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四川省成都市石室中学2013届高三一诊模拟试题数学理科试题

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四川省成都石室中学高 2013 级 “一诊模拟” 考试试题 理科数学(第一卷)
一、选择题:只有唯一正确答案,每小题 5 分,共 50 分 1、集合 P ? {1, 2}, Q ? {x | x ? 2} ,则集合 P ? Q 为 ( (A) {1, 2} 2、复数 (B) {1} ) (C) 1 (D) i (C) {2} (D) {0,1} )

i?2 的虚部是( 1 ? 2i (A) 0 (B) 5i

3、已知 sin ? ? cos ? ? ? (A)

7? 5 ) 的值为( ,则 cos(2? ? 2 3
(C) ?



4 9

(B)

2 9

2 9

(D) ?

4 9

4、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 ( ) (A)8 (B)18 (C)26 (D)80 5、 a 、 是两条不同的直线, 、? 是两个不同的平面, 设 b 则下列四个命题中正确的是( ? (A)若 a ⊥b, a ⊥ ? ,则 b∥ ? (C)若 a ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 a ∥ ? (B)若 a ∥ ? , ? ⊥ ? ,则 a ⊥ ? (D)若 a ⊥b, a ⊥ ? ,b⊥ ? ,则 ? ⊥ ? )

)

6、函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的部分图象如图所示,则此函数的解析式为( (A) f ( x ) ? 2 sin(

?
3

x? ) 3

?

(B) f ( x) ? 2sin(

?
?
6 6

x ? 1)
2

y

(C) f ( x ) ? 2sin( x ?

?

3

)

(D) f ( x ) ? 2 sin(

x? ) 6
O 1 4

?

x

-2

7、对一切实数 x,不等式 x ? a | x | ?1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(
2



(A) (??,?2)

(B) [?2,??)

(C) [?2,2]
第 1 页 共 1 页

(D) [0,??)

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8、已知 O 为平面上的定点, A 、 B 、 C 是平面上不共线的三点,若 (OB ? OC ? 2OA) ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ? (OB ? OC) ? 0 ,则?ABC 是(



(A)以 AB 为底边的等腰三角形 (B)以 BC 为底边的等腰三角形 (C)以 AB 为斜边的直角三角形 (D)以 BC 为斜边的直角三角形 9、反复抛掷一枚质地均匀的骰子,每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数,当记录有三个 不同点数时即停止抛掷,则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是( ) (A) 360 种 (B) 840 种 (C) 600 种 (D) 1680 种 10、 已知关于 x 的方程 ?2 x 2 ? bx ? c ? 0 , b、c??01234 , , 若 , , ? 记“该方程有实数根 x1、x2 , 且满足 ?1 ? x1 ? x2 ? 2 ” 为事件 A,则事件 A 发生的概率为( (A) ) (D)

5 16

(B)

12 25

(C)

14 25

16 25


二、填空题:每小题 5 分,共 25 分 11、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 3 ? 3? 2n ,则 an ?

12、 (1 ? 2 x)n 的展开式中 x 的系数等于 x 的系数的 4 倍,则 n 等于
3 2



13、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图, 如果主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为 2 的正 三角形,俯视图对应的四边形为正方形,那么这个几何 体的体积为 .

主视图

侧视图

14、设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (2,1) ,

a ? 2b ? (4, ,则 cos ? 等于 5)

. 俯视图

15 、 定 义 在 (? 1, 1) 的 函 数 f (x) 满 足 : 对 任 意 上

x? y ) 恒成立.有下列结论:① f (0) ? 0 ;②函数 f ( x) , x, y ? (? 1, 1) f ( x) ? f ( y ) ? f ( 1 ? xy
为 (?1,1) 上的奇函数;③函数 f ( x) 是定义域内的增函数;④若 an?1 ?

2 an ( n ? N? ) ,且 2 1 ? an

an ? (?1,0) ? (0,1) ,则数列 ? f (an )? 为等比数列.
其中你认为正确的所有结论的序号是 .

