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高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解

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高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解
一、选择题 1.(文)函数 y=ax3-x 在 R 上是减函数,则( 1 A.a= 3 C.a=2 B.a=1 D.a≤0 )

For personal use only in study and research; not for commercial use [答案] D [解析] y′=3ax2-1, ∵函数 y=ax3-x 在 R 上是减函数, For personal use only in study and research; not for commercial use

∴3ax2-1≤0 在 R 上恒成立,∴a≤0. (理)(2010· 瑞安中学)若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调递增函数,则实数 m 的 取值范围是( 1 ? A.? ?3,+∞? 1 ? C.? ?3,+∞? [答案] C 1 [解析] f ′(x)=3x2+2x+m, 由条件知, f ′(x)≥0 恒成立, ∴Δ=4-12m≤0, ∴m≥ , 3 故选 C. 2. (文)(2010· 柳州、 贵港、 钦州模拟)已知直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 切于点(1,3), 则 b 的值为( A.3 [答案] A [解析] 由条件知(1,3)在直线 y=kx+1 上,∴k=2. 又(1,3)在曲线 y=x3+ax+b 上,∴a+b=2, ∵y′=3x2+a,∴3+a=2,∴a=-1,∴b=3. (理)(2010· 山东滨州)已知 P 点在曲线 F:y=x3-x 上,且曲线 F 在点 P 处的切线与直线 x+2y=0 垂直,则点 P 的坐标为( A.(1,1) C.(-1,0)或(1,0) ) B.(-1,0) D.(1,0)或(1,1) ) B.-3 C.5 D.-5 ) 1? B.? ?-∞,3? 1? D.? ?-∞,3?

不得用于商业用途

仅供个人参考 [答案] C [解析] ∵y′=(x3-x)′=3x2-1, 又过 P 点的切线与直线 x+2y=0 垂直, ∴y′=3x2 -1=2,∴x=± 1,又 P 点在曲线 F:y=x3-x 上,∴当 x=1 时,y=0,当 x=-1 时,y= 0,∴P 点的坐标为(-1,0)或(1,0),故选 C. 3.(2010· 山东文)已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函 1 数关系式为 y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( 3 A.13 万件 C.9 万件 [答案] C [解析] 由条件知 x>0,y′=-x2+81,令 y′=0 得 x=9,当 x∈(0,9)时,y′>0,函 数单调递增,当 x∈(9,+∞)时,y′<0,函数单调递减,∴x=9 时,函数取得最大值,故 选 C. [点评] 本题中函数只有一个驻点 x=9,故 x=9 就是最大值点. 4.(文)(2010· 四川双流县质检)已知函数 f(x)的定义域为 R,f ′(x)为其导函数,函数 y =f ′(x)的图象如图所示,且 f(-2)=1,f(3)=1,则不等式 f(x2-6)>1 的解集为( ) B.11 万件 D.7 万件 )

A.(2,3)∪(-3,-2) C.(2,3) [答案] A

B.(- 2, 2) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞)

[解析] 由 f ′(x)图象知,f(x)在(-∞,0]上单调递增,在[0,+∞)上单调递减,∴由 条件可知 f(x2-6)>1 可化为 0≤x2-6<3 或 0≥x2-6>-2, ∴2<x<3 或-3<x<-2. (理)(2010· 哈三中)设 f(x), g(x)分别为定义在 R 上的奇函数和偶函数, 且 g(x)≠0, 当 x<0 时,f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且 f(-2)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集为( A.(-2,0)∪(0,2) B.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,-∞)∪(2,+∞) [答案] C [解析] 设 φ(x)=f(x)g(x), 不得用于商业用途 )

