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2016-2017学年高中数学第三章三角恒等变换3.1-3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4

第三章

三角恒等变换

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

[学习目标] 1.能由两角差的余弦公式推导出两角和 的余弦公式,两角和与差的正弦、正切公式,了解它们的 内在联系(难点). 2.掌握两角和与差的正弦、余弦、正 切公式,并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换(重 点).

[知识提炼· 梳理] 1.两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式
名称 两角和的余弦 cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β sin(α+β )=sin αcos β+cos αsin β 公式

两角和的正弦

两角差的正弦

sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β

2.两角和与差的正切公式
名称 两角和的 正切 两角差的 正切 公式 tan(α+β)= 使用条件 π α,β,α+β≠kπ+ 2

tan α+tanβ 1-tan αtanβ (k∈Z) _____________
tan(α-β)=

tan α-tanβ 1+tan αtanβ (k∈Z) _____________

π α,β,α-β≠kπ+ 2

温馨提示: 要灵活运用公式,不但会正用、逆用、 变形用,还要创造条件应用公式,这里关键是角的变换.

[思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)α, β∈R 时,sin(α- β )=sin αcos β+cos αsin β.( ) tan α+tan β (2)对任意 α, β∈R,tan(α+ β )= 都 1-tan αtan β 成立.( ) )

(3)sin 54°cos 24°-sin36°sin 24°=sin 30°.(

答案:(1)× (2)× (3)√

2.化简:sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于 ( ) 1 A. 2 1 B.- 2 3 C. 2 3 D.- 2

3 解析:原式=sin(21°-81°)=-sin 60°=- . 2 答案:D

3. cos 75 ° cos 15 °- sin 75 ° sin 15 °的值等于 ( ) 1 1 A. B.- C.0 D.1 2 2 解析:cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°=cos(75°+15°) =cos 90°=0. 答案:C

?π ? 3 4. 已知 α 是锐角,sin α= ,则 cos?4+α?等于( 5 ? ?

)

2 2 2 2 A.- B. C.- D. 10 10 5 5 3 4 解析:因为 α 是锐角,sin α= ,所以 cos α= , 5 5
?π ? 所以 cos?4+α?= ? ?

2 4 2 3 2 × - × = . 2 5 2 5 10

答案:B

5.tan 105°=________. 解析:因为 105°=60°+45°, 所以 tan 105°=tan(60°+45°)= 3+ 1 = =-2- 3. 1-tan 60°tan 45° 1- 3 答案:-2- 3 tan 60°+tan 45°

类型 1 给角求值 [典例 1] (1)(2015· 课标全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°- cos 160°sin 10°=( 3 A.- 2 ) 3 B. 2 1 C.- 2 1 D. 2

1+tan 75° (2) =________. 1-tan 75°

解析:(1)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 1 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°= . 2 (2)原式= tan 45°+tan 75° 1-tan 45°tan 75° =

tan (45°+75°)=tan 120°=- 3. 答案:(1)D (2)- 3

归纳升华 1.对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本 着先整体后局部的基本原则, 如果整体符合三角公式的形 式,则整体变形,否则进行各局部的变形.

2.一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形 π 式, 化为正负相消的项并消项求值, 并注意“1”与“tan ” 、 4 π 1 π “ 3”与“tan ” 、“ ”与“cos ”等特殊数与特殊角 3 2 3 的函数值之间的转化.

[变式训练] (1)sin 15°+sin 75°的值是________; (2)tan 20 °+ tan 40 °+ 3tan 20 ° tan 40 °= ________.
解析:(1)sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=
? ? 2? ? ? 2 2 ? sin 15°+ cos 15°?= 2 2 ?

2(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)= 3 6 2sin 60°= 2× = . 2 2

(2)原式=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)+ 3tan 20°tan 40°= 3. 6 答案:(1) (2) 3 2

类型 2 给值(式)求值
?π ? π 3π π [典例 2] 已知 <α< ,0< β< ,cos?4+α?=- 4 4 4 ? ? ?3 ? 5 3 ,sin?4π+ β?= ,求 sin(α+ β )的值. 5 ? ? 13

π π π 3 解:因为 <α< π,所以 < +α<π. 2 4 4 4 所以 sin
?π ? ? + α?= ?4 ?

1-cos

2

?π ? 4 ? + α?= . ?4 ? 5

π 3 3 又因为 0< β < , π< π+ β <π, 4 4 4
?3 所以 cos?4π+ ? ? β?=- ?

1-sin

2

?3 ? π+ ?4

? 12 ? β =- , 13 ?

所以 sin(α+ β )=-sin(π+α+ β )=
??π ? ?3π -sin??4+α?+? 4 + ?? ? ? ? ?π ? ?3 -?sin?4+α?cos?4π+ ? ? ? ? ?? β ?? = ?? ? ?π ? ?3π β?+cos? +α?sin? + ? ?4 ? ?4 ?? β??= ??

?4 ? 12? ? 3? 5 ? 63 ? ? ? ? ? - - × + × -? ?5 ? 13? ? 5? 13?=65. ? ?

