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牧野区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

牧野区第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 等差数列{an}中,已知前 15 项的和 S15=45,则 a8 等于( A. B.6 C. D.3 ) )

姓名__________

分数__________

2. 已知曲线 C1:y=ex 上一点 A(x1,y1),曲线 C2:y=1+ln(x﹣m)(m>0)上一点 B(x2,y2),当 y1=y2 时,对于任意 x1,x2,都有|AB|≥e 恒成立,则 m 的最小值为( A.1 B. C.e﹣1 D.e+1 ) C.|a|>|b| D.a2>b2 , ),

3. 若 a<b<0,则下列不等式不成立是( A. > B. >

4. 已知 f(x),g(x)都是 R 上的奇函数,f(x)>0 的解集为(a2,b),g(x)>0 的解集为( 且 a < ,则 f(x)g(x)>0 的解集为( A.(﹣ ,﹣a2)∪(a2, ) C.(﹣ ,﹣a2)∪(a2,b)
2

) B.(﹣ ,a2)∪(﹣a2, ) D.(﹣b,﹣a2)∪(a2, ) ﹣ )?( + )=( )

5. 如图,正六边形 ABCDEF 中,AB=2,则(

A.﹣6 B.﹣2 6. 已知直线 l :

C.2

D.6

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点 B 和左焦点 F ,且被圆 a2 b2 4 5 ,则椭圆离心率 e 的取值范围是( ) x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为 L ,若 L ? 5

y ? kx ? 2 过椭圆

(A) ? 0, ? ?

? ?

5? 5 ?

( B ) ? 0, ?

? ?

2 5? ? 5 ?


(C) ? 0,

? ? ?

3 5? ? 5 ?

(D) ? 0,

? ? ?

4 5? ? 5 ?

7. 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为正方形, PA ? 底面 ABCD , AB ? 2 ,若该四棱锥的所有顶点都在 体积为

243? 同一球面上,则 PA ? ( 16

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A.3

B.

7 2

C. 2 3

D.

9 2

【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积,意在考查空间想象能力、逻辑推理能 力、方程思想、运算求解能力. 8. 一个圆的圆心为椭圆的右焦点,且该圆过椭圆的中心交椭圆于 P,直线 PF1(F1 为椭圆的左焦点)是该圆 的切线,则椭圆的离心率为( A. B. ) C. D.

9. 已知 f(x)=x3﹣3x+m,在区间[0,2]上任取三个数 a,b,c,均存在以 f(a),f(b),f(c)为边长的 三角形,则 m 的取值范围是( A.m>2 数的概率是( A. ) B. C. D. B.m>4 ) C.m>6 D.m>8

10.以 A={2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数,则这种分数是可约分

11.设函数 F(x)= ∈R 恒成立,则(
2

是定义在 R 上的函数,其中 f(x)的导函数为 f′(x),满足 f′(x)<f(x)对于 x ) B.f(2)<e2f(0),f D.f(2)<e2f(0),f

A.f(2)>e f(0),f C.f(2)>e2f(0),f 12.设集合

,

,则

(

)

A B C D 二、填空题
13.分别在区间 [0,1] 、 [1, e] 上任意选取一个实数 a、 b ,则随机事件“ a ? ln b ”的概率为_________. 14.自圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 外一点 P( x, y ) 引该圆的一条切线,切点为 Q ,切线的长度等于点 P 到
2 2

原点 O 的长,则 PQ 的最小值为( A.

) D.

13 10

B.3

C.4

21 10

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离,意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解 能力、数形结合的思想.

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15. C 两点, A 为抛物线 x2=﹣8y 的焦点, 过原点的直线 l 与函数 y= 的图象交于 B, 则| 16.函数 f(x)=ax+4 的图象恒过定点 P,则 P 点坐标是 .

+

|=



17.已知 a,b 是互异的负数,A 是 a,b 的等差中项,G 是 a,b 的等比中项,则 A 与 G 的大小关系为 18.在△ ABC 中,已知 =2,b=2a,那么 cosB 的值是 .



三、解答题
19.已知函数 f(x)=ax2+2x﹣lnx(a∈R). (Ⅰ)若 a=4,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)若 f′(x)在(0,1)有唯一的零点 x0,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若 a∈(﹣ ,0),设 g(x)=a(1﹣x)2﹣2x﹣1﹣ln(1﹣x),求证:g(x)在(0,1)内有唯一的 零点 x1,且对(Ⅱ)中的 x0,满足 x0+x1>1.

