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广东省2011届高考数学二轮总复习课件:第10课时 三角函数的图像_图文

专题二 三角函数

例1(2009 ? 浙 江 卷 )已 知 a是 实 数 , 则 函 数 f ? x ? ? 1 ? a sin ax的 图 象 不 可 能 是 (     )

切入点:此题属含有参数的三角函数问题. 实 数 a的 变 化 既 引 起 振 幅 的 变 化 也 引 起 周 期 的变化,因此要抓住三角函数图象的振幅及 周期进行解题.

解 析 : 当 振 幅 a ? 1时 , 三 角 函 数 的 周 期 为 T ?

2? |a|



则 T ? 2 ? , 从 而 知 D 不 符 合 要 求 , 它 的 振 幅 大 于1 , 但 周 期 反 而 大 于 2? . 答 案 为 D.

在解决三角函数的含参问题时主要注意以下几 点: 1.先看函数表达式是否为y=Asin( ? x+ ? )及 y=Acos( ? x+ ? ),x∈R的形式,不是则先转化为 此类形式. 2.分析参数的变化引起了图象中哪些量的变化 (振幅、周期、相位),从而做出判断. 3.解决三角函数的含参问题时通常还有可能要 借助“五点法作图”进行分析.而“五点法作 图”应抓住四条:

? (1)化为y=Asin( x+ ? )及y=Acos( ? x+ ? ),x∈R的 形式; 2? (2)求出周期T= | ? | ; (3)求出振幅A; (4)列出一个周期内的五个点.

变 式1已 知 函 数 y ? 5cos(

2k ? 1 3

?x?

?
6

)( k ? N ).
*

对 任 意 实 数 a, 其 图 象 在 区 间[ a, a ? 3]上 的 值

5 4

出 现 的 次 数 不 少 于 4 次 且 不 多 于 8 次 , 求 k的 值 .

切入点: 函数值

5 4

在一个周期内要出现两次,

故 出 现 4次 需 要 2个 周 期 , 出 现 8次 需 要 经 历 4个 周期.

2? 解析: T ? ? 2k ? 1 3

?

6 2k ? 1 5 4

,a ? 3 ? ? a ? 3 , ?

?

而每一个周期出现值

有 2次 , 出 现 4次 应 有 2个

周 期 , 出 现 8次 应 有 4个 周 期 , 故 由4T ? 3且 2T ? 3, 得 ? 3 4 ? 6 2k ? 1
*

3 4

?T ? 7 2 .

3 2



?

3 2

,即

3 2

?k ?

而 k ? N , k ? 2, 3. ?

例 2为 了 得 到 函 数 y ? 2sin (

x 3

?

?
6

), x ? R 的 图 象 , 只 需 把 函 数

y ? 2sin x, x ? R 的 图 象 上 所 有 的 点 (     ) A. 向 左 平 移 变为原来的 1 3 B. 向 右 平 移 变为原来的 1 3

?
6

个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标

(纵 坐 标 不 变 )

?
6

个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标

(纵 坐 标 不 变 )

C. 向 左 平 移

?
6

个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标

变 为 原 来 的 3 倍 (纵 坐 标 不 变 ) D. 向 右 平 移

?
6

个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标

变 为 原 来 的 3 倍 (纵 坐 标 不 变 )

切入点:三角函数的图象变换可以先 平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩 变换后平移变换,但注意二者的不同 之处:先伸缩变换时,平移的单位把 x前 面 的 系 数 提 取 出 来 .

解 析 : 先 将 y ? 2sin x, x ? R 的 图 象 向 左 平 移 单 位 长 度 , 得 到 函 数 y ? 2sin ( x ?

?
6



?
6

), x ? R 的 图 象 ,

再 把 所 得 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 变 为 原 来 的 3 倍 (纵 坐 标 不 变 ), 得 到 函 数 y ? 2sin ( 选 故 C. x 3 ?

