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大城县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

大城县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 若关于的不等式 A.

姓名__________

分数__________

x?a ? 0 的解集为 ?3 ? x ? ?1 或 x ? 2 ,则的取值为( x ? 4x ? 3 1 1 B. C. ? 2 2
2

) D. ?2

2. 函数 f(x)=x2﹣2ax,x∈[1,+∞)是增函数,则实数 a 的取值范围是( A.R B.[1,+∞) C.(﹣∞,1] D.[2,+∞)

) )

3. 四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形, 则在下列结论中,下列说法错误的是(

A. AC ? BD C. AC PQMN 程可能是( A. ) B. =0.4x+1.5 C.

B. AC ? BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 =2.7,则由该观测数据算得的线性回归方 =﹣2x+8.6 )

4. 已知变量 x 与 y 负相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, =﹣0.2x+3.3 =2x﹣3.2 D.

5. 设有直线 m、n 和平面 α、β,下列四个命题中,正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 α⊥β,m?α,则 m⊥β A. 7 B. 8 D.若 α⊥β,m⊥β,m?α,则 m∥α ) D. 10 C. 9

B.若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β

6. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是(

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【命题意图】本题考查阅读程序框图,理解程序框图的功能,本质是循环语句循环终止的条件. 7. 已知圆 C 方程为 x ? y ? 2 ,过点 P(?1,1) 与圆 C 相切的直线方程为(
2 2

) D. x ? y ? 2 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0 是( A. ) B. C.

B. x ? y ? 1 ? 0

C. x ? y ? 1 ? 0

8. 连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记向量 =(m,n),向量 =(1,﹣2),则 ⊥ 的概率 D. )
|x﹣2|

9. 已知 α,β 为锐角△ABC 的两个内角,x∈R,f(x)=( 式 f(2x﹣1)﹣f(x+1)>0 的解集为( A.(﹣∞, )∪(2,+∞) B.( ,2) )

+(



|x﹣2| ,则关于

x 的不等

C.(﹣∞,﹣ )∪(2,+∞)

D.(﹣ ,2)

10.对于任意两个正整数 m,n,定义某种运算“※”如下:当 m,n 都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n;当 m, n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合 M={(a,b)|a※b=12,a∈N*,b∈ N*}中的元素个数是( ) A.10 个B.15 个 C.16 个 D.18 个

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11.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍, 其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面 周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 V≈ 那么,近似公式 V≈ A. A.6 B. B.9 C. C.36 L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3, )

L2h 相当于将圆锥体积公式中的 π 近似取为( D. ) D.72

12.等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a2a6=(

二、填空题
13.甲、乙两个箱子里各装有 2 个红球和 1 个白球,现从两个箱子中随机各取一个球,则至少有一 个红球的概率为 14.设曲线 y=x 的值为 15.椭圆 +
n+1


* (n∈N )在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,令 an=lgxn,则 a1+a2+…+a99

. =1 上的点到直线 l:x﹣2y﹣12=0 的最大距离为 .

16.设

,则

的最小值为

。 .

17.已知直线 l:ax﹣by﹣1=0(a>0,b>0)过点(1,﹣1),则 ab 的最大值是 18.已知过球面上 A, B, C

三点的截面和球心的距离是球半径的一半,且

AB ? BC ? CA ? 2 ,则

球表面积是_________.
三、解答题
19.某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员,在校内组织猜灯谜竞赛.规定:第一阶段知识测试成绩不小于 160 分的学生进入第二阶段比赛.现有 200 名学生参加知识测试,并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分 布直方图. (Ⅰ)估算这 200 名学生测试成绩的中位数,并求进入第二阶段比赛的学生人数; (Ⅱ)将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛.现甲、乙两队在比赛中均已获得 120 分,进入最后抢答阶 段.抢答规则:抢到的队每次需猜 3 条谜语,猜对 1 条得 20 分,猜错 1 条扣 20 分.根据经验,甲队猜对每条 谜语的概率均为 ,乙队猜对前两条的概率均为 ,猜对第 3 条的概率为 .若这两队抢到答题的机会均等, 您做为场外观众想支持这两队中的优胜队,会把支持票投给哪队?

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20.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C:x2+y2=4,A( PA 为直径的圆与圆 C 相切.

,0),A1(﹣

,0),点 P 为平面内一动点,以

(Ⅰ)求证:|PA1|+|PA|为定值,并求出点 P 的轨迹方程 C1; (Ⅱ)若直线 PA 与曲线 C1 的另一交点为 Q,求△POQ 面积的最大值.