仅供个人参考 ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∵g(x)为偶函数,∴g(-x)=g(x),∴φ(-x)=f(-x)· g(-x)=-φ(x),故 φ(x)为奇函数, ∵f(-2)=0,∴φ(-2)=f(-2)· g(-2)=0, ∴φ(2)=0,∵x<0 时,φ′(x)=f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,∴φ(x)在(-∞,0)上为增函数, ∴φ(x)在(0,+∞)上为增函数,故使 f(x)g(x)<0 成立的 x 取值范围是 x<-2 或 0<x<2. 5.函数 y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调增区间是( π π A.(-π,- )和(0, ) 2 2 π π B.(- ,0)和(0, ) 2 2 π π C.(-π,- )和( ,π) 2 2 π π D.(- ,0)和( ,π) 2 2 [答案] A [解析] y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx, π 当 x∈(-π,- )时,y′=xcosx>0,∴y 为增函数; 2 π 当 x∈(- ,0)时,y′=xcosx<0,∴y 为减函数; 2 π 当 x∈(0, )时,y′=xcosx>0,∴y 为增函数; 2 π 当 x∈( ,π)时,y′=xcosx<0,∴y 为减函数; 2 π π ∴y=xsinx+cosx 在(-π,- )和(0, )上为增函数,故应选 A. 2 2 6.若函数 f(x)=x3-12x 在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是 ( ) A.k≤-3 或-1≤k≤1 或 k≥3 B.-3<k<-1 或 1<k<3 C.-2<k<2 D.不存在这样的实数 [答案] B [解析] 因为 y′=3x2-12,由 y′>0 得函数的增区间是(-∞,-2)和(2,+∞),由 y′<0,得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所以有 k- 1<-2<k+1 或 k-1<2<k+1,解得-3<k<-1 或 1<k<3,故选 B. [点评] 已知函数 f(x), 由 f ′(x)的符号可得到函数 f(x)的单调区间, 而 f(x)在区间(k-1, k+1)上不单调,因此,k-1 与 k+1 应分布在函数 f(x)的两个单调区间内.请再练习下题: 不得用于商业用途 )

仅供个人参考 已知函数 f(x)=x3-kx 在区间(-3,-1)上不单调,则实数 k 的取值范围是________. [答案] 3<k<27 k [解析] f ′(x)=3x2-k.由 3x2-k>0,得 x2> ,若 k≤0,则 f(x)显然在(-3,-1)上单调 3 递增, ∴k>0,∴x> k 或 x<- 3 k <x< 3 k . 3 k , 3 k , 3 k )上单调递减,在? 3 ? k ? ,+∞ 上 3 ?

由 3x2-k<0 得- ∴f(x)在?-∞,-

?

k? 上单调递增,在(- 3?

单调递增, 由题设条件知-3<- k <-1,∴3<k<27. 3 )

x 7.函数 y=e 在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为( 2 9 A. e2 2 C.2e2 [答案] D 1 x 1 [解析] ∵y′= · e ,∴切线的斜率 k=y′|x=4= e2, 2 2 2 1 ∴切线方程为 y-e2= e2(x-4), 2 令 x=0 得 y=-e2,令 y=0 得 x=2,∴S=e2. B.4e2 D.e2

8. 已知 a, b 是实数, 且 e<a<b, 其中 e 是自然对数的底数, 则 ab 与 ba 的大小关系是( A.ab>ba B.ab<ba C.ab=ba D.ab 与 ba 的大小关系不确定 [答案] A

)

1-lnx lnx [解析] 令 f(x)= ,则 f ′(x)= 2 .当 x>e 时,f ′(x)<0,∴f(x)在(e,+∞)上单调 x x 递减. lna lnb ∵e<a<b,∴f(a)>f(b),即 > , a b ∴blna>alnb,∴lnab>lnba,∴ab>ba. 9.(2010· 安徽合肥质检)已知 R 上可导函数 f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-

不得用于商业用途

仅供个人参考 3)f ′(x)>0 的解集为( )

A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,2) C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)

[答案] D [解析] 不等式(x2-2x-3)f ′(x)>0 化为
2 2 ? ? ?x -2x-3>0 ?x -2x-3<0 ? ? (1)或 (2) ?f ′?x?>0 ?f ′?x?<0 ? ?