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石室中学高 2013 级“一诊模拟”考试(一)试题 理科数学(第二卷)
11、 12、 三、解答题:总分 75 分 13、 14、 15、

16、 (本题满分 12 分) 已知 ?ABC 的面积 S 满足 3 ? S ? 3 3, 且AB ? BC ? 6 ,AB与BC 的 夹角为 ? . (Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f (? ) ? sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? 3 cos2 ? 的最大值.

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? 17、 (本题满分 12 分) 三棱锥 P ? ABC 中,PA ? PB ? PC , ACB ? 90? ,AC ? CB ? 2 . (Ⅰ)求证:平面 PAB ? 平面 ABC ;
(Ⅱ)若 CB ? 2 AD ,且异面直线 PC 与 AD 的夹角为 60? 时,求二面角 P ? CD ? A 的余 弦值.
P

??? ?

????

B

A

C

第 3 页 共 3 页

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18、 (本题满分 12 分) 设函数 y ? f ?x ? 满足:对任意的实数 x ? R, 有 f ?sin x? ? ? cos2 x ? cos2 x ? 2 sin x ? 3. (Ⅰ)求 f ?x ? 的解析式; (Ⅱ)若方程 f ? x ? ? 2a x ?

1 有解,求实数 a 的取值范围. 2

19、 (本题满分 12 分)已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产一千件, 需要另投入 2.7 万元.设该公司年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完, 每千件的销售收

1 2 ? ?10.8 ? 30 x , 0 ? x ? 10 ? 入为 R ( x) 万元,且 R ( x) ? ? . ?108 ? 1000 , x ? 10 ? x 3x 2 ?
(I)写出年利润 W (万元)关于年产量 x (千件)的函数关系式; (Ⅱ)年生产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?

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20、 (本题满分 13 分)设数列 ?an ?为单调递增的等差数列 , a1 ? 1, 且 a3 , a6 , a12 依次成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式 an ; (Ⅱ)若 bn ?

?2 ? ? 3 ? 2
an 2

2an

an

?2

, 求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn ;

(Ⅲ)若 cn ?

n 2an ? 1 1 ,求证: ? ci ? n ? . an 2 ?1 3 i ?2

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21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0) . x

(Ⅰ)函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上是增函数还是减函数?证明你的结论; (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x ) ?

k 恒成立,求整数 k 的最大值; x ?1

(Ⅲ)试证明: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 3 ? 4) ??? (1 ? n(n ? 1)) ? e2n?3 .

石室中学高 2013 级一诊模拟试题 理科数学参考答案
一、选择题:1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、A 7、B 8、B 9、B 10、D 二、填空题:11、 ?3 ? 2n?1 ( n ? N * ) 12、8 13、 三、解答题: 16、解: (I)由题意知 AB ? BC ?| AB || BC | cos? ? 6. ????1 分

4 3 3

14、

4 5

15、①②④

? ? ? ? 1 ??? ??? 1 ??? ??? | AB || BC | sin(? ? ? ) ? | AB || BC | sin ? 2 2 ??? ??? ? ? 1 1 ? | AB || BC | cos ? tan ? ? ? 6 tan ? ? 3 tan ? .???? 4分 2 2 ? 3 ? S ? 3 3, 即3 ? 3 tan ? ? 3 3. S? ?1 ? tan ? ? 3. 又 ?? ? [0, ? ],?? ? [ , ]. ???? 6分 4 3
(II) f (? ) ? sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? 3 cos2 ? ? 1 ? sin 2? ? 2 cos2 ?

? ?

? 2 ? sin 2? ? cos 2? ? 2 ? 2 sin( 2? ?

?
4

).

????9 分

? ? ? 3? 11? ?? ? [ , ],? 2? ? ? [ , ]. 4 3 4 4 2 ? 3? ? ?当2? ? ? , 即? ? 时, f (? )最大, 最大值为3. ????12分 4 4 4
17、证明: (Ⅰ)作 PO ? 平面 ABC 于点 O ,∵ PA ? PB ? PC , ∴ OA ? OB ? OC ,即 O 为 ?ABC 的外心 又∵ ?ABC 中, ?ACB ? 90?
第 6 页 共 6 页
x A D P

z

B O C y

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故 O 为 AB 边的中点 所以 PO ? 平面 PAB 即证:平面 PAB ? 平面 ABC . (Ⅱ)∵ ?ABC 中, ?ACB ?