21.某班 50 名学生在一次数学测试中,成绩全部介于 50 与 100 之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一 组[50,60),第二组[60,70),…,第五组[90,100].如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (Ⅰ)若成绩大于或等于 60 且小于 80,认为合格,求该班在这次数学测试中成绩合格的人数; (Ⅱ)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为 m、n, 求事件“|m﹣n|>10”概率.

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22.在锐角三角形 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 2csinA= (1)求角 C 的大小; (2)若 c=2,a2+b2=6,求△ABC 的面积.

a.

23.为了了解湖南各景点在大众中的熟知度,随机对 15~65 岁的人群抽样了 n 人,回答问题“湖南省有哪几个 著名的旅游景点?”统计结果如下图表. 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 回答正确的 回答正确的人数 占本组的频率 0.5 x 0.9 0.36 y 人数 [15,25) a [25,35) 18 [35,45) b [45,55) 9 3 [55,65]

(Ⅰ)分别求出 a,b,x,y 的值; (Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,求第 2,3,4 组每组各抽取多少人? (Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的 6 人中随机抽取 2 人,求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率.

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24.如图,平面 ABB1A1 为圆柱 OO1 的轴截面,点 C 为底面圆周上异于 A,B 的任意一点. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 A1AC; (Ⅱ)若 D 为 AC 的中点,求证:A1D∥平面 O1BC.

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大城县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】 试题分析:由题意得,根据不等式与方程的关系可知,不等式解集的端点就是对应的方程的根,可得方程

x?a ? 0 ,解得 x ? ?3, x ? ?1, x ? ?a ,其对应的根分别为 x ? ?3, x ? ?1, x ? 2 ,所以 a ? ?2 ,故选 x ? 4x ? 3
2

D. 考点:不等式与方程的关系. 2. 【答案】C 【解析】解:由于 f(x)=x ﹣2ax 的对称轴是直线 x=a,图象开口向上, 故函数在区间(﹣∞,a]为减函数,在区间[a,+∞)上为增函数,
2 又由函数 f(x)=x ﹣2ax,x∈[1,+∞)是增函数,则 a≤1. 2

故答案为:C 3. 【答案】B 【解析】 试题分析:因为截面 PQMN 是正方形,所以 PQ // MN , QM // PN ,则 PQ // 平面 ACD, QM // 平面 BDA , 所以 PQ // AC, QM // BD, 由 PQ ? QM 可得 AC ? BD ,所以 A 正确;由于 PQ // AC 可得 AC // 截面

PQMN , 所以 C 正确; 因为 PN ? PQ , 所以 AC ? BD , 由 BD // PN , 所以 ?MPN 是异面直线 PM 与 BD PN AN MN DN 0 ? , ? 所成的角,且为 45 ,所以 D 正确;由上面可知 BD // PN , PQ // AC ,所以 ,而 BD AD AC AD AN ? DN, PN ? MN,所以 BD ? AC ,所以 B 是错误的,故选 B. 1
考点:空间直线与平面的位置关系的判定与证明. 【方法点晴】 本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明, 其中解答中涉及到直线与平面平行 的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和 解答问题的能力,属于中档试题,此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答 的关键. 4. 【答案】A 【解析】解:变量 x 与 y 负相关,排除选项 B,C; 回归直线方程经过样本中心, 把 =3, 故选:A. =2.7,代入 A 成立,代入 D 不成立.

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5. 【答案】D 【解析】解:A 不对,由面面平行的判定定理知,m 与 n 可能相交,也可能是异面直线;B 不对,由面面平行 的判定定理知少相交条件; C 不对,由面面垂直的性质定理知,m 必须垂直交线; 故选:D. 6. 【答案】A 【解析】运行该程序,注意到循环终止的条件,有 n ? 10,i ? 1;n ? 5,i ? 2;n ? 16,i ? 3;n ? 8,i ? 4;n ? 4, i ? 5;n ? 2,i ? 6;n ? 1,i ? 7,到此循环终止,故选 A. 7. 【答案】A 【解析】 试题分析:圆心 C(0,0), r ? 2 ,设切线斜率为,则切线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1),? kx ? y ? k ? 1 ? 0 ,由

d ? r,?

k ?1 k 2 ?1

? 2 ,?k ?1,所以切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,故选 A.