∵f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调增,在(-1,1)上单调减, ∴f ′(x)>0 的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞),f ′(x)<0 解集为(-1,1), 由 x2-2x-3>0 得,x<-1 或 x>3, 由 x2-2x-3<0 得,-1<x<3.
?x<-1或x>3 ? ∴由(1)得? ,∴x<-1 或 x>3; ?x<-1或x>1 ? ? ?-1<x<3 由(2)得? ,∴-1<x<1. ? ?-1<x<1

综上可知,x∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞). x3 1 10.(文)(2010· 合肥市)已知函数 f(x)= + ax2+2bx+c 的两个极值分别为 f(x1),f(x2), 3 2 若 x1,x2 分别在区间(0,1)与(1,2)内,则 b-2a 的取值范围是( A.(-4,-2) C.(2,7) [答案] C [解析] 由条件知, f ′(x)=x2+ax+2b=0 的两根 x1, x2 分别在(0,1)和(1,2)内, ∴f ′(0) =2b>0,f ′(1)=1+a+2b<0,f ′(2)=4+2a+2b>0,作出可行域如图中阴影部分,当直 线 z=b-2a 经过可行域内点 A(-1,0)时,z 取最小值 2,经过点 B(-3,1)时,z 取最大值 7, ∴b-2a∈(2,7). B.(-∞,2)∪(7,+∞) D.(-5,-2) )

不得用于商业用途

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(理)(2010· 延边州质检)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)=1, f ′(x)为 f(x)的导函数, 已知 b+2 函数 y=f ′(x)的图象如下图所示,若两正数 a,b 满足,f(2a+b)<1,则 的取值范围是 a+2 ( ) 1 ? A.? ?2,3? 1 1? C.? ?3,2? 1? B.? ?-∞,2?∪(3,+∞) D.(-∞,-3)

[答案] A [解析] ∵f(4)=1,∴f(2a+b)<1 化为 f(2a+b)<f(4), ∴a,b>0,∴2a+b>0,由图知在(0,+∞)上,f ′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴2a+b<4, b+2 如图,可行域为△AOB 的内部(不含边界), 表示可行域内点与点 P(-2,-2)连线 a+2 的斜率,

1 1 b+2 ∵kPA= ,kPB=3,∴ < <3. 2 2 a+2 [点评] 特别注意 f ′(x)的图象提供了 f(x)的单调性,从而利用单调性将不等式 f(2a+ b)<1 化去函数符号“f ”,转化为通常的二元一次不等式,请再练习下题. 已知函数 f(x)的定义域为[-2,+∞),部分对应值如下表,f ′(x)为 f(x)的导函数,函 数 y=f ′(x)的图象如右图所示,若两正数 a,b 满足 f(2a+b)<1,则 ________. 不得用于商业用途 b+3 的取值范围是 a+3

仅供个人参考 x f(x) -2 1 0 -1 4 1

3 7? 答案:? ?5,3? 二、填空题 11.(2010· 北京顺义一中月考)已知 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是单调增函数,则 a 的最 大值是________. [答案] 3 [解析] f ′(x)=3x2-a,∵f(x)在[1,+∞)上是单调增函数,∴f ′(x)≥0 在[1,+∞) 上恒成立,即 a≤3x2 在[1,+∞)上恒成立,∴a 的最大值为 3. 12. (文)(2010· 绵阳市诊断)已知函数 f(x)=lnx+ax 的图象在 x=1 处的切线与直线 2x-y -1=0 垂直,则 a=________. 3 [答案] - 2 1 1 3 [解析] ∵f ′(x)= +a,∴f ′(1)=1+a,由条件知,1+a=- ,∴a=- . x 2 2 (理)(2010· 绵阳市诊断)已知函数 f(x)=ln(1+x)-ax 的图象在 x=1 处的切线与直线 x+2y -1=0 平行,则实数 a 的值为________. [答案] 1 [解析] ∵f ′(x)= 1 ∴f ′(1)= -a. 2 1 1 由题知 -a= , 2 2 解得 a=1. 13.(2010· 浙江杭州冲刺卷)函数 y=f(x)的定义域为(a,b),y=f ′(x)在(a,b)上的图象 如图,则 y=f(x)在区间(a,b)上极大值的个数为________. 1 -a, 1+x

