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温江区第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

温江区第一中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则 b=( A.10 B.9 C.8
2

座号_____

姓名__________

分数__________


D.5

2. 已知曲线 C : y ? 4x 的焦点为 F , 过点 F 的直线与曲线 C 交于 P, Q 两点, 且 FP ? 2FQ ? 0 , 则 ?O P Q 的面积等于( A. 2 2 ) C.

??? ?

??? ?

?

B. 3 2

3 2 2

D.

3 2 4


2) ,若 ka ? b 与 a 垂直,则实数 k 值为( 2) , b ? (?3 , 3. 已知平面向量 a ? (1 , 11 1 A. ? B. C. 11 D. 19 9 5

【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识,意在考查基本运算能力. 4. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 A、 28 ? 6 5 C、 56 ? 12 5 B、 30 ? 6 5 D、 60 ? 12 5 )

5. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是( A. 2 B.4 C.

4 3

D.

8 3

【命题意图】 本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量, 重点考查空间想象能力及对基本体积公式的 运用,难度中等. 6. 已知双曲线 A.( ,+∞) B.(1,
2 2 的渐近线与圆 x +(y﹣2) =1 相交,则该双曲线的离心率的取值范围是(





C.(2.+∞)

D.(1,2)

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7. 下列函数中,既是奇函数又是减函数的为( A.y=x+1 B.y=﹣x2 C. D.y=﹣x|x|



8. 已知 {an } 是等比数列, a2 ? 2,a5 ? A. ?

1 ,则公比 q ? ( 4

) C.2 D.

1 2

B.-2

1 2

9. 如图,一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置 C 对隧道底 AB 的张角 θ 最大时采集效果最好,则采集效果最好时位置 C 到 AB 的距离是( )

A.2

m B.2

m C.4 m D.6 m

10.已知函数 f ( x) ? ?

?log2 x( x ? 0) ,函数 g ( x) 满足以下三点条件:①定义域为 R ;②对任意 x ? R ,有 ( x ? 0) ?| x |

1 g ( x) ? g ( x ? 2) ;③当 x ?[?1,1] 时, g ( x) ? 1 ? x 2 .则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?4,4] 上零 2
点的个数为( A.7 B.6 ) C.5 D.4

【命题意图】本题考查利用函数图象来解决零点问题,突出了对分段函数的转化及数形结合思想的考查,本题 综合性强,难度大. 11.抛物线 y2=8x 的焦点到双曲线 A.1 B. 的渐近线的距离为( C. ) D. )

12.已知集合 A,B,C 中,A? B,A? C,若 B={0,1,2,3},C={0,2,4},则 A 的子集最多有( A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个

二、填空题
13.已知点 E、F 分别在正方体

的棱 .

上,且

,

,则

面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于

14. AA1=2cm, 长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 AB=AD=4cm, 则点 A1 到平面 AB1D1 的距离等于 15.下列四个命题:

cm.

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①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点 ②经过空间任意三点有且只有一个平面 ③过两平行直线有且只有一个平面 ④在空间两两相交的三条直线必共面 其中正确命题的序号是 .

x ? 1? x ? 0 ? 16.【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】已知函数 f(x)= { e x ,若函数 y=f(f(x) 2 x ? 2 x ? 1( x ? 0)
﹣a)﹣1 有三个零点,则 a 的取值范围是_____. 17.已知函数 f(x)=sinx﹣cosx,则 = .

18.如图,是一回形图,其回形通道的宽和 OB1 的长均为 1,回形线与射线 OA 交于 A1,A2,A3,…,若从点 O 到点 A3 的回形线为第 1 圈(长为 7),从点 A3 到点 A2 的回形线为第 2 圈,从点 A2 到点 A3 的回形线为第 3 圈…依此类推,第 8 圈的长为 .

三、解答题
19.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,该椭圆的离心率为 相切. ,以原点为圆心,

椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 y=x+ (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)如图,若斜率为 k(k≠0)的直线 l 与 x 轴,椭圆 C 顺次交于 P,Q,R(P 点在椭圆左顶点的左侧)且 ∠RF1F2=∠PF1Q,求证:直线 l 过定点,并求出斜率 k 的取值范围.

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20.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A 1 A ? AB, CB ? A 1 ABB 1. (1)求证: AB1 ? 平面 A 1BC ; (2)若 AC ? 5, BC ? 3, ?A1AB ? 60? ,求三棱锥 C ? AA 1B 的体积.

