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高考等差数列知识点和结论专题讲解


高中等差数列知识点及经典结论总结专题复习
一、数列的概念:数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列是一个定义域为正 整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,?,n} )的特殊函数,如果数列 ?a n? 的第 n 项 a n 与 n 之间的关系可以用一个公 式来表示,则这个公式就叫做这个数列的通项公式。数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 例题、(1)已知 an ?

n 1 (n ? N * ) ,则在数列 {an } 的最大项为__(答: ) ; 25 n ? 156 an (2)数列 {an } 的通项为 a n ? ,其中 a, b 均为正数,则 an 与 a n ?1 的大小关系为___(答:an ? a n ?1 ) ; bn ? 1
2

(3)已知数列 {an } 中, an ? n2 ? ? n ,且 {an } 是递增数列,求实数 ? 的取值范围(答: ? ? ?3 ) ; (4)一给定函数 y ? f (x) 的图象在下列图中,并且对任意 a1 ? (0,1) ,由关系式 an?1 ? f (an ) 得到的数列 (答:A) {an } 满足 an?1 ? an (n ? N * ) ,则该函数的图象是()

A

B

C

D

二、递推关系式:已知数列 ?a n? 的第一项(或前几项) ,且任何一项 a 与它的前一项 a (前 n 项)间的关系可以用 n n ?1 一个式子来表示,则这个式子就叫数列的递推关系式。 三、数列的分类:①按项数多少,分为有穷数列、无穷数列; ②按项的增减,分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。 ③按项有无界限,分为有界数列、无界数列。 四、数列的前 n 项和:

s n ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an .

?s , (n ? 1) ? 1 1、已知 s n 求 a n 的方法(只有一种) :即利用公式 a = ? n ?s ? s , (n ? 2) n ?1 ? n

注意:一定不要忘记对 n 取值的讨论!最后,还应检验当 n=1 的情况是否符合当 n ? 2 的关系式,从而决定能否将 其合并。 2、等差数列的有关概念: ① 等差数列的定义:如果数列 a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫

? ?

做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。即 a n ? an?1 ? d (n ? N * , 且n ? 2) .(或 a n ? 1 ? an ? d (n ? N *) ). ② ③ 等差数列的判断方法:①定义法: a n ? 1 ? an ? d (常数) ? ?a n?为等差数列。 中项法: 2 a n ?1?a n ? a n ? 2 ? ?a n?为等差数列。③通项公式法: a n ? an ? b (a,b 为常数) ? ?a n?为等差数
1

列。 ④ ④前 n 项和公式法: s n ? An 2 ? Bn (A,B 为常数) ? ?a n?为等差数列。

如设 {an } 是等差数列,求证:以 bn=

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? N * 为通项公式的数列 {bn } 为等差数列。 n

等差数列的通项: an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。公式变形为: a n ? an ? b . 其中 a=d, b= a1 -d. 例题、如(1)等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? (答: 2 n ? 10 );

(2)首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______(答: (3)等差数列的前 n 和: S n ?
d A= 2 ,B= a 1

8 ? d ?3) 3

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? An 2 ? Bn d 。公式变形为: s n , S n ? na1 ? ,其中 2 2

?d.
2

注意:已知 n,d,

a1 , a n , s n 中的三者可以求另两者,即所谓的“知三求二”。
3 15 1 a (n ? 2, n ? N * ) , n ? , n 项和 Sn ? ? , a1 =_, =_ 前 则 (答: 1 ? ?3 , a n 2 2 2

a 如 (1) 数列 {an } 中, n ? an ?1 ?
n ? 10 );

(2)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n2 ,求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn (答:

?12n ? n 2 (n ? 6, n ? N * ) ? Tn ? ? 2 ). * ?n ? 12n ? 72(n ? 6, n ? N ) ?
(3)等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?

a?b 。 2

提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作为 基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技 巧,如奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ?(公差为 d ) ;偶数个数成等差,可设为?,

a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(公差为 2 d )
3.等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ; 前 n 和 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2 (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。
(3)对称性:若 ?a n? 是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当 m ? n ? p ? q 时,则有

am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p .

2

如(1)等差数列 {an } 中, Sn ? 18, an ? an?1 ? an?2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____(答:27) ; (2) 在等差数列 ?an ? 中, 10 ? 0, a11 ? 0 , a1 ?|0a | ,S n 是其前 n 项和, A、 1 , S2 ?S10 都小于 0, 11 , S12 ? 且 则 a S S 1 都大于 0 B、 S1 , S2 ?S19 都小于 0, S20 , S21 ? 都大于 0 C、 S1 , S2 ? S5 都小于 0, S6 , S7 ? 都大于 0 D、

S1 , S2 ?S20 都小于 0, S21 , S22 ? 都大于 0 (答:B)
(3) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即 a k , a k ? m , a k ? 2m ,...( k , m? N *) 成等差.若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则

{kan } 、{kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、{a p?nq }( p, q ? N * ) 、 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列,而 {a an }
成等比数列;若 {an } 是等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg an} 是等差数列. 如等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100, 则它的前 3n 和为 。 (答:225)

(4)在等差数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时,

s n ? n(a n ? a n ?1) ; s 偶? s 奇 ? nd ;


s 偶 a n ?1 . ? s 奇 an

项数为奇数 2n ? 1 时,

s 2n ?1?(2n ?1) a n ; s 偶? s 奇? ? a1

s 偶 n ?1 。 ? s奇 n

如(1)在等差数列中,S11=22,则 a6 =______(答:2) ; (2)项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项与项数(答:5;31). (5)单调性:设 d 为等差数列 ?a n? 的公差,则 d>0 ? ?a n? 是递增数列;d<0 ? ?a n? 是递减数列;d=0 ? ?a n? 是常数数列 (6)若等差数列 {an } 、{bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且

An a (2n ? 1)an A2 n ?1 ? f ( n) ,则 n ? ? ? f (2n ? 1) .如设 Bn bn (2n ? 1)bn B2 n ?1

{ an }与{ bn }是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若

a Sn 3n ? 1 ,那么 n ? ___________(答: ? bn Tn 4n ? 3

6n ? 2 ) 8n ? 7
(7) 已知 ?a n? 成等差数列,求 s n 的最值问题: ① 若 a1 ? 0 ,d<0 且满足 ?an ?
? ? 0,

?an?1 ? 0 ?

,则 s n 最大;

②若 a1 ? 0 ,d>0 且满足 ?a n ? 0, ,则 s n 最小. ?
?a n ?1 ? 0 ?

?

“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小

3

值是所有非正项之和。法一:由不等式组 ?an ? 0 ? 或?an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) ;法二:因等差数列 ? ? ? ?
? ?an ?1 ? 0? ? ?a n ?1 ? 0 ?

前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N 。上述两种方法是运用了
*

哪种数学思想?(函数思想) ,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?如(1)等差数列 {an } 中,a1 ? 25 ,S9 ? S17 , 问此数列前多少项和最大?并求此最大值。 (答:前 13 项和最大,最大值为 169) (2)若 {an } 是等差数列,首项 ;

a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是
(答:4006)

(8)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两 等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究 an ? bm .

4


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