考点:直线与圆的位置关系. 8. 【答案】A 【解析】解:因为抛掷一枚骰子有 6 种结果,设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为(m,n),有 36 种可能, 而使 ⊥ 的 m,n 满足 m=2n,这样的点数有(2,1),(4,2),(6,3)共有 3 种可能; 由古典概型公式可得 ⊥ 的概率是: 故选:A. 【点评】本题考查古典概型,考查用列举法得到满足条件的事件数,是一个基础题. 9. 【答案】B 【解析】解:∵α,β 为锐角△ABC 的两个内角,可得 α+β>90°,cosβ=sin(90°﹣β)<sinα,同理 cosα<sinβ, ∴f(x)=( )
|x﹣2|



+(



|x﹣2| ,在(2,+∞)上单调递减,在(﹣∞,2)单调递增,

由关于 x 的不等式 f(2x﹣1)﹣f(x+1)>0 得到关于 x 的不等式 f(2x﹣1)>f(x+1),
2 ∴|2x﹣1﹣2|<|x+1﹣2|即|2x﹣3|<|x﹣1|,化简为 3x ﹣1x+8<0,解得 x∈( ,2);

故选:B. 10.【答案】B 【解析】解:a※b=12,a、b∈N , 若 a 和 b 一奇一偶,则 ab=12,满足此条件的有 1×12=3×4,故点(a,b)有 4 个;
*

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若 a 和 b 同奇偶,则 a+b=12,满足此条件的有 1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6 共 6 组,故点(a,b)有 2×6 ﹣1=11 个, 所以满足条件的个数为 4+11=15 个. 故选 B 11.【答案】B 【解析】解:设圆锥底面圆的半径为 r,高为 h,则 L=2πr, ∴ ∴π= . =
2 (2πr) h,

故选:B. 12.【答案】D 【解析】解:设等比数列{an}的公比为 q,
2 4 2 ∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴3(1+q +q )=21,解得 q =2. 6 则 a2a6=9×q =72.

故选:D.

二、填空题
13.【答案】 【

8 9
解 析 】

【易错点睛】古典概型的两种破题方法:(1)树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较 复杂问题中基本事件数的探求.另外在确定基本事件时, ( x, y ) 可以看成是有序的,如 ?1, 2 ? 与 ? 2,1? 不同;有 时也可以看成是无序的,如 (1,2)(2,1) 相同.(2)含有“至多”、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比 较困难或者比较繁琐时,考虑其反面,即对立事件,应用 P( A) ? 1 ? P( A) 求解较好. 14.【答案】 ﹣2 .

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【解析】解:∵曲线 y=x ∴曲线 y=x
n+1

n+1

* (n∈N ),

n ∴y′=(n+1)x ,∴f′(1)=n+1, * (n∈N )在(1,1)处的切线方程为 y﹣1=(n+1)(x﹣1),

该切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn= ∵an=lgxn, ∴an=lgn﹣lg(n+1), ∴a1+a2+…+a99



=(lg1﹣lg2)+(lg2﹣lg3)+(lg3﹣lg4)+(lg4﹣lg5)+(lg5﹣lg6)+…+(lg99﹣lg100) =lg1﹣lg100=﹣2. 故答案为:﹣2. 15.【答案】 4 .

【解析】解:由题意,设 P(4cosθ,2 则 P 到直线的距离为 d= 当 sin(θ﹣ 故答案为:4 16.【答案】9 【解析】由柯西不等式可知 17.【答案】 .

sinθ) = , ,

)=1 时,d 取得最大值为 4 .

【解析】解:∵直线 l:ax﹣by﹣1=0(a>0,b>0)过点(1,﹣1), ∴a+b﹣1=0,即 a+b=1, ∴ab≤ =

当且仅当 a=b= 时取等号, 故 ab 的最大值是 故答案为:

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【点评】本题考查基本不等式求最值,属基础题. 18.【答案】 【解析】111]

64? 9

考点:球的体积和表面积. 【方法点晴】 本题主要考查了球的表面积和体积的问题, 其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截 面,球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于中档 试题,本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质,求出球的半径是解答的关键.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)设测试成绩的中位数为 x,由频率分布直方图得, (0.0015+0.019)×20+(x﹣140)×0.025=0.5, 解得:x=143.6. ∴测试成绩中位数为 143.6. 进入第二阶段的学生人数为 200×(0.003+0.0015)×20=18 人. (Ⅱ)设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为 ξ、η, 则 ξ~B(3, ), ∴E(ξ)= . ]×20=30,

∴最后抢答阶段甲队得分的期望为[ ∵P(η=0)= P(η=1)= P(η=2)= P(η=3)= , , , ,

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∴Eη= ∴最后抢答阶段乙队得分的期望为[ ∴120+30>120+24, ∴支持票投给甲队.

