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2.2平面与平面平行的判定和性质定理_图文

2.2.2平面与平面 平行的判定
b

?

P

a

?

复习回顾:
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线 与平面平行的方法呢? (1)定义法; (2)直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行,则该直线与此平面平行.
a

?

b

线线平行

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

线面平行

复习回顾:
2. 平面与平面有几种位置关系?分别是什么? (1)平行 (2)相交

α∥β

? ?? ? a

怎样判定平面与平面平行呢?

两个平面平行的画法
画两个互相平行的平面时,要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行,如图1, 而不应画成图2那样.

图1

图2

生活中有没有平面与平面平行的例子呢? 教室的天花板与地面给人平行的感觉, 前后两块黑板也是平行的。 (1)三角板或课本的一条边所在直线与 桌面平行,这个三角板或课本所在平 面与桌面平行吗? (2)三角板或课本的两条边所在直线分 别与桌面平行,情况又如何呢?

当三角板的两条边所在直线分别 与地面平行时,这个三角板所在 平面与地面平行。 (1)平面?内有一条直线与 平面?平行,?,?平行吗?
(2)平面?内有两条直线与平 面?平行,?,?平行吗?

(1)中的平面α,β不一定 平行。如图,借助长方体模 型,平面ABCD中直线AD平行 平面BCC'B',但平面ABCD与 平面BCC'B'不平行。

(2)分两种情况讨论: 如果平面β内的两条直线是平行直线,平面 α与平面β不一定平行。如图,AD∥PQ, AD∥平面BCC’B’,PQ∥BCC’B’,但平面ABCD 与平面BCC’B’不平行。

如果平面β内的两条直线 是相交的直线,两个平 面会不会一定平行?
P

Q

直线的条数不是关键

直线相交才是关键

1. 如果平面α 内有一条直线a平行于平面β 那么α 与β 平行吗?
α α α α a

a// β

β

模型1

模型2
? 如果一个平面内有两条相交直线分别平行 于另一个平面,那么这两个平面平行。 有两条怎么样的直线呢?

a// β b// β a// b
β

α
a b

a// β b// β

α

P

b a

β

c

两个平面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面,那么这两个平面平行
符号表示: a??,b??,a?b=P,a???,b???????? b P a 图形表示: ?

? 线不在多,重在相交

判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若平面 ?内的两条直线分别与平面 ? 平行,则? 与 ? 平行; × (2)若平面 ? 内有无数条直线分别与平面? 平行,则 ?与 ? 平行;× (3)平行于同一直线的两个平面平行; × (4)两个平面分别经过两条平行直线,这两个平面平 行; × (5)过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平 行的平面.×

复习:面面平行的判定定理 面面平行的判定定理 线面平行
a, b ? ? , a ? b ? p ? ? ? ? // ? a // ? , b // ? ?
?1〉 两两 ? 条件要点: β内有?2〉相交 ?3〉分别和α平行 ? 结论:β // ?

面面平行

线//线

线//面

面//面

探究新知

探究1. 如果两个平面平行, 那么一个平面内的直线与另 一个平面有什么位置关系?
a

?
?

答:如果两个平面平行,那么一个 平面内的直线与另一个平面平行.

如果两个平行平面同时和第三个 平面相交,交线具有什么位置关系?

D1

C1 B1

A1
D

C

A

B

一、平面与平面平行的性质定理:
两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行.
(面面平行 线线平行)

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? ? b?

?
?
?
a b

定理:

如果已知平面?,? ,? ,满足? / / ? , ? ? ? ? a,

? ? ? ? b,求证:a / / b
证明:

? ?? ? a
? ?? ? b

γ

?a ? ? ? ?b ? ?

? / /?
a, b没有公共点
a, b都在平面?内

a / /b

例1 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 讨论:解决这个问题的基本步骤是什么?
第一步:结合图形,将原题改写成数学符号语言;

已知:如图,α∥β,AB∥CD,A∈α,
C∈α,B∈β,D∈β, 求证:AB=CD 第二步:分析,作出辅助线;

?

A

C

β B

γ

D

第三步:书写证明过程.

证明:
AB / / DC ? 过AB,CD可作平面?

? ? ? ? AC ?? ? ? ? BD ? / /?

BD∥AC AB∥CD

?

A

C

ABCD为平行四边形 ? AB ? CD

β B

γ

D

夹在两个平行 平面间的所有 平行线段相等.

