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山东省07---13年理科《数列》部分整合有详细答案

山东省 07---13 年理科《数列》部分整合有详细答案
(一)选择题
1、 (2010 山东理数 9) 设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是数列{an}是递增数列的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C 【 解 析 】 若 已 知 a1 <a 2 <a 3 , 则 设 数 列 ?a n ? 的 公 比 为 q , 因 为 a1 <a 2 <a 3 , 所 以 有

a1 <a1q<a1q2 ,解得 q>1, 且 a1 >0 ,所以数列 ?a n ? 是递增数列;反之,若数列 ?a n ? 是递增
数列,则公比 q>1 且 a1 >0 ,所以 a1 <a1q<a1q 2 ,即 a1<a 2<a 3 ,所以 a1 <a 2 <a 3 是数列 ?a n ? 是递增数列的充分必要条件。 【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识,属保分题。

(三)解答题
1、 (07 山东理 17)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3
2 n ?1

an ?

n * ,a?N . 3

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ?

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an
2 n ?1

n , 3 n ?1 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ? 2 an ?1 ? (n ? 2), 3 n n ?1 1 3n ?1 an ? ? ? (n ? 2). 3 3 3 1 an ? n (n ? 2). 3 1 * 验证 n ? 1 时也满足上式, an ? n (n ? N ). 3
(I) a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ...3

an ?

(II) bn ? n ? 3 ,
n

Sn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ...n ? 3n
3Sn ?? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ...n ? 3n?1

?2Sn ? 3 ? 32 ? 33 ? 3n ? n ? 3n?1

?2Sn ?
Sn ?

3 ? 3n ?1 ? n ? 3n ?1 , 1? 3

n n ?1 1 n ?1 3 ?3 ? ?3 ? ? 2 4 4

2.(08 山东卷 19)。(本小题满分 12 分) 将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
??

记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7,?构成的数列为{bn},b1=a1=1. Sn 为数列{bn}的前 n 项 和,且满足=

2bn 1=(n≥2). bn S N ? S 2 n
1 }成等差数列,并求数列{bn}的通项公式; Sn
4 时,求上表中第 k(k≥3)行所有项和的和. 91

(Ⅰ)证明数列{

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公 比为同一个正数.当 a81 ? ?

?1, n ? 1 ? (Ⅰ)证明:由已知, bn ? ? 2 ?? n(n ? 1) , n ? 2 ?
(Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为 q,且 q>0. 因为

1 ? 2 ? ??? ? 12 ?

12 ?13 ? 78, 2

2bn ? 1, 2 bn S n ? S n 又 S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , ( 2 S n ? S n ?1 ) 所以   ? 1, ( S n ? S n ?1 ) S n ? S 2 n ( 2 S ? S n ?1 ) 即    n ? 1, ? S n ?1 S n 1 1 1 所以  ? ? , S 2 Sn n ?1 又S1 ? b1 ? a1 ? 1. ? 1 ? 1 所以数列 1 ,公差为 的等差数列 . ? ?是首项为 2 ? Sn ? 1 1 n ?1 由上可知  = 1 + (n ? 1 ) ? , Sn 2 2 即  S n ? 2 . n ?1 2 2 2 ? ? ? n ?1 h n ( n ? 1).

所以  当 n ? 2时,bn ? ? S n ?1 ?

所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列{an}的前 78 项, 故 a82 在表中第 13 行第三列, 因此 a82 ? b13 q ? ?
2

4 . 91



b13 ? ?

2 , 13 ?14

所以 q=2. 记表中第 k(k≥3)行所有项的和为 S, 则S ?

bk (1 ? q k ) 2 (1 ? 2k ) 2 ? ? (1 ? 2k ) (k≥3). 1? q k (k ? 1) 1 ? 2 k (k ? 1)
?

3.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 等比数列 { an } 的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N ,点 (n , Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记 证明:对任意的 n ? N

bn ? 2 ( l o2g an ?
?

1) n? (N ?

)

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

,不等式

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? n ? 1 成立 b1 b2 bn
x

解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) , 均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数的图像 上 . 所 以 得

?

Sn ? b n ? r

,



n ?1



,

a1 ? S1 ? b ? r

,



n?2

时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 ,又因为{ an }为等比数列,所以

r ? ?1 ,公比为 b , an ? (b ?1)bn?1
(2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 则

bn ? 2(log2 an ?1) ? 2(log2 2n?1 ?1) ? 2n
2n ? 1 2n

bn ? 1 2n ? 1 b ?1 3 5 7 b ? 1 b2 ? 1 ,所以 1 ? · · · · · · ·n ? ? ? bn 2n b1 b2 bn 2 4 6

w. w.w. k. s.5.u.c.o.m

下面用数学归纳法证明不等式

b ?1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? ? ? b1 b2 bn 2 4 6

2n ? 1 ? n ? 1 成立. 2n

① 当 n ? 1 时,左边=

3 3 ,右边= 2 ,因为 ? 2 ,所以不等式成立. 2 2

② 假设当 n ? k 时不等式成立,即

b ?1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·k ? ? ? b1 b2 bk 2 4 6

2k ? 1 ? k ? 1 成立. 2k

则当 n ? k ? 1 时,左边=

b ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·k ? ? ? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6

?