[答案] 2 不得用于商业用途

仅供个人参考 [解析] 由 f ′(x)在(a,b)上的图象可知 f ′(x)的值在(a,b)上,依次为+-+-+,∴ f(x)在(a,b)上的单调性依次为增、减、增、减、增,从而 f(x)在(a,b)上的极大值点有两个. 14. (2010· 广州市质检)已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx+c 在(-∞, 0)上是减函数, 在(0,1) 上是增函数,函数 f(x)在 R 上有三个零点,且 1 是其中一个零点. (1)b 的值为________; (2)f(2)的取值范围是________. 5 - ,+∞? [答案] (1)0 (2)? ? 2 ? [解析] (1)∵f(x)=-x3+ax2+bx+c, ∴f ′(x)=-3x2+2ax+b. ∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数, ∴当 x=0 时,f(x)取到极小值,即 f ′(0)=0, ∴b=0. (2)由(1)知,f(x)=-x3+ax2+c, ∵1 是函数 f(x)的一个零点,即 f(1)=0,∴c=1-a. ∵f ′(x)=-3x2+2ax=0 的两个根分别为 x1=0,x2= 2a . 3

又∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,且函数 f(x)在 R 上有三个零点, ∴ 2a 2a 3 应是 f(x)的一个极大值点,因此应有 x2= >1,即 a> . 3 3 2

5 ∴f(2)=-8+4a+(1-a)=3a-7>- . 2 5 ? 故 f(2)的取值范围为? ?-2,+∞?. 三、解答题 1 1 15.(文)设函数 g(x)= x3+ ax2-bx(a,b∈R),在其图象上一点 P(x,y)处的切线的斜 3 2 率记为 f(x). (1)若方程 f(x)=0 有两个实根分别为-2 和 4,求 f(x)的表达式; (2)若 g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,求 a2+b2 的最小值. [解析] (1)根据导数的几何意义知 f(x)=g′(x)=x2+ax-b, 由已知-2,4 是方程 x2+ax
? ?-2+4=-a -b=0 的两个实根,由韦达定理? , ?-2×4=-b ? ?a=-2 ? ∴? ,f(x)=x2-2x-8. ?b=8 ?

(2)g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,所以在[-1,3]区间上恒有 f(x)=g′(x)=x2+ ax-b≤0, 不得用于商业用途

仅供个人参考 即 f(x)=x2+ax-b≤0 在[-1,3]上恒成立
? ? ? ?f?-1?≤0 ?a+b≥1 ?a+b≥1 这只需满足? 即可, 也即? , 而 a2+b2 可视为平面区域? 内 ?f?3?≤0 ?b-3a≥9 ?b-3a≥9 ? ? ? ?a=-2 ? 的点到原点距离的平方,其中点(-2,3)距离原点最近.所以当? 时,a2+b2 有最小值 ? b = 3 ?

13. (理)(2010· 广东文,20)已知函数 f(x)对任意实数 x 均有 f(x)=kf(x+2),其中常数 k 为负 数,且 f(x)在区间[0,2]上有表达式 f(x)=x(x-2). (1)求 f(-1),f(2.5)的值; (2)写出 f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数 f(x)在[-3,3]上的单调性; (3)求出 f(x)在 [-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. 1 1 1 1 1 1 [解析] (1)由 f(-1)=kf(1),f(2.5)= f( )知需求 f( )和 f(1),f(1)=-1,f( )= ×( -2) k 2 2 2 2 2 3 3 =- ,∴f(-1)=-k,f(2.5)=- 4 4k (2)∵对任意实数 x,f(x)=kf(x+2), ∴f(x-2)=kf(x), 1 ∴f(x)= f(x-2), k 当-2≤x<0 时,0≤x+2<2,∴f(x)=kf(x+2)=k(x+2)· x, 当-3≤x<-2 时,-1≤x+2<0,∴f(x)=kf(x+2)=k2(x+4)(x+2), 1 1 当 2≤x≤3 时,0≤x-2≤1,∴f(x)= f(x-2)= (x-2)(x-4). k k

? k?x+2?x ?-2≤x<0? ? 综上知,f(x)=?x?x-2? ?0≤x<2? ? ?x-2??x-4? ?2≤x≤3? ?1 k
数.

k2?x+4??x+2?