....6 分 ...

?
2

, AC ? CB ? 2 ,∴ OA ? OB ? OC ?

2

∵ CB ? 2 AD ,且异面直线 PC 与 AD 的夹角为 60? , PB ? PC ∴ ?PCB ? 60? ,∴ ?PCB 为正三角形,可解得 PO ?

??? ?

????

2.

以 O 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz ,则

A( 2,0,0) , B(? 2,0,0) , C(0, 2,0) , P(0,0, 2)
???? ??? ? 2 2 ,? , 0) . …………………….9 分 CB ? (? 2, ? 2,0) ? 2AD ,∴ D( 2 2
设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z)

?

??? ? ??? ? 2 ?3 2 , , 0) ?CP ? (0, ? 2, 2) , CD ? ( 2 2 ? ??? ? ?n ? CP ? ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 由 ? ? ??? , 取 n ? (3,1,1) ? 2 3 2 x? y?0 ?n ? CD ? ? 2 2 ??? ? 平面 ACD 的法向量为 OP ? (0,0, 2) ??? ? ? ??? ? ? OP ? n 1 11 ∴ cos ? OP, n ?? ??? ? ? . ? ? 11 11 OP ? n
由图可知,所求二面角 P ? CD ? A 为钝角,其的余弦值为 ?

11 . 11

……….12 分

18、解:⑴ f ?sin x? ? 2 sin 2 x ?1 ? 1 ? sin 2 x ? 2 sin x ? 3 ? sin 2 x ? 2 sin x ? 3 所以 f ?x? ? x ? 2x ? 3??1 ? x ? 1?.
2

???????5 分

⑵①当 x ?

1 ?1? 时, f ? ? ? 0. 不成立. 2 ?2?

②当 ? 1 ? x ?

1 1 1 1 3 时, x ? ? 0, 令 t ? ? x, 则 x ? ? t , 0 ? t ? . 2 2 2 2 2

第 7 页 共 7 页

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?1 ? ?1 ? ? ? t ? ? 2? ? t ? ? 3 7 2 ? ?2 ? 2a ? ? ? t ? ? 3, t 4t
因为函数 h?t ? ? t ?

2

7 8 4 ? 3? ?3? ? 3 在 ? 0, ? 上单增,所以 2a ? h? ? ? ? ? a ? ? . 4t 3 3 ? 2? ?2?

③当

1 1 1 1 1 ? x ? 1 时, x ? ? 0, 令 t ? x ? , 则 x ? ? t , 0 ? t ? . 2 2 2 2 2
2

?1 ? ?1 ? ? ? t ? ? 2? ? t ? ? 3 7 2 ? ?2 ? 2a ? ? ? t ? ? 3, t 4t
因为函数 h?t ? ? t ?

7 ? 1? ?1? ? 3 在 ? 0, ? 上单增,所以 2a ? h? ? ? 0 ? a ? 0. 4t ? 2? ?2?
????????12 分

综上,实数 a 的取值范围是 ?? ?,0?.

19、解: (I)当 0 ? x ? 10 时, W ? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 8.1x ? 当 x ? 10 时, W ? xR ( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 98 ?

x3 ? 10 ; 30

1000 ? 2.7 x . 3x

∴ 年利润 W (万元)关于年产量 x (千件)的函数关系式为

? x3 8.1x ? ? 10, 0 ? x ? 10, ? ? 30 W ?? ?98 ? 1000 ? 2.7 x, x ? 10. ? 3x ?
(Ⅱ)当 0 ? x ? 10 时,由 W ? ? 8.1 ?

x2 ?0?0? x?9, 10

即年利润 W 在 (0,9) 上单增,在 (9,10) 上单减 ∴ 当 x ? 9 时, W 取得最大值,且 Wmax ? 38.6 (万元) . 当 x ? 10 时, W ? 98 ? (

100 1000 ? 2.7 x) ? 98 ? 2 900 ? 38 ,仅当 x ? 时取“=” 9 3x

综上可知,当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大,最大 值为 38.6 万元.

