a∥α ,a⊥b,则 b∥α ,或 b? α ,或 b 与 α 相交,故 D 错误. 故选:B. 【点评】本题考查命题的真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的 培养.

8.若等比数列的各项均为正数,前 4 项的和为 9,积为 A. B. C.1 D.2

,则前 4 项倒数的和为(



【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】设此等比数列的首项为 a1,公比为 q,前 4 项之和为 S,前 4 项之积为 P,前 4 项 倒数之和为 M,由等比数列性质推导出 P2=( )4,由此能求出前 4 项倒数的和. 【解答】解:∵等比数列的各项均为正数,前 4 项的和为 9,积为 ∴设此等比数列的首项为 a1,公比为 q ,

9

前 4 项之和为 S,前 4 项之积为 P,前 4 项倒数之和为 M,

若 q=1,则

,无解;

若 q≠1,则 S=

,M=

=

,P=a14q6,

∴( )4=(a12q3)4=a18q12,P2=a18q12,∴P2=( )4, ∵ ,

∴前 4 项倒数的和 M= 故选:D.

=

=2.

【点评】本题考查等比数列的前 4 项倒数的和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 等比数列的性质的合理运用.

9.已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交 点,若 A. =3 B. ,则|QF|=( C.3 )

2

D.2

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 设 l 与 x 轴的交点为 M, 过 Q 向准线 l 作垂线, 垂足为 N, 由 又|MF|=p=4,根据抛物线的定义即可得出. 【解答】解:设 l 与 x 轴的交点为 M,过 Q 向准线 l 作垂线,垂足为 N, ∵ ∴ =3 , = ,又|MF|=p=4, =3 , 可得 = ,

∴|NQ|= , ∵|NQ|=|QF|, ∴|QF|= .

10

故选:A.

【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题.

10.如图网格纸上小正方形的边长为 l,粗实线画山的是某几何体的三视图,则这个几何体 的体积为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;数形结合;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】由三视图可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,求出底面面积和高,代入 棱锥体积公式可得答案. 【解答】解:由三视图可得:该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥, 其底面面积 S= 所以几何体的体积 V= 故选:C. =6,高侧视图的底(俯视图的宽):2, =4,

11

【点评】本题考查三视图求几何体的体积,考查空间想象能力,三视图正确复原几何体是解 题的关键.

11. 已知点 P 在直线 x+3y﹣2=0 上, 点 Q 在直线 x+3y+6=0 上, 线段 PQ 的中点为 M (x0, y0) , 且 y0<x0+2,则 的取值范围是( )

A.[﹣ ,0)

B.(﹣ ,0)

C.(﹣ ,+∞) D.(﹣∞,﹣ )∪(0,+∞)

【考点】直线的斜率. 【专题】作图题;对应思想;数形结合法;直线与圆. 【分析】由题意可得,线段 PQ 的中点为 M(x0,y0)到两直线的距离相等,利用 ,可得 x0+3y0+2=0.

又 y0<x0+2,设

=kOM,分类讨论:当点位于线段 AB(不包括端点)时,当点位于射线 BM

(不包括端点 B)时,即可得出. 【解答】 解: ∵点 P 在直线 x+3y﹣2=0 上, 点 Q 在直线 x+3y+6=0 上, 线段 PQ 的中点为 M (x0, y0), ∴ 又 y0<x0+2, 设 =kOM, ,化为 x0+3y0+2=0.

当点位于线段 AB(不包括端点)时,则 kOM>0,当点位于射线 BM(不包括端点 B)时,kOM <﹣ .



的取值范围是(﹣∞,﹣ )∪(0,+∞).

故选:D.

12

【点评】本题考查了平行线的性质、点到直线的距离公式、线性规划的知识、斜率的意义及 其应用,考查了数形结合的思想方法、计算能力,属于中档题.

12.已知函数 f(x)= A.(﹣∞,0] B.(﹣∞,1]

,若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( C.[﹣3,0] D.[﹣3,1]



【考点】函数与方程的综合运用. 【专题】计算题;规律型;数形结合;方程思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】 ①当 x>0 时, 根据 ln (x+1) >0 恒成立, 求得 a≤0. ②当 x≤0 时, 可得 x ﹣3x≥ax, 求得 a 的范围.再把这两个 a 的取值范围取交集,可得答案. 【解答】解:当 x>0 时,根据 ln(x+1)>0 恒成立,则此时 a≤0. 当 x≤0 时,根据﹣x +3x 的取值为(﹣∞,0],|f(x)|=x ﹣3x≥ax, x=0 时 左边=右边,a 取任意值. x<0 时,有 a≥x﹣3,即 a≥﹣3. 综上可得,a 的取值为[﹣3,0], 故选:C. 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
2 2 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知函数 f(x)= ,则 f[f(﹣4)]= 4 .