?-3≤x<-2? ,

∵k<0,∴由 f(x)的解析式易知 f(x)在[-3,-1]与[1,3]上是增函数,在[-1,1]上为减函

(3)∵f(x)在[-3,-1]上单调增,在[-1,1]上单调减,在[1,3]上单调增,∴f(-1)=-k 1 为极大值,f(1)=-1 为极小值,又 f(-3)=-k2,f(3)=- ,k<0, k ∴最大值为 f(-1)或 f(3),最小值为 f(1)或 f(-3), 1 令-k=- 得,k=± 1,令-1=-k2 得 k=± 1, k 又 k<0,∴k=-1, 不得用于商业用途

仅供个人参考 1 ∴当-1<k<0 时,-k<- ,-k2>-1, k 1 此时 fmax(x)=f(3)=- ,fmin(x)=f(1)=-1; k 1 当 k≤-1 时,-k≥- ,-k2≤-1,此时 fmax(x)=f(-1)=-k,fmin(x)=f(-3)=-k2. k 16.(文)(2010· 哈三中)已知函数 f(x)=ax3+cx(a≠0),其图象在点(1,f(1))处的切线与直 线 x-6y+21=0 垂直,导函数 f ′(x)的最小值为-12. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求 y=f(x)在 x∈[-2,2]的值域.
?f ′?1?=-6 ? [解析] (1)f ′(x)=3ax2+c,则? , ? ?c=-12 ? ?a=2 则? ,所以 f(x)=2x3-12x. ?c=-12 ?

(2)f ′(x)=6x2-12,令 f ′(x)=0 得,x=± 2. 所以函数 y=f(x)在(-2,- 2)和( 2,2)上为增函数,在(- 2, 2)上为减函数. f(-2)=8,f(2)=16-24=-8,f( 2)=-8 2,f(- 2)=8 2, 所以 y=f(x)在 x∈[-2,2]上的值域为[-8 2,8 2]. (理)(2010· 山东威海)已知函数 f(x)=6lnx(x>0)和 g(x)=ax2+8x-b(a,b 为常数)的图象在 x=3 处有公切线. (1)求实数 a 的值; (2)求函数 F(x)=f(x)-g(x)的极大值和极小值; (3)关于 x 的方程 f(x)=g(x)有几个不同的实数解? 6 [解析] (1)f ′(x)= ,g′(x)=2ax+8 x 根据题意得,f ′(3)=g′(3),解得 a=-1 (2)F(x)=f(x)-g(x)=6lnx+x2-8x+b 6 令 F′(x)= +2x-8=0 得 x=1 或 x=3 x ∵0<x<1 时,F′(x)>0,F(x)单调递增; 1<x<3 时,F′(x)<0,F(x)单调递减; x>3 时,F′(x)>0,F(x)单调递增; ∴F(x)极大值为 F(1)=b-7, ∴F(x)极小值为 F(3)=b-15+6ln3. (3)根据题意,方程 f(x)=g(x)实数解的个数即为函数 F(x)=f(x)-g(x)=6lnx+x2-8x+b 零点的个数 不得用于商业用途

仅供个人参考 由(2)的结论知: ①当 b-7<0 或 b-15+6ln3>0,即 b<7 或 b>15-6ln3 时,函数 F(x)仅有一个零点,也 即方程 f(x)=g(x)有一个实数解; ②当 b=7 时或 b=15-6ln3 时,方程 f(x)=g(x)有两个实数解 ③当 b-7>0 且 b-15+6ln3<0, 即 7<b<15-6ln3 时, 函数 F(x)有三个零点, 即方程 f(x) =g(x)有三个实数解; 综上所述,当 b<7 或 b>15-6ln3 时,方程 f(x)=g(x)有一个实数解;当 b=7 或 b=15 -6ln3 时, 方程 f(x)=g(x)有两个实数解; 当 7<b<15-6ln3 时, 方程 f(x)=g(x)有三个实数解. 1-a 17.(文)(2010· 山东文,21)已知函数 f(x)=lnx-ax+ -1(a∈R). x (1)当 a=-1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; 1 (2)当 a≤ 时,讨论 f(x)的单调性. 2 2 [解析] (1)a=-1 时,f(x)=lnx+x+ -1,x∈(0,+∞). x
2 1 2 x +x-2 f ′(x)= +1- 2= ,x∈(0,+∞), x x x2