21.已知曲线 C 的参数方程为

(y 为参数),过点 A(2,1)作平行于 θ=

的直线 l 与曲线 C 分别

交于 B,C 两点(极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、x 轴的正半轴重合). (Ⅰ)写出曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求 B、C 两点间的距离.

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22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 1111] 如图,点 C 为圆 O 上一点, CP 为圆的切线, CE 为圆的直径, CP ? 3 .

16 ,求 CE 的长; 5 (2)若连接 OP 并延长交圆 O 于 A, B 两点, CD ? OP 于 D ,求 CD 的长.
(1)若 PE 交圆 O 于点 F , EF ?

23.某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< 列表并填入的部分数据如表: x x1 ωx+φ Asin(ωx+φ)+B 0 0 x2 π 0 ﹣ x3 2π 0

)在某一个周期内的图象时,

(Ⅰ)请求出表中的 x1,x2,x3 的值,并写出函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)将 f(x)的图象向右平移 个单位得到函数 g(x)的图象,若函数 g(x)在区间[0,m](3<m<4)上 的图象的最高点和最低点分别为 M,N,求向量 与 夹角 θ 的大小.

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24.为了培养学生的安全意识,某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动,共有 800 名学生参加了这次竞 赛.为了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计, 得到如下的频率分布表,请你根据频率分布表解答下列问题: (1)求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值; (2)为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识,成绩不低于 85 分的学生能获奖,请估计在参加的 800 名学生 中大约有多少名学生获奖? (3)在上述统计数据的分析中,有一项指标计算的程序框图如图所示,则该程序的功能是什么?求输出的 S 的值. 序号 (i) 1 2 3 4 合计 分组 (分数) 组中值 频数 (人数) ① 20 ③ ④ 50 频率 (Fi) 0.10 ② 0.20 ⑤ 1 (Gi) [60,70) 65 [70,80) 75 [80,90) 85 [90,100) 95

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温江区第一中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D
2 2 2 2 【解析】解:∵23cos A+cos2A=23cos A+2cos A﹣1=0,即 cos A=

,A 为锐角,

∴cosA= , 又 a=7,c=6,
2 2 2 2 根据余弦定理得:a =b +c ﹣2bc?cosA,即 49=b +36﹣

b,

解得:b=5 或 b=﹣ 则 b=5. 故选 D 2. 【答案】C 【解析】

(舍去),

∴ ( x1 ?1, y1 ) ? 2( x2 ?1, y2 ) ? (0,0) , ∴ y1 ? 2 y2 ? 0 ③, 联立①②③可得 m ?
2

1 , 8

∴ y1 ? y2 ? ∴S ?

( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 3 2 .

1 3 2 OF y1 ? y2 ? . 2 2 ? ? y1 y2 ? ?4 ? y1 ? 2 2 ? ? y1 ? ?2 2 (由 ? ,得 ? 或? ) y ? ? 2 y ? 2 ? y1 ? 2 y2 ? 0 ? ? ? 2 ? 2
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考点:抛物线的性质. 3. 【答案】A

4. 【答案】B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥, 所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。 利用垂直关系和三角形面积公式,可得:

S底 ? 10, S后 ? 10, S右 ? 10, S左 ? 6 5 ,
因此该几何体表面积 S ? 30 ? 6 5 ,故选 B. 5. 【答案】B

6. 【答案】C
2 2 【解析】解:∵双曲线渐近线为 bx±ay=0,与圆 x +(y﹣2) =1 相交

∴圆心到渐近线的距离小于半径,即
2 2 ∴3a <b , 2 2 2 2 ∴c =a +b >4a ,

<1

∴e= >2 故选:C.

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【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式等.考查了学生数形 结合的思想的运用. 7. 【答案】D 【解析】解:y=x+1 不是奇函数; y=﹣x2 不是奇函数; 是奇函数,但不是减函数; y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数, 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性,难度不大,属于基础题. 8. 【答案】D 【解析】 试题分析:∵在等比数列 {a n } 中, a 2 ? 2, a 5 ? 考点:等比数列的性质. 9. 【答案】A
2 【解析】解:建立如图所示的坐标系,设抛物线方程为 x =﹣2py(p>0),

a 1 1 1 3 ,? q ? 5 ? ,? q ? . 4 a2 8 2

将点(4,﹣4)代入,可得 p=2,
2 所以抛物线方程为 x =﹣4y,

设 C(x,y)(y>﹣6),则 由 A(﹣4,﹣6),B(4,﹣6),可得 kCA= ,kCB= ,

∴tan∠BCA=

=

=



令 t=y+6(t>0),则 tan∠BCA= ∴t=2

=



时,位置 C 对隧道底 AB 的张角最大,

故选:A.