归纳升华 在解决给值求值题目时, 一定要注意已知角与所求角 之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之 间的关系,利用角的代换化异角为同角. 当已知角有一个时, 可利用诱导公式把所求角转化为 已知角.

1 [变式训练] (2015· 重庆卷)若 tan α= ,tan(α+ β) 3 1 = ,则 tan β=( 2 )

1 1 5 5 A. B. C. D. 7 6 7 6 解 析 : tan β = tan[(α + β ) - α] =

= 1+tan(α+ β )· tan α

tan(α+ β )-tan α

1 1 - 2 3 1 = . 1 1 7 1+ × 2 3 答案:A

类型 3 给值求角(互动探究) 1 5 13 [典例 3] 已知 cos α= ,sin(α+ β)= ,0<α 7 14 π π < ,0< β < ,求角 β 的值. 2 2 π 1 4 3 解:因为 0<α< ,cos α= ,所以 sin α= . 2 7 7
π 又因为 0< β < ,所以 0<α+ β <π.因为 sin(α+ 2 5 3 β )= <sin α, 14

11 所以 cos(α+ β )=- , 14 所以 sin β=sin[(α+ β )-α] =sin(α+ β )cos α-cos (α+ β )sin α
? 5 3 1 ? 3 ? 11 4 3? = × -?- × ?= . 14 7 ? 14 7 ? 2

π π 又因为 0< β < ,所以 β = . 2 3

π [迁移探究] (变换条件)若把本例中的“0< β< ” 2 π 改为“ < β <π” ,求角 β 的值. 2 π 1 4 3 解:因为 0<α< ,cos α= ,所以 sin α= . 2 7 7 π π 3π 又因为 < β <π,所以 <α+ β < . 2 2 2 5 3 11 因为 sin(α+ β )= ,所以 cos (α+ β )=- , 14 14

所以 sin β=sin [(α+ β )-α]= sin(α+ β )cos α-cos(α+ β )sin α=
? 5 3 1 ? 3 ? 11 4 3? × - - × ?= . 14 7 ? 7 ? 2 ? 14

π 2π 又因为 < β <π,所以 β= . 2 3

归纳升华 1.解答此类问题的关键是找出已知角和所求角之间 的联系,解答此类问题最容易出错的地方是求角的范围. 2.此类问题的解题步骤:(1)讨论角的范围;(2)求出 指定范围内的三角函数值;(3)根据已知角与未知角的关 系拆分角,进一步利用公式求解.

类型 4 三角函数式 asin x+bcos x 的变换 [典例 4] (2015· 北京卷) 已知函数 f(x)=sin x-2 3 sin . 2 (1)求 f(x)的最小正周期;
? 2π ? (2)求 f(x)在区间?0, 3 ?上的最小值. ? ?
2x

解:(1)因为 f(x)=sin x+ 3cos x- 3,所以 f(x)的最小正周期为 2π.

? π? 3=2sin?x+3?- ? ?

2π π π (2)因为 0≤x≤ ,所以 ≤x+ ≤π. 3 3 3 π 2π 当 x+ =π,即 x= 时,f(x)取得最小值. 3 3
? ?2π? 2π ? 所以 f(x)在区间?0, 3 ?上的最小值为 f? 3 ?=- ? ? ? ?

3.

归纳升华 1.(1)逆用两角和的正弦公式可得:asin x+bcos x= a2+b2·sin(x+θ );(2)将含有 sin ωx,cos ωx 的一次式 子化简成 Asin(ωx+φ )的形式, 为进一步研究函数的性质 提供了方便.

2.与特殊角有关的几个结论: sin x±cos x= sin x±
? π? 2sin?x±4?; ? ?

? π? ? π? 3cos x=2sin?x±3?=2cos?x±6?. ? ? ? ?

[变式训练] 已知关于 x 的方程 sin x+cos x+k=0 在 x∈[0,π]上有解,则实数 k 的取值范围为__________. 解析:因为 sin x+cos x+k=0, 所以 sin x+cos x=-k,即 又因为 0≤ x ≤π,
? π? 2sin?x+4?=-k. ? ?

π π 5 所以 ≤ x+ ≤ π, 4 4 4 所以-1≤
? π? 2sin?x+4?≤ ? ?

2.

所以-1≤-k≤ 2,即- 2≤k≤1. 答案: k|- 2≤k≤1? ?
? ? ? ?

1.两角和差公式可以看成是诱导公式的推广,诱导 公式可以看成两角和差公式的特例,例如:
?3π ? sin? 2 -α?=sin ? ?

3π 3π ·cos α-cos sin α=-cos α. 2 2

2.使用和差公式时不仅要会正用,还要能够逆用公 式,如化简 sin β cos(α+ β ) -cos β sin(α+ β )时,

不要将 cos(α+ β )和 sin(α+ β )展开,而应采用整体思 想,作如下变形: sin βcos(α+ β )-cos βsin(α+ β )= sin[ β-(α+ β )]=sin(-α)=-sin α.

3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进 行三角变换,有效地沟通条件中的角与问题结论中的角 之间的联系,选用恰当的公式快捷求解.


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