fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

1高中数学必修2知识点总结

精心整理
高中数学必修 2
第一章 立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互
相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE? A'B'C 'D'E' 或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD' 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;
平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 P ? A' B'C ' D' E ' 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距
离与高的比的平方。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 P ? A' B'C ' D' E ' 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图
定义三视图: 正视图(光线从几何体的前面向后面正投影); 侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变;
②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h ' 为斜高,l 为母线) (3)柱体、锥体、台体的体积公式 (4)球体的表面积和体积公式:V 球 = 4 ? R3 ;S 球面 = 4? R2
3

精心整理 特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h ' 为斜高,l 为母线) 柱体、锥体、台体的体积公式
(4)球体的表面积和体积公式:V 球 = 4? R3 ;S 球面 = 4? R2 3

精心整理 第二章直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

1 平面含义:平面是无限延展的

2 三个公理:

(1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

符号表示为 A∈L B∈L=>Lα A∈α B∈α
公理 1 作用:判断直线是否在平面内.

A α·
L

(2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面α 。·A

C

B
·

·

符号表示为:A、B、C 三点不共线=>有且只有一个平面α ,

使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。

公理 2 作用:确定一个平面的依据。

(3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

β

符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L

公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

α

P
·

L

1 空间的两条直线有如下三种关系:

相共交面直直线线:同一平平行面直内线,:有同且一只平有面一内个,公没共有点公;共点;

异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。

2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为:设 a、b、c 是三条直线

a∥b c∥b

=>a∥c

强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。

公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

4 注意点:a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上;?②两条异面直线所成的角θ ∈(0,); ③当两条异面直线所成的角是直2角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3—2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行——没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 aα 来表示
aα a∩α =Aa∥α

精心整理 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面
平行。
简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示:
aα bβ =>a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
符号表示: aβ bβ a∩b=Pβ ∥α a∥α b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3—
1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的
交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。 符号表示:
a∥α aβ a∥b α ∩β =b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示: α ∥β α ∩γ =aa∥b β ∩γ =b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直,记 作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们

精心整理 唯一公共点 P 叫做垂足。
P a L
2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直。
注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A 梭 lβ
B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3—2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。

2、两个平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第三章直线与方程

(1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合 时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表
示。即 k ? tan? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线 l 与 x 轴平行或重合时,α =0°,k=tan0°=0;
当直线 l 与 x 轴垂直时,α =90°,k 不存在.
? ? ? ? 当? ? 0? ,90 ? 时, k ? 0;当? ? 90 ? ,180 ? 时, k ? 0;当? ? 90? 时, k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式: k

?

y2 x2

? y1 ? x1

( x1

?

x2 ) (P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)

注意下面四点:(1)当 x1 ? x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°;

(2)k 与 P1、P2 的顺序无关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

(3)直线方程

①点斜式: y ? y1 ? k(x ? x1) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1?

注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点

精心整理
的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b

③两点式:

y ? y1 y2 ? y1

?

x ? x1 x2 ? x1



x1

?

x2 , y1

?

y2

)直线两点 ?x1,

y1? , ?x2,

y2 ?

④截矩式: x ? y ? 1其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0,b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别
ab

为 a,b 。

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0)注意:各式的适用范围特殊的方程如:平行于 x

轴的直线: y ? b (b 为常数);平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数);

(6)两直线平行与垂直

当 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 时, l1 // l2 ? k1 ? k2 ,b1 ? b2 ; 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。

(7)两条直线的交点

l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交

交点坐标即方程组

? ? ?

A1 x A2 x

? ?

B1 y ? C1 B2 y ? C2

?0 ?0

的一组解。

方程组无解 ? l1 // l2 ;方程组有无数解 ? l1 与 l2 重合
(8)两点间距离公式:设 A(x1, y1),B(x2, y2)是平面直角坐标系中的两个点,

则 | AB |? (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2

(9)点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B2

(10)两平行直线距离公式

已知两条平行线直线 l1 和 l2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l2 的距离为 d ?

C1 ? C2 A2 ? B2

第四章圆与方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程
(1)标准方程 ?x ? a?2 ? ?y ? b?2 ? r 2 ,圆心 ?a,b?,半径为 r;

点 M (x0, y0 ) 与圆 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 的位置关系:

当 (x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外

当 (x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上

当 (x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内

(2)一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0



D2

?

E2

? 4F

?

0 时,方程表示圆,此时圆心为 ???
?

D ,? 2

E ?? ,半径为 r
2?

?

1 2

D2 ? E2 ? 4F

当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点;

精心整理
当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:
(1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ?y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C?a, b?到 l 的距离为 d ? Aa ? Bb ? C , A2 ? B2
则有 d ? r ? l与C相离; d ? r ? l与C相切; d ? r ? l与C相交
(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距 离=半径,求解 k,得到方程【一定两解】 (3) 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 : 圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 , 圆 上 一 点 为 (x0 , y0) , 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
设圆 C1 : ?x ? a1 ?2 ? ?y ? b1 ?2 ? r 2 , C2 : ?x ? a2 ?2 ? ?y ? b2 ?2 ? R 2
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;
当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
当 d ? R ? r 时,两圆内含;当 d ? 0 时,为同心圆。
注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图