因此 f ′(2)=1, 即曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 1. 又 f(2)=ln2+2, 所以 y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程应为 y-(ln2+2)=x-2,即 x-y+ln2=0. 1-a (2)因为 f(x)=lnx-ax+ -1, x a-1 ax2-x+1-a 1 所以 f ′(x)= -a+ 2 =- x∈(0,+∞). x x x2 令 g(x)=ax2-x+1-a, ①当 a=0 时,g(x)=1-x,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,g(x)>0,f ′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f ′(x)>0,f(x)单调递增; 1 ②当 a≠0 时,g(x)=a(x-1)[x-( -1)],x∈(0,+∞) a 1 (ⅰ)当 a= 时,g(x)≥0 恒成立,f ′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 2 1 1 (ⅱ)当 0<a< 时, -1>1>0, 2 a x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f ′(x)<0,f(x)单调递减; 1 x∈(1, -1)时,g(x)<0,此时 f ′(x)>0,f(x)单调递增; a 不得用于商业用途

仅供个人参考 1 x∈( -1,+∞)时,g(x)>0,此时 f ′(x)<0,f(x)单调递减; a 1 ③当 a<0 时,由 -1<0, a x∈(0,1)时,g(x)>0,有 f ′(x)<0,f(x)单调递减 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,有 f ′(x)>0,f(x)单调递增. 综上所述: 当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增; 1 当 a= 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 2 1 1 1 当 0<a< 时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1, -1)上单调递增,在( -1,+∞)上单调递 2 a a 减. [点评] 分类讨论时要做到不重不漏,层次清楚. (理)(2010· 北京崇文区)已知函数 f(x)=aln(2x+1)+bx+1. (1)若函数 y=f(x)在 x=1 处取得极值,且曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线 2x+ y-3=0 平行,求 a 的值; 1 (2)若 b= ,试讨论函数 y=f(x)的单调性. 2 1 [解析] (1)函数 f(x)的定义域为(- ,+∞) 2 2bx+2a+b f ′(x)= 2x+1

? ?f ′?1?=0 ?a=-2 ? 由题意? ,解得? ?f ′?0?=-2 ? ? ?b=1

3

3 ,∴a=- . 2

1 1 (2)若 b= ,则 f(x)=aln(2x+1)+ x+1. 2 2 2x+4a+1 f ′(x)= . 4x+2 2x+4a+1 ①令 f ′(x)= >0,由函数定义域可知,4x+2=2(2x+1)>0,所以 2x+4a+ 4x+2 1>0(※) 1 ? 1° 当 a≥0 时(※)总成立,∴x∈? ?-2,+∞?时, f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 1 1 1 1 ? f ′(x)>0, 2° 当 a<0 时, 由(※)式得 x>-2a- , ∵-2a- >- , ∴x∈? ?-2a-2,+∞?, 2 2 2 函数 f(x)单调递增; 不得用于商业用途

仅供个人参考 2x+4a+1 ②令 f ′(x)= <0,即 2x+4a+1<0 4x+2 1° 当 a≥0 时,不等式 f ′(x)<0 无解; 1 2° 当 a<0 时,解 2x+4a+1<0 得 x<-2a- , 2 1 1? ∴x∈? ?-2,-2a-2?,f ′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 1 ? 综上:当 a≥0 时,函数 f(x)在区间? ?-2,+∞?为增函数; 1 ? 当 a<0 时,函数 f(x)在区间? ?-2a-2,+∞?为增函数; 1 1? 在? ?-2,-2a-2?为减函数.

不得用于商业用途

仅供个人参考

仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales. только для людей, которые используются для обучения, исследований и не должны

использоваться в коммерческих целях.

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不得用于商业用途


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