【考点】分段函数的应用;函数的值. 【专题】计算题;规律型;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】利用分段函数,逐步求解函数值即可.

13

【解答】解:函数 f(x)=



则 f[f(﹣4)]=f(24)= 故答案为:4.

=4.

【点评】本题考查函数值的求法,考查分段函数的应用,考查计算能力.

14.已知向量 =(1,

),向量 , 的夹角是



? =2,则| |等于 2 .

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】由向量的坐标可求的向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案. 【解答】解:∵| |= 又∵ 即: ∴ 故答案为:2 【点评】本题考察了向量的坐标以及向量数量积的定义,求出 的模是关键,属于基础题.

15.已知双曲线

的离心率为 2,那么该双曲线的渐近线方程为



【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;规律型;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用双曲线的离心率求出 a、b 关系,然后求解双曲线的渐近线方程. 【解答】解:双曲线 的离心率为 2,可得 ,即: ,

可得

, .

该双曲线的渐近线方程为: 故答案为: .

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.
14

16.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn+Sn﹣1=2n﹣1(n≥2),且 S2=3,则 a1+a3 的值为 ﹣1 . 【考点】数列递推式. 【专题】计算题;方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】利用 Sn+Sn﹣1=2n﹣1(n≥2),且 S2=3,n 分别取 2,3 即可得出. 【解答】解:∵Sn+Sn﹣1=2n﹣1(n≥2),且 S2=3, ∴取 n=2,则 3+a1=4﹣1,解得 a1=0. S3+S2=2×3﹣1=5, ∴a3+2×3=5,解得 a3=﹣1. 则 a1+a3=﹣1. 【点评】本题考查了递推关系、数列的通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数 4π . (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 满足(2a﹣c)cosB=bcosC,求函数 f (A)的取值范围. 【考点】两角和与差的正弦函数;三角函数中的恒等变换应用. 【专题】计算题. 【分析】(1)通过两角和公式把 f(x)化简成 f(x)=sin(2ω x+ ),通过已知的最小 的最小正周期为

正周期求出 ω ,得到 f(x)的解析式.再通过正弦函数的单调性求出答案. (2)根据正弦定理及(2a﹣c)cosB=bcosC,求出 cosB,进而求出 B.得到 A 的范围.把 A 代入 f(x)根据正弦函数的单调性,求出函数 f(A)的取值范围. 【解答】解:(1) ∵ ∴ , , ,

15

∴ ∴f(x)的单调递增区间为

, ;

(2)∵(2a﹣c)cosB=bcosC ∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC, 2sinAcosB=sin(B+C)=sinA, ∴ ∵ ∴ . ,∴ , ,∴

【点评】本题主要考查正弦函数的两角和公式的应用.常与三角函数中的周期性、单调性等 问题一块考查,故需熟练掌握三角函数中的各种性质.

18.如图,四棱锥 S﹣ABCD 中,SD⊥底面 ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,M, N 分别为 SA,SC 的中点,E 为棱 SB 上的一点,且 SE=2EB. (1)证明:MN∥平面 ABCD; (2)证明:DE⊥平面 SBC.

【考点】直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】(Ⅰ)连 AC,则 MN∥AC,由此能证明 MN∥平面 ABCD. (Ⅱ) 连结 BD, 推导出 DB⊥BC, SD⊥BC, 从而 BC⊥平面 SDB, BC⊥DE, 由题意得△EBD∽△DBS, 由此能证明 DE⊥平面 SBC. 【解答】(本小题满分 12 分) 证明:(Ⅰ)连 AC,∵M,N 分别为 SA,SC 的中点, ∴MN∥AC, 又∵MN?平面 ABCD,AC? 平面 ABCD,
16

∴MN∥平面 ABCD. (Ⅱ)连结 BD,∵BD2=12+12=2,BC2=12+(2﹣1)2=2, BD2+BC2=2+2=4=DC2,∴DB⊥BC, 又 SD⊥底面 ABCD,BC? 底面 ABCD,∴SD⊥BC, ∵SD∩DB=D,∴BC⊥平面 SDB, ∵DE? 平面 SDB,∴BC⊥DE, 又 SB= 当 SE=2ED 时,EB= = , = ,

在△EBD 与△DBS 中,

=

=



=

=





=



又∠EBD=∠DBS,∴△EBD∽△DBS, ∴∠DEB=∠SDB=90°,即 DE⊥SB. ∵SB∩BC=B, ∴DE⊥平面 SBC.