. ]×20=24.

【点评】本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识,考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及 应用意识,考查或然与必然的思想,属中档题. 20.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:设点 P(x,y),记线段 PA 的中点为 M,则 两圆的圆心距 d=|OM|= |PA1|=R﹣ |PA|, 所以,|PA1|+|PA|=4>2 , 故点 P 的轨迹是以 A,A1 为焦点,以 4 为长轴的椭圆, 所以,点 P 的轨迹方程 C1 为: =1. … ,…

(Ⅱ)解:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),直线 PQ 的方程为:x=my+ 代入 则 y1+y2=﹣ =1 消去 x,整理得:(m2+4)y2+2 ,y1y2=﹣ ,… … my﹣1=0,

△POQ 面积 S= |OA||y1﹣y2|=2 令 t= (0 ,则 S=2

≤1(当且仅当 t= 时取等号)

所以,△POQ 面积的最大值 1. … 21.【答案】 【解析】解:(I)由直方图知,成绩在[60,80)内的人数为:50×10×(0.18+0.040)=29. 所以该班在这次数学测试中成绩合格的有 29 人. (II)由直方图知,成绩在[50,60)内的人数为:50×10×0.004=2, 设成绩为 x、y 成绩在[90,100]的人数为 50×10×0.006=3,设成绩为 a、b、c, 若 m,n∈[50,60)时,只有 xy 一种情况, 若 m,n∈[90,100]时,有 ab,bc,ac 三种情况,

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若 m,n 分别在[50,60)和[90,100]内时,有 a b c x xa xb xc y ya yb yc 共有 6 种情况,所以基本事件总数为 10 种, 事件“|m﹣n|>10”所包含的基本事件个数有 6 种 ∴ . ,所以有: ×组距=

【点评】在频率分布直方图中,每一个小矩形都是等宽的,即等于组距,高是 频率;即可把所求范围内的频率求出,进而求该范围的人数. 22.【答案】 【解析】(本小题满分 10 分) 解:(1)∵ ∴ 在锐角△ABC 中, 故 sinA≠0, ∴ (2)∵ ∴ ∴ , .…5 分 ,…6 分 ,即 ab=2,…8 分 .…10 分 , ,…2 分 ,…3 分

【点评】 本题主要考查了正弦定理, 特殊角的三角函数值, 余弦定理, 三角形的面积公式在解三角形中的应用, 考查了转化思想,属于基础题. 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由频率表中第 4 组数据可知,第 4 组总人数为 再结合频率分布直方图可知 n= , ,

∴a=100×0.01×10×0.5=5,b=100×0.03×10×0.9=27, ; (Ⅱ)因为第 2,3,4 组回答正确的人数共有 54 人,

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∴利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为:第 2 组: 第 4 组: 人

人;第 3 组:

人;

(Ⅲ)设第 2 组 2 人为:A1,A2;第 3 组 3 人为:B1,B2,B3;第 4 组 1 人为:C1. 则从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果为:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1, C1), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3), (B2,C1),(B3,C1)共 15 个基本事件, 其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件, ∴所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率是: 直方图. 24.【答案】 【解析】证明:(Ⅰ)因为 AB 为圆 O 的直径,点 C 为圆 O 上的任意一点 … ∴BC⊥AC 又圆柱 OO1 中,AA1⊥底面圆 O, ∴AA1⊥BC,即 BC⊥AA1 而 AA1∩AC=A ∴BC⊥平面 A1AC ∵D 为 AC 的中点 ∴△ABC 中,DE∥AB,且 DE= AB 又圆柱 OO1 中,A1O1∥AB,且 ∴DE∥A1O1,DE=A1O1 ∴A1DEO1 为平行四边形 … ∴A1D∥EO1 ∴A1D∥平面 O1BC … … … (Ⅱ)取 BC 中点 E,连结 DE、O1E, … .

【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图,考查了古典概型的概率计算,解题的关键是读懂频率分布

而 A1D?平面 O1BC,EO1?平面 O1BC …

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【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系;考查学生的空间想象能力及推理论 证能力.

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