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【点评】本题考查抛物线的方程与应用,考查基本不等式,确定抛物线的方程及 tan∠BCA,正确运用基本不 等式是关键. 10.【答案】D

第 Ⅱ卷(共 100 分)[.Com] 11.【答案】A
2 【解析】解:因为抛物线 y =8x,由焦点公式求得:抛物线焦点为(2,0)

又双曲线

.渐近线为 y= =1.

有点到直线距离公式可得:d= 故选 A.

【点评】此题主要考查抛物线焦点的求法和双曲线渐近线的求法.其中应用到点到直线的距离公式,包含知识 点多,属于综合性试题.

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12.【答案】B 【解析】解:因为 B={0,1,2,3},C={0,2,4},且 A?B,A?C; ∴A?B∩C={0,2} ∴集合 A 可能为{0,2},即最多有 2 个元素, 故最多有 4 个子集. 故选:B.

二、填空题
13.【答案】 【解析】延长 EF 交 BC 的延长线于 P,则 AP 为面 AEF 与面 ABC 的交线,因为 面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角。 ,所以 为

14.【答案】 【解析】解:由题意可得三棱锥 B1﹣AA1D1 的体积是 三角形 AB1D1 的面积为 4 则 h= 故点 A1 到平面 AB1D1 的距离为 故答案为: . . ,设点 A1 到平面 AB1D1 的距离等于 h,则 , ,

=

15.【答案】 ③ . 【解析】解:①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上,故错误; ②经过空间不共线三点有且只有一个平面,故错误; ③过两平行直线有且只有一个平面,正确; ④在空间两两相交交点不重合的三条直线必共面,三线共点时,三线可能不共面,故错误, 故正确命题的序号是③, 故答案为:③

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16.【答案】 [1 ? , 3) ? ?3 ? ? 【解析】当 x<0 时,由 f(x)﹣1=0 得 x2+2x+1=1,得 x=﹣2 或 x=0,

1 e

? ?

1? e?

当 x≥0 时,由 f(x)﹣1=0 得

x ? 1 ? 1 ? 0 ,得 x=0, ex

由,y=f(f(x)﹣a)﹣1=0 得 f(x)﹣a=0 或 f(x)﹣a=﹣2, 即 f(x)=a,f(x)=a﹣2, 作出函数 f(x)的图象如图:

x ? 1 ≥1(x≥0), ex 1? x y′= x ,当 x∈(0,1)时,y′>0,函数是增函数,x∈(1,+∞)时,y′<0,函数是减函数, e 1 x=1 时,函数取得最大值: 1 ? , e 1 1 当 1<a﹣2 ? 1 ? 时,即 a∈(3,3+ )时,y=f(f(x)﹣a)﹣1 有 4 个零点, e e 1 1 当 a﹣2=1+ 时,即 a=3+ 时则 y=f(f(x)﹣a)﹣1 有三个零点, e e 1 当 a>3+ 时,y=f(f(x)﹣a)﹣1 有 1 个零点 e 1 当 a=1+ 时,则 y=f(f(x)﹣a)﹣1 有三个零点, e 1 a ? 1? 1 当{ e 时,即 a∈(1+ ,3)时,y=f(f(x)﹣a)﹣1 有三个零点. e a ? 2 ?1
y= 综上 a∈ [1 ? , 3) ? ?3 ? ? ,函数有 3 个零点.

1 e

? ?

1? e?

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故答案为: [1 ? , 3) ? ?3 ? ? . 点睛:已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函 数的图象,然后数形结合求解. 17.【答案】 . sin(x﹣ , ),

1 e

? ?

1? e?

【解析】解:∵函数 f(x)=sinx﹣cosx= 则 = sin(﹣ . )=﹣

=﹣

故答案为:﹣

【点评】本题主要考查两角差的正弦公式,属于基础题. 18.【答案】 63 .

【解析】解:∵第一圈长为:1+1+2+2+1=7 第二圈长为:2+3+4+4+2=15 第三圈长为:3+5+6+6+3=23 … 第 n 圈长为:n+(2n﹣1)+2n+2n+n=8n﹣1 故 n=8 时,第 8 圈的长为 63, 故答案为:63. 【点评】本题主要考查了归纳推理,解答的一般步骤是:先通过观察第 1,2,3,…圈的长的情况发现某些相 同性质,再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论,最后将一般性结论再用于特殊情形.