?
6

), x ? R 的 图 象 ,

关于三角函数的图象,要掌握函数的平移变换、 伸缩变换.重点要掌握由函数y=sinx,x∈R的 图象经过变换得到函数y=Asin( ? x+? ),x∈R的 图象的过程: 1.y=Asinx,x∈R(A>0且A ? 1)的图象可以看作 把正弦曲线上的所有点的纵坐标变为原来的A 倍得到的;

2.函数y=sin? x,x∈R(? >0且? ? 1)的图象,可 看作把正弦曲线上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变); 3.函数y=sin(x+ ? ),x∈R(其中? ? 0)的图象, 可以看作把正弦曲线上所有的点向左(当 ? >0时) 或向右(当 ? <0时)平行移动| ? |个单位长度而得 到( 用 平 移法 注 意讲 清 方向 : “加 左 ”“ 减 右”).

变 式 2 已 知 函 数 f ? x ? ? sin x ?
2

3sin x cos x ? 2cos x, x ? R .
2

?1 ? 求 函 数 f ? x ? 的 最 小 正 周 期 和 单 调 增 区 间 ; ? 2 ? 函 数 f ? x ?的 图 象 可 以 由 函 数 y ? sin2 x,
x ? R的 图 象 经 过 怎 样 的 变 换 得 到 ?

解 析 : 1? f ? ? ? f 3 2

? x? ?
1 2

1 ? cos 2 x 2 3 2

?

3 2

sin2 x ? ?1 ? cos2 x ?

sin2 x ?

cos2 x ?

? sin (2 x ? 2? 2

?
6

)?

3 2

.

? x ?的 最 小 正 周 期 T
?
2 ? 2x ?

?

? ? . 题意得 由

2k? ?

?
6

? 2k? ?

?
2

( k ? Z ),

即 k? ? ? f

?
3

? x ? k? ?

?
6

( k ? Z ). ?

? x ? 的 单 调 增 区 间 为[ k ?

?
3

, k? ?

?
6

]( k ? Z ).

? 2 ? 先 把 y ? sin2 x的 图 象 上 的 所 有 点 向 左 平 移
?
12 个 单 位 长 度 , 得 y ? sin (2 x ?

?
6

)的 图 象 , 3 2 3 2 个 的图象.

再把所得图象上所有的点向上平移 单 位 长 度 , 就 得 到 y ? sin (2 x ?

?
6

)?

例3 如 图 为 某 三 角 函 数 图 象 的 一 段 .

?1 ? 用 正 弦 函 数 写 出 其 中 一 个 解 析 式 ; ? 2 ? 求 与 这 个 函 数 关 于 直 线 x ? 2?
对称的函数解析式,并作出它在 一个周期内的简图.

切 入 点 : 由 T 定 ? , 由 最 值 定 A, 由 特 殊 值 定 ?, 用 五 点 法 作 简 图 .

解析: ?? ? 2? T

?1 ? 依 图 知 T ?
? 2? 4? ? 1 2 . 1 2

1 3? 3

?

?
3

? 4? ,

又 A ? 3 , 则 y ? 3 sin ( 由 图 知 它 过 点( ?? ? ?

x ? ? ). 1 2 ?

?
3

,), 0 ? 3 s in ( 0 ?

?
3

? ? ),

?
6

(为 其 中 一 个 值 ). 1 2 x ?

? y ? 3 si n (

?
6

).

? 2 ? 令 ( x, y )为 y ? 3sin (

1 2

x?

?
6

)的 图 象 上

任 意 一 点 , 则 该 点 关 于 直 线 x ? 2? 的 对 称 点 为 (4 ? ? x, y ), 与 y ? 3sin ( ? 1 2 x?

?
6

)

关 于 直 线 x ? 2? 对 称 的 函 数 解 析 式 是 y ? ? 3sin ( 1 2 x?

?
6

). 列 表 :

x
1 2

?
6

?
3

2? 3

5? 3

8? 3

1 1? 3

x+
-

0 0

?
2

? 0

3? 2

2? 0

y

-3

3

描点、连线、成图:

函数y=Asin(?x+ ? ),x∈R的解析式的确定,就是 ? ? 要确定系数A, ,.A是振幅,是图象拱的高度, 2? 周期T等于两个拱的跨度之和,而T= ,故常 |? | ? 先确定A及 ,然后利用图象经过的特殊点得出 关于 的方程,解之即可. ?