小结归纳: 1、两个平面平行具有如下的一些性质: ⑴如果两个平面平行,那么在一个平面内的所 有直线都与另一个平面平行

⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行.

⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交, 那么它也和另一个平面相交 ⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等

两个平面平行的判定的应用

例1:已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:平 面AB1D1//平面C1BD 证明:因为ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以 D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1 又AB∥A1B1,AB=A1B1, ∴D1C1∥AB,D1C1=AB, ∴D1C1BA是平行四边形, ∴D1A∥C1B, 又D1A ? 平面C1BD, CB ? 平面C1BD. 由直线与平面平行的判定,可知 D1A∥平面C1BD, 同理 D1B1∥平面C1BD,又 D1A∩D1B1=D1, 所以,平面AB1D1∥平面C1BD。

变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 若 M、N、E、F分别是棱A1B1,A1D1, B1C1,C1D1的中点,求证:平面AMN// 平面EFDB。
D1

F
M
B1

N
A1

C1

E

线面平行
线线平行

面面平行
D A B C

练习:在正方体AC?中,E、F、G、P、 Q、R分别是所在棱AB、BC、BB? A?D?、D?C?、DD?的中点, 求证:平面PQR∥平面EFG。
D? P A? B? Q

C?

R
G
D C F

A

E

B

第一步:在一个平面内找出两条相交直线; 第二步:证明两条相交直线分别平行于另一个平 面。 第三步:利用判定定理得出结论。

PD PE PF 1、如图:三棱锥P-ABC, D,E,F分别是棱 P ? ? PA PB PA,PB,PC中点,PC

求证:平面DEF∥平面ABC。

D A

F

E
B

C

2、如图,B为△ACD所在平面外一点,M, N,G分别为△ABC,△ABD, △BCD的重 心,求证:平面MNG∥平面ACD。 B
N· M· · G

A C

D

G

H

证明: 过A作直线AH//DF, G ? ? , H ? ? . 连结AD,GE,HF(如图). ? α // β // γ ,
∴ BG // CH , AD // GE // HF . AB AG AG DE ∴ = , = . BC GH GH EF AB DE ∴ = . BC EF
G

1. 已知 : 三个平行平面? , ? , ?与两条直线l, m 分别相并于点A, B, C 和点D, E , F . AB DE 求证 : = . BC EF

H

l

m

反思~领悟:
面面平行判定定理 : 线面平行
面面平行

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面, 那么这两个平面平行。

推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内
的两条直线,那么这两个平面平行

面面平行性质定理 : 面面平行

线线平行

如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的 交线平行。

面面平行

线面平行

? // ? } ? a // ? a ??

例1.在四棱锥P-ABCD中,ABCD是平行四边形,M、N 分别是AB、PC的中点.求证:MN∥平面PAD. 证明: 如图,取CD的中点E,连接NE、ME, ∵M、N分别是AB、PC的中点, ∴NE∥PD,ME∥AD ∴NE∥平面PAD,ME∥平面PAD 又NE∩ME=E, ∴平面MNE∥平面PAD, 又MN?平面MNE, ∴MN∥平面PAD.

例2. 如图,设平面α∥平面β,AB、CD是两异面直线, M、N分别是AB、CD的中点,且A、C∈α,B、 D∈β. 求证:MN∥α.

证明:连接BC,取BC的中
点E,分别连接ME、NE, 则ME∥AC, ∴ ME∥平面α, 又 NE∥BD, ∴ NE∥β, 又ME∩NE=E, ∴平面MEN∥平面α, ∵ MN平面MEN, ∴MN∥α.
? M

A C

E

N D

?

B

反思~领悟:
面面平行判定定理 : 线面平行
面面平行

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面, 那么这两个平面平行。

推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内
的两条直线,那么这两个平面平行

面面平行性质定理 : 面面平行

线面平行

如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行. 。

各种平行之间的转化关系
(1)平行公理 (2)三角形中位线 (3)平行线分线段成比例 (4)相似三角形对应边成比例 (5)平行四边形对边平行 线//线

线//面

面//面

小结
空间线面间平行关系转化示意图
判定

线线平行

判定 性质

线面平行

判定 性质

面面平行

性质

课堂小结

三种平行关系的转化

线 线
线面平行判定

线
面 平
线面平行性质 面面平行判定


面 平 行






面面平行定义

面面平行性质


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