【点评】本题考查线面平行的证明,考查线面垂直的证明,是中档题,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养.

19.现有甲、乙、丙、丁 4 个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的活动,每人参加且只 能参加一个社团的活动,且参加每个社团是等可能的. (1)求文学社和街舞社都至少有 1 人参加的概率; (2)求甲、乙同在一个社团,且丙、丁不同在一个社团的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

17

【专题】计算题;整体思想;定义法;概率与统计. 【分析】一一列举出所有的基本事件,分别找出满足条件的基本事件,根据概率公式计算即 可. 【解答】解:甲、乙、丙、丁 4 个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的情况如下 文学社 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 甲乙丙丁 甲乙丙 甲乙丁 甲丙丁 乙丙丁 甲乙 甲丙 乙丙 甲丁 乙丁 丙丁 甲 乙 丙 丁 丁 丙 乙 甲 丙丁 乙丁 甲丁 乙丙 甲丙 甲乙 乙丙丁 甲丙丁 甲乙丁 甲乙丙 甲乙丙丁 街舞社

共有 16 种情形,即有 16 个基本事件, (1)文学社和街舞社没有人参加的基本事件有 2 个,概率为 = ;

(2)甲、乙同在一个社团,且丙、丁不同在一个社团的基本事件有 4 个, 概率为 =

【点评】本题考查古典概型计算,关键是在列举所有的事件时,做到不重不漏.

18

20.已知椭圆 C: 形,直线 x+y+2

=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角 ﹣1=0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,椭圆的长半轴为半径的圆相切.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 B,C,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点 B 与点 D 关于原点 O 对称,设直线 CD,CB,OB,OC 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4,且 k1k2=k3k4. (i)求 k1k2 的值; (ii)求 OB2+OC2 的值.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】综合题;方程思想;整体思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)设出椭圆右焦点坐标,由题意可知,椭圆右焦点 F2 到直线 x+y+2 ﹣1=0 的

距离为 a,再由椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形得到 a,b,c 的关 系,结合焦点 F2 到直线 x+y+2 ﹣1=0 的距离为 a 可解得 a,b,c 的值,则椭圆方程可求;

(2)(i)由题意设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 D(﹣x1,﹣y1),由两点求斜率公式可 得是 ,把纵坐标用横坐标替换可得答案;

(ii)由 k1k2=k3k4.得到 合点 B,C 在椭圆上得到

.两边平方后用 x 替换 y 可得 .则 OB +OC 的值可求.
2 2

.结

【解答】解:(1)设椭圆 C 的右焦点 F2(c,0),则 c2=a2﹣b2(c>0), 由题意,以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x﹣c)2+y2=a2, ∴圆心到直线 x+y+2 ﹣1=0 的距离 ①,

∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形, ∴ ,a=2c,代入①式得, ; ,

故所求椭圆方程为

(2)(i)设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 D(﹣x1,﹣y1),
19

于是

=



(ii)由(i)知, ∴ 即 ∴ .

,故 , ,





=

,故



∴OB2+OC2=



【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用,体现了整体运 算思想方法,考查化归与转化思想方法,是中档题.

21.已知函数 f(x)=lnx﹣ax ﹣a+2(a∈R,a 为常数) (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若存在 x0∈(0,1],使得对任意的 a∈(﹣2,0],不等式 mea+f(x0)>0(其中 e 为自然对数的底数)都成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明. 【专题】综合题;函数思想;综合法;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】(1)求出原函数的导函数,然后对 a 分类分析原函数的单调性; (2)由(1)可得,当 a∈(﹣2,0],f(x)在(0,1]上为增函数,求出 f(x)在(0, 1]上的最大值,把存在 x0∈(0,1],使得对任意的 a∈(﹣2,0],不等式 me +f(x0)>0 都成立,转化为对任意的 a∈(﹣2,0],不等式 mea+f(x0)>0 都成立,分离参数 m,再由 导数求得最值后得答案. 【解答】解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞), , 当 a≤0 时,f′(x)≥0,∴函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
a

2

20

当 a>0 时,由 f′(x)≥0,且 x>0 时,解得 ∴函数 f(x)在区间 上单调递增,在区间

, 上单调递减;