变式3 设函数f y ? f

?x?

? sin (2 x ? ? )( ? ? ? ? ? 0), ?

? x ?的 图 象 的 一 条 对 称 轴 是 直 线 x

?
8

.

?1 ? 求 ? 的 值 ; ?2?求函数y ? ?3?画 出 函 数 y

? x ?的 单 调 增 区 间 ; ? f ? x ? 在 区 间[0, ? ]上 的 图 象 .
f

解析:

?1 ? 因 为 直 线 x ?

?
8

是函数y ? f ? x?

的 图 象 的 一 条 对 称 轴 , sin (2 ? ? ?

?
8

? ? ) ? ?1,

?
4

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z. 3? 4 .

因 为 ? ? ? ? ? 0, ? ? ? ?

? 2 ?由 ? 1 ? 知 ?

??

3? 4

, 因 此 , y ? sin (2 x ? 3? 4 5? 8 )的 单 调 增 区 间 为 ? 2k? ?

3? 4

).

由 题 意 得 2k? ? 即 k? ?

?
2

? 2x ?

?
2

( k ? Z ),

?
8

? x ? k? ?

( k ? Z ).

? 函 数 y ? sin (2 x ? [k? ?

3? 4

?
8

, k? ?

5? 8

]( k ? Z )

? 3 ?由 y ? sin (2 x ?
x
y

3? 4

)知 , 可 列 表 如 下 :
3? 8

0
-

?
8
2 2

5? 8

7? 8

?
2 2

-1

0

1

0

故 函 数 y ? f ? x ? 在 区 间[0, ? ]上 的 图 象 如 下 图 所 示 .

1.函数y=Asin(? x ? ? )的表达式的确定:A由最值确定; 由周期确定;由图象上的特殊点确定. 2.函数y=Asin( ? x ? ? )的图象的画法: 3? ? ? x ? ? ,令X=0, , ,? , ,求出 (1)“五点法”(设X= ? 2 2 2 相应的x值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象; (2)图象变换法:这是作函数简图常用的方法. 3.关于三角函数的图象,要掌握平移变换、伸缩变 换,重点要掌握由函数y=sinx,x∈R的图象经过变换 得到函数y=Asin( ? x ? ? ),x∈R的图象的关系.注意 先平移后伸缩与先伸缩后平移是不同的.要会根据三 角函数的图象写出三角函数的解析式.

1. 知 函 数 y ? f 已

? x ?, 将 f ? x ?的 图 象 上 的 每 一 点 的 纵 坐 标
?
2 个单位长度,这样得到的是y ? 1 2

保 持 不 变 , 横 坐 标 变 为 原 来 的 2倍 , 然 后 把 所 得 的 图 象 沿 着 x轴 向 左 平 移 sin x

的图象,那么已知函数y ? f A. f B. f C. f D. f

? x ?的 解 析 式 为 ?

?

? x? ? ? x? ? ? x? ? ? x? ?

1 2 1 2 1 2 1 2

sin (

x 2

?

?
2

) ) ) )

sin (2 x ? sin ( x 2 sin (2 x ? ?

?
2

?
2

?
2

解析: 把y ? 得y ? 1 2 sin ( x ?

1 2

sin x的 图 象 右 移

?
2

个单位长度,

?
2

)的 图 象 , 再 使 它 的 图 象 上 1

各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 , 2 1 ? 得 y ? si n (2 x ? )的 图 象 . 2 2

2.函 数 y ? A sin (? x ? ? )(? ? 0,? |? | 如图所示,则其表达式为? A . y ? ? 4sin ( C . y ? ? 4sin (

?
2

, x ? R )的 部 分 图 象

?
B . y ? 4sin (

?
8

x? x?

?
4

) )

?
8

x? x?