20、解:⑴

a12 a6 a12 ? a6 6d ? ? ? ? 2. ? 1 ? 5d ? 2?1 ? 2d ? ? d ? 1.? an ? n. ??.3 分 a6 a3 a6 ? a3 3d
第 8 页 共 8 页

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⑵ bn ?

? ?

2n 2n?1 1 1 ? n ? n ? n?1 ? n . n n?1 n 2 n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ? 3? 2 ? 2 2 ? 1 2 ? 2 2n

?

??

? ?

??

?

则 Sn ? ?

1 ? ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? n?1 ? n ? ? ? n . ???7 分 0 ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? 2 2 ?1

⑶ cn ?

2n ? 1 2 ? 1? n , n 2 ?1 2 ?1



2 2n 2n 1 ? ? 1 ? n ? n ? 2? n?1 ? n ?. n n?1 n?1 2 ?1 2 ?1 2 2 ?1 2 ?1 ? 2 ?1 2 ?1 ?

?

?

?

??

?

所以

? c ? 3 ? 2?? 2 ??
i ?2 i

n

2

?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? 3 ? ? ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n?1 ? n ?? ? ?n ? 1? 2 ?1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ? ? 2 ? 1 2 ? 1 ??
????????.13 分

?

2 ?1 1 ? 1 ? 2? ? n ? ? n ? 1 ? n ? . 3 ? 3 2 ?1 ? 3

1 ? ln( x ? 1)] x ?1 21、解: (Ⅰ)由题 x ? 0, f ?( x) ? ? ? 0, ????2 分 x2 [
故 f ( x) 在区间 (0, ??) 上是减函数;????3 分

k x ?1 [1 ? ln( x ? 1)] 在 (0, ??) 上恒成立, 恒成立, k ? 即 x x ?1 x ?1 x ? 1 ? ln( x ? 1) [1 ? ln( x ? 1)] ,则 h( x) ? 取 h( x ) ? ,???????5 分 x x2 1 x ? ? 0, 再取 g ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1), 则 g ?( x) ? 1 ? x ?1 x ?1
(Ⅱ) x ? 0 时, f ( x ) ? 当 故 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 而 g (1) ? ? ln 2 ? 0, g (2) ? 1 ? ln 3 ? 0, g (3) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,???????7 分 故 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 上存在唯一实数根 a ? (2,3), a ? 1 ? ln(a ? 1) ? 0 , 故 x ? (0, a) 时, g ( x) ? 0; x ? (a, ??) 时, g ( x) ? 0, 故 h( x) min ?

a ?1 ?1 ? ln(a ? 1)? ? a ? 1? (3, 4), k ? 3, 故 kmax ? 3 ???????8 分 a 1 ? ln( x ? 1) 3 3x 3 3 ? ( x ? 0) ? ln( x ? 1) ? ?1 ? 2 ? ? 2? (Ⅲ) (Ⅱ) 由 知: x x ?1 x ?1 x ?1 x

令 x ? n(n ? 1), ln[1 ? n(n ? 1)] ? 2 ?

3 1 1 ? 2 ? 3( ? ) ,??????10 分 n(n ? 1) n n ?1
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又 ln[(1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 3 ? 4) ??? (1 ? n(n ? 1))]

? ln(1 ? 1? 2) ? ln(1 ? 2 ? 3) ? ? ? ln(1 ? n ? (n ? 1))

1 1 1 1 1 ? 2n ? 3[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ????????12 分 2 2 3 n n ?1 1 3 ? 2n ? 3(1 ? ) ? 2n ? 3 ? ? 2n ? 3 n ?1 n ?1
即: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 3 ? 4) ??? (1 ? n(n ? 1)) ? e2n?3 ??????14 分

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