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? ln x ( a, b ? R ).
2

?1 ? ? ? (2)当 a ? 0 时,是否存在实数 b ,当 x ? ? 0,e? ( e 是自然常数)时,函数 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求
(1)当 a ? ?1, b ? 3 时,求函数 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值; 2 出 b 的值;若不存在,说明理由;

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21.(本小题满分 12 分) 某超市销售一种蔬菜,根据以往情况,得到每天销售量的频率分布直方图如下:
频率 组距

a

0.025
0.02

0.015
0.005

O

50

60

70

80

90

100 销售量/千克

(Ⅰ)求频率分布直方图中的 a 的值,并估计每天销售量的中位数; (Ⅱ) 这种蔬菜每天进货当天必须销售, 否则只能作为垃圾处理. 每售出 1 千克蔬菜获利 4 元, 未售出的蔬菜, 每千克亏损 2 元.假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,估计当超市每天的进货量为 75 千克 时获利的平均值.

22.若{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)均在函数 y= (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求:使得

的图象上.

对所有 n∈N 都成立的最大正整数 m.

*

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23.已知函数 f(x)=|x﹣m|,关于 x 的不等式 f(x)≤3 的解集为[﹣1,5]. (1)求实数 m 的值;
2 2 2 (2)已知 a,b,c∈R,且 a﹣2b+2c=m,求 a +b +c 的最小值.

24.已知函数 (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的值域.

(a≠0)是奇函数,并且函数 f(x)的图象经过点(1,3),

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牧野区第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:由等差数列的性质可得:S15= 故选:D. 2. 【答案】C 【解析】解:当 y1=y2 时,对于任意 x1,x2,都有|AB|≥e 恒成立,可得: ∴0<1+ln(x2﹣m)≤ ∴1+ln(x2﹣m)≤x2﹣m, 令 x2﹣m≤ 化为 m≥x﹣e ∴m≥e﹣1. 故选:C. 3. 【答案】A 【解析】解:∵a<b<0, ∴﹣a>﹣b>0,
2 2 ∴|a|>|b|,a >b ,

=15a8=45,则 a8=3.

=1+ln(x2﹣m),x2﹣x1≥e,

,∴



∵lnx≤x﹣1(x≥1),考虑 x2﹣m≥1 时. ,
x﹣e ,x>m+ x﹣e ,则



令 f(x)=x﹣e

f′(x)=1﹣ex﹣e,可得 x=e 时,f(x)取得最大值.





可知:B,C,D 都正确, 因此 A 不正确. 故选:A. 【点评】本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 4. 【答案】A
2 【解析】解:∵f(x),g(x)都是 R 上的奇函数,f(x)>0 的解集为(a ,b),g(x)>0 的解集为(



),且 a < ,

2

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2 ∴f(x)<0 的解集为(﹣b,﹣a ),g(x)<0 的解集为(﹣ ,﹣

),

则不等式 f(x)g(x)>0 等价为 即 a <x< 或﹣ <x<﹣a ,
2 2





故不等式的解集为(﹣ ,﹣a )∪(a , ), 故选:A. 【点评】本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性的对称性的性质求出 f(x)<0 和 g(x)<0 的解集是 解决本题的关键. 5. 【答案】D 【解析】解:根据正六边形的边的关系及内角的大小便得: = 2+2=6. 故选:D. 【点评】考查正六边形的内角大小,以及对边的关系,相等向量,以及数量积的运算公式. 6. 【答案】 B = =2+4﹣

2

2

【解析】依题意, b ? 2, kc ? 2.
4 5 16 , 解得 d 2 ? 5 5 。 1 1 16 1 又因为 d ? ,所以 ? , 解得 k 2 ? 。 2 2 1? k 5 4 1? k

设圆心到直线 l 的距离为 d ,则 L ? 2 4 ? d 2 ?

2 5 4 c2 c2 1 . 故选 B. 0 ? e2 ? , 解得 0 ? e ? ? ? 2 2 2 2 ,所以 5 5 a b ? c 1? k 7. 【答案】B
2 于是 e ?