2k ? 1 2k ? 3 ? 2k 2k ? 2

? k ?1 ?

2k ? 3 (2k ? 3) 2 4(k ? 1) 2 ? 4( k ? 1) ? 1 1 ? ? ? (k ? 1) ? 1 ? ? ( k ? 1) ? 1 2k ? 2 4(k ? 1) 4(k ? 1) 4(k ? 1)
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.

【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并运 用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 4、 (2010 山东理数) (18) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ?2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? ( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1 ,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2
1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 ? (1- + ? + 4 2 2 3

1 1 1 1 n )= + ) = ? (1, n+1 4(n+1) n n+1 4

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟 练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 8、 (2011 山东理数 20)等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某 一个数,且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 3 第二列 2 第三列 10

第二行 第三行

6 9

4 8

14 18

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? ? ?1? ln an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .
n

答案:解: (I)当 a1 ? 3 时,不合题意; 当 a1 ? 2 时,当且仅当 a2 ? 6, a3 ? 18 时,符合题意; 当 a1 ? 10 时,不合题意。 因此 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18, 所以公式 q=3, 故 an ? 2 ? 3n?1. (II)因为 bn ? an ? (?1)n ln an

? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (2 ? 3n ?1 ) ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n [ln 2 ? (n ? 1) ln 3] ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (ln 2 ? ln 3) ? (?1) n n ln 3,
所以

S2n ? 2(1 ? 3 ?
所以 当

? 32n?1 ) ? [?1 ?1 ?1 ?

? (?1)2n ](ln 2 ? ln3) ? [?1 ? 2 ? 5 ?

? (?1) n n]ln3,

当 n 为偶数时, S n ? 2 ? n

n 1 ? 3n n ? ln 3 ? 3n ? ln 3 ? 1; 2 1? 3 2
奇 数 时 ,



Sn ? 2 ?

1? 1?

n

?

3 ? 3

(?

n?

?ln

? 3nn

n ?1 2

? 2

l

l

n ?

n

3

? 3

l

)

综上所述, 6、 (2012 山东理数) (20) (本小题满分 12 分) 在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)对任意 m∈N﹡,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为 bm,求数列 {bm}的前 m 项和 Sm。 解 析 :( Ⅰ ) 由 a3+a4+a5=84 , a5=73 可 得 3a4 ? 84, a4 ? 28, 而 a9=73 , 则 于是 an ? 1 ? (n ? 1) ? 9 ? 9n ? 8 , 5d ? a9 ? a4 ? 45, d ? 9 ,a1 ? a4 ? 3d ? 28 ? 27 ? 1,

即 an ? 9n ? 8 . (Ⅱ)对任意 m∈N﹡, 9 ? 9n ? 8 ? 9
m 2m

,则 9 ? 8 ? 9n ? 9
m

2m

? 8,

即9

m ?1

?

8 8 ? n ? 9 2 m ?1 ? ,而 n ? N * ,由题意可知 bm ? 92m?1 ? 9m?1 , 9 9

于是 S m ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? 91 ? 93 ? ? ? 92m?1 ? (90 ? 91 ? ? ? 9m?1 )

9 ? 9 2 m?1 1 ? 9 m 9 2 m?1 ? 9 9 m ? 1 9 2 m?1 ? 10 ? 9 m ? 1 9 2 m?1 ? 1 9 m ? ? ? ? ? ? ? , 1? 9 80 8 80 80 8 1 ? 92
即 Sm ?

9 2 m ?1 ? 1 9 m ? . 80 8

7、 (2013山东理数) (20) (本小题满分 12 分) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1 (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设数列{bn}的前 n 项和 Tn,且 Tn+ N? ).求数列{cn}的前 n 项和 Rn. 解答: (1) 由 S4=4S2, a2n=2an+1, {an} 为等差数列, 可得, a1 ? 1, d ? 2 (2)由 Tn+ 所以 an ? 2n ? 1

an ? 1 = λ (λ 为常数) ,令 cn=b2n, (n∈ 2n

an ? 1 2n = λ 可得, b1 ? ? ? 1 ,Tn-1+ n = λ 两式相减可得,当 n ? 2 时, n 2 2 n?2 n ?1 4 3n ? 1 bn ? n ?1 ,所以当 ? ? 0 时,cn=b2n= n ?1 ,错位相减法可得,Rn= ? 2 4 9 9 ? 4n ?1

?? ? 1 n ? 1 5 3n ? 1 ? 当 ? ? 0 时,cn=b2n= ? n ? 1 ,可得 Rn= ? ? ? 9 9 ? 4n ?1 n?2 ? ? 4n ?1


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