三、解答题
19.【答案】 【解析】(Ⅰ)解:椭圆的左,右焦点分别为 F1(﹣c,0),F2(c,0), 椭圆的离心率为 ,即有 = ,即 a= c,b= =c,

2 2 2 以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆方程为 x +y =b ,

直线 y=x+

与圆相切,则有

=1=b,

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即有 a=

, +y2=1;

则椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)证明:设 Q(x1,y1),R(x2,y2),F1(﹣1,0), 由∠RF1F2=∠PF1Q,可得直线 QF1 和 RF1 关于 x 轴对称, 即有 + =0,即 + =0,

即有 x1y2+y2+x2y1+y1=0,① 设直线 PQ:y=kx+t,代入椭圆方程,可得
2 2 2 (1+2k )x +4ktx+2t ﹣2=0, 2 2 2 2 判别式△=16k t ﹣4(1+2k )(2t ﹣2)>0, 2 2 即为 t ﹣2k <1②

x1+x2=

,x1x2=

,③

y1=kx1+t,y2=kx2+t, 代入①可得,(k+t)(x1+x2)+2t+2kx1x2=0, 将③代入,化简可得 t=2k, 则直线 l 的方程为 y=kx+2k,即 y=k(x+2). 即有直线 l 恒过定点(﹣2,0). 将 t=2k 代入②,可得 2k <1, 解得﹣ <k<0 或 0<k< . ,0)∪(0, ).
2

则直线 l 的斜率 k 的取值范围是(﹣

【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要是离心率的运用,注意运用直线和圆相切的条件,联立直线方程和 椭圆方程,运用韦达定理,考查化简整理的运算能力,属于中档题和易错题. 20.【答案】(1)证明见解析;(2) 4 3 . 【解析】 试题分析:(1)有线面垂直的性质可得 BC ? AB1 ,再由菱形的性质可得 AB1 ? A1B ,进而有线面垂直的判

AB 的值,进而的三角形 A1 AB 的 定定理可得结论; (2)先证三角形 A 1 AB 为正三角形,再由于勾股定理求得
面积,又知三棱锥的高为 BC ? 3 ,利用棱锥的体积公式可得结果.

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考 点:1、线面垂直的判定定理;2、勾股定理及棱锥的体积公式. 21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由曲线 C 的参数方程为
2 (y 为参数),消去参数 t 得,y =4x.

(Ⅱ)依题意,直线 l 的参数方程为 代入抛物线方程得 可得 ∴ ∴|BC|=|t1﹣t2|= ,t1t2=14. = ,

(t 为参数),

=8.

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、参数的意义、弦长公式,考查了计算能力,属于基础题.

22.【答案】(1) CE ? 4 ;(2) CD ? 【解析】

6 13 . 13

试题分析:(1)由切线的性质可知 ?ECP ∽ ?EFC ,由相似三角形性质知 EF : CE ? CE : EP ,可得 CE ? 4 ; (2)由切割线定理可得 CP ? BP(4 ? BP) ,求出 BP, OP ,再由 CD ? OP ? OC ? CP ,求出 CD 的值. 1
2

试题解析: (1)因为 CP 是圆 O 的切线, CE 是圆 O 的直径,所以 CP ? CE , ?CFE ? 90 ,所以 ?ECP ∽ ?EFC ,
0

设 CE ? x , EP ? 所以 x ?
2

x2 ? 9 ,又因为 ?ECP ∽ ?EFC ,所以 EF : CE ? CE : EP ,

16 2 x ? 9 ,解得 x ? 4 . 5

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考点:1.圆的切线的性质;2.切割线定理;3.相似三角形性质. 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由条件知, ∴ ∴ , , , . , ,

(Ⅱ)∵函数 f(x)的图象向右平移 个单位得到函数 g(x)的图象, ∴ , ,最低点为 ,又 0≤θ≤π,∴ ,∴ . , ,

∵函数 g(x)在区间[0,m](m∈(3,4))上的图象的最高点和最低点分别为 M,N, ∴最高点为 ∴

【点评】本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换, 向量夹角公式的应用,属于基本知识的考查. 24.【答案】 【解析】解:(1)由分布表可得频数为 50,故①的数值为 50×0.1=5, ②中的值为 =0.40,③中的值为 50×0.2=10, =0.30;

④中的值为 50﹣(5+20+10)=15,⑤中的值为 (2)不低于 85 的概率 P= ×0.20+0.30=0.40,

∴获奖的人数大约为 800×0.40=320; (3)该程序的功能是求平均数, S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82, ∴800 名学生的平均分为 82 分

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