PA ,所以 OE ? 底面 ABCD ,则 O 1 1 1 PA 2 ? AC 2 ? PA 2 ? 8 ,所以由球的体积 到四棱锥的所有顶点的距离相等,即 O 球心,均为 PC ? 2 2 2 4 1 243? 7 PA2 ? 8)3 ? 可得 ?( ,解得 PA ? ,故选 B. 3 2 16 2
【解析】连结 AC , BD 交于点 E ,取 PC 的中点 O ,连结 OE ,则 OE

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8. 【答案】D 【解析】解:设 F2 为椭圆的右焦点 由题意可得:圆与椭圆交于 P,并且直线 PF1(F1 为椭圆的左焦点)是该圆的切线, 所以点 P 是切点,所以 PF2=c 并且 PF1⊥PF2. 又因为 F1F2=2c,所以∠PF1F2=30°,所以 根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a, 所以|PF2|=2a﹣c. 所以 2a﹣c= 故选 D. 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题,以即椭圆的定义. 9. 【答案】C 【解析】解:由 f′(x)=3x ﹣3=3(x+1)(x﹣1)=0 得到 x1=1,x2=﹣1(舍去) ∵函数的定义域为[0,2] ∴函数在(0,1)上 f′(x)<0,(1,2)上 f′(x)>0, ∴函数 f(x)在区间(0,1)单调递减,在区间(1,2)单调递增, 则 f(x)min=f(1)=m﹣2,f(x)max=f(2)=m+2,f(0)=m 由题意知,f(1)=m﹣2>0 ①; f(1)+f(1)>f(2),即﹣4+2m>2+m② 由①②得到 m>6 为所求. 故选 C 【点评】本题以函数为载体,考查构成三角形的条件,解题的关键是求出函数在区间[0,2]上的最小值与最大 值 10.【答案】D 【解析】解:因为以 A={2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成 数, 个分
2



,所以 e=



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由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数, 故这种分数是可约分数的共有 则分数是可约分数的概率为 P= 故答案为:D 【点评】本题主要考查了等可能事件的概率,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 个, = ,

11.【答案】B 【解析】解:∵F(x)= ∴函数的导数 F′(x)= ∵f′(x)<f(x), ∴F′(x)<0, 即函数 F(x)是减函数,
2 则 F(0)>F(2),F(0)>F<e f(0),f,

, = ,

故选:B 12.【答案】C 【解析】送分题,直接考察补集的概念, ,故选 C。

二、填空题
13.【答案】

e ?1 e
a a

【解析】解析: 由 a ? ln b 得 b ? e ,如图所有实数对 ( a, b) 表示的区域的面积为 e ,满足条件“ b ? e ”的 实数对 ( a, b) 表示的区域为图中阴影部分,其面积为

? e da ? e |
a 0

1

a 1 0

? e ? 1,∴随机事件“ a ? ln b ”的概率为

e ?1 . e
14.【答案】D 【 解 析 】

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15.【答案】 4 . 【解析】解:由题意可得点 B 和点 C 关于原点对称,∴|
2 再根据 A 为抛物线 x =﹣8y 的焦点,可得 A(0,﹣2),

+

|=2|

|,

∴2|

|=4, + |=2| |是解题的关键.

故答案为:4. 【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质,属于基础题,利用| 16.【答案】 (0,5) . 【解析】解:∵y=ax 的图象恒过定点(0,1), 而 f(x)=ax+4 的图象是把 y=ax 的图象向上平移 4 个单位得到的, ∴函数 f(x)=ax+4 的图象恒过定点 P(0,5), 故答案为:(0,5). 【点评】本题考查指数函数的性质,考查了函数图象的平移变换,是基础题. 17.【答案】 A<G . 【解析】解:由题意可得 A= ,G=± ,

由基本不等式可得 A≥G,当且仅当 a=b 取等号, 由题意 a,b 是互异的负数,故 A<G. 故答案是:A<G. 【点评】本题考查等差中项和等比中项,涉及基本不等式的应用,属基础题. 18.【答案】 【解析】解:∵ b=2a, . =2,由正弦定理可得: ,即 c=2a.

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∴ ∴cosB= . 故答案为: .

=

= .

【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】满分(14 分). 解法一:(Ⅰ)当 a=4 时,f(x)=4x2+2x﹣lnx,x∈(0,+∞), .…(1 分) 由 x∈(0,+∞),令 f′(x)=0,得 .

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化如下表: x f′(x) ﹣ f(x) ↘ 故函数 f(x)在 无极大值.…(4 分) (Ⅱ) , 