(2)由(1)知,当 a∈(﹣2,0]时,函数 f(x)在区间(0,1]上单调递增, ∴x∈(0,1]时,函数 f(x)的最大值是 f(1)=2﹣2a, 对任意的 a∈(﹣2,0],都存在 x0∈(0,1],不等式 mea+f(x0)>0 都成立, 等价于对任意的 a∈(﹣2,0],不等式 me +f(x0)>0 都成立, 即对任意的 a∈(﹣2,0],不等式 me +2﹣2a>0 都成立, 不等式 me +2﹣2a>0 可化为
a a a





(a∈(﹣2,0]),则 g′(a)=
2



∴g(a)>g(﹣2)=﹣6e , ∴实数 m 的取值范围是[﹣6e ,+∞). 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,训练了恒成立问题的解决方法,考查分离变 量法,解答此题的关键在于把恒成立问题转化为关于 a 的不等式,属难度较大题目.
2

[选修 4-1:几何证明选讲]共 1 小题,满分 10 分) 22.如图,圆 M 与圆 N 交于 A,B 两点,以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M 和圆 N 于 C,D 两点,延长延长 DB 交圆 M 于点 E,延长 CB 交圆 N 于点 F.已知 BC=5,DB=10. (1)求 AB 的长; (2)求 .

【考点】弦切角;与圆有关的比例线段. 【专题】立体几何. 【分析】(1)根据弦切角定理,推导出△ABC∽△DBA,由此能求出 AB 的长.
21

(2)根据切割线定理,推导出△ABC∽△DBA, 得 , ,由此能求出 .

【解答】解:(1)根据弦切角定理, 知∠BAC=∠BDA,∠ACB=∠DAB, ∴△ABC∽△DBA,则 故 (2)根据切割线定理, 知 CA2=CB?CF,DA2=DB?DE, 两式相除,得 由△ABC∽△DBA, 得 , , (*) , .…



,由(*)得

.…

【点评】本题考查线段长的求法,考查两线段的比值的求法,解题时要认真审题,注意弦切 角定理和切割线定理的合理运用.

[选修 4-4:坐标系与参数方程](共 1 小题,满分 0 分) 23.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =4cosθ .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴 的正半轴,建立平面直角坐标系,直 l 的参数方程是 (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且|AB|= ,求直线的倾斜角 α 的值.
22

(t 是参数)

【考点】参数方程化成普通方程. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】本题(1)可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式,求出曲线 C 的直角坐标方程; (2)先将直 l 的参数方程是 (t 是参数)化成普通方程,再求出弦心距,利

用勾股定理求出弦长, 也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解, 求出对应的参 数 t1,t2 的关系式,利用|AB|=|t1﹣t2|,得到 α 的三角方程,解方程得到 α 的值,要注意 角 α 范围. 【解答】解:(1)∵ρ cosθ =x,ρ sinθ =y,ρ =x +y , ∴曲线 C 的极坐标方程是 ρ =4cosθ 可化为: ρ =4ρ cosθ , ∴x2+y2=4x, ∴(x﹣2)2+y2=4. (2)将
2 2 2 2 2

代入圆的方程(x﹣2) +y =4 得:
2

2

2

(tcosα ﹣1) +(tsinα ) =4, 化简得 t2﹣2tcosα ﹣3=0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2, 则 ,

∴|AB|=|t1﹣t2|= ∵|AB|= ∴ ∴cos . , = .

=



∵α ∈[0,π ), ∴ 或 . 或 .

∴直线的倾斜角

【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,本题 难度适中,属于中档题.

23

[选修 4-5:不等式选讲](共 1 小题,满分 0 分) 24.设函数 f(x)= (Ⅰ)求实数 M 的值; (Ⅱ)求关于 x 的不等式|x﹣ |+|x+2 |≤M 的解集. 的最大值为 M.

【考点】函数的最值及其几何意义;绝对值不等式的解法. 【专题】计算题;规律型;转化思想;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】 (Ⅰ) 利用基本不等式以及重要不等式,转化求解函数的最值, 即可求实数 M 的值; (Ⅱ)通过绝对值不等式的几何意义,之间求关于 x 的不等式|x﹣ 集. 【解答】(本小题满分 10 分)选修 4﹣5:不等式选讲 解:(I)因为 a,b>0 时, 所以 当且仅当 ﹣﹣ (Ⅱ)由绝对值三角不等式可得 . 所以不等式 方程 的解. 时, 的解集为: . ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 的解 x 就是 时等号成立. 故函数 f(x)的最大值 , , ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ |+|x+2 |≤M 的解

由绝对值的几何意义得,当且仅当 所以不等式 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣

【点评】本题考查绝对值不等式的解法,绝对值不等式的几何意义,考查转化思想以及计算 能力.

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