?
4

) )

?
8

?
4

D . y ? 4sin (

?
8

?
4

解 析 : 由 图 知 A ? 4 , T ? 16 , ? ?

2? 16

?

?
8

.

将 点 ?10, 4 ? 代 入 解 析 式 解 出 ?, 用 诱 导 公 式 变形得答案为选项A

3.函 数 f ? x ? ? A sin (? x ? ? ) ? b的 图 象 如 下 , 则 S ? f ? 0 ? ? f ?1 ? ? f ? 2 ? ? ? ? f ? 2011 ? 的 值为   .

解 析 : 观 察 图 形 知 , f ? 0 ? ? 1 , f ?1 ? ? f ? 2 ? ? 1, f ? 3 ? ? 1 2

3 2



, 且 f ? x ?以 4 为 周 期 ,

同 时 f ? 0 ? ? f ?1 ? ? f ? 2 ? ? f ? 3 ? ? 4 , ? f ? 0 ? ? f ?1 ? ? f ? 2 ? ? f ? 3 ? ? ? ? f ? 2011 ? ? 4 ? 50 3 ? 20 1 2.

  4.(2009 ? 安 徽 省 示 范 高 中 皖 北 协 作 区 高 三 联 考 )定 义 一 种 运 算 ( a, b ) ? ( c, d ) ? ad ? bc .将 函 数 f ? x ? ? (1 , sin x ) ? ( 3, cos x ) 的 图 象 向 左 平 移 ? (? ? 0) 个 单 位 长 度 , 所 得 图 象 的 函 数 为 偶 函 数 , 则 ?的 最 小 值 是 .

解 析 : 依 题 意 , f ? x ? ? cos x ?

3sin x ? 2sin ( x ?

5? 6

).

将 f ? x ? 的 图 象 向 左 平 移 ? 个 单 位 长 度 (? ? 0), 得 到 的 图 象 对 应 的 函 数 为 y ? 2sin ( x ? 偶函数, ? ? ? k? ? 5? 6 ? k? ? 5? 6 ? ? ). 由 于 y为

?
2

( k ? Z ), 即 有 ? ?

?
3

( k ? Z ). 又 ? ? 0, 所 以 , 当 k ? 1 时 , 得 ? 的 2? 3 .

最小值为

  图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行. 5.如 已知圆环的半径为 2 3 蚂 蚁 每 分 钟 爬 行 一 圈 . 若 蚂 蚁 的 起 始 位 置 在 最 低 点 P0 处 . m , 圆 环 的 圆 心 距 离 地 面 的 高 度 为1 m ,

?1 ? 试 确 定 在 时 刻 t ( 分 钟 )时 蚂 蚁 距 离 地 面 的 高 度 h ? t ? ; ? 2 ? 画 出 函 数 h ? t ? 在 0 ? t ? 1 时 的 图 象 (不 需 要 列 表 ); ?3? 在 蚂 蚁 绕 圆 环 爬 行 的 一 圈 内 , 有 多 长 时 间 蚂 蚁 距 离 地 面
的高度超过 2 3 m?

解 析 : ?因 为 蚂 蚁 每 分 钟 爬 行 的 角 度 是 2 ? , t 分 钟 爬 行 ? ?1 的 角 度 是 2 ? t, h ? t ? ? 1 ? ? 2 3 cos2 ? t ? t ? 0 ?.

? 2 ?图 象 如 下 图 实 线 部 分 .

? 3 ?由 h ? t ? ? 1 ?
解 得 2k? ? 即k ? 1 6

2 3

cos2 ? t ?

2 3

, 得 cos2 ? t ? 5? 3 ( k ? N ),

1 2



?
3

? 2? t ? 2k? ? 5 ( k ? N ).

?t ? k ?

6 1 5 5 1 2 而 0 ? t ? 1, 所 以 ? t ? , 则 ? ? . 6 6 6 6 3 2 即在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有 分钟的 3 2 时 间 蚂 蚁 距 离 地 面 的 高 度 超 过 m. 3

本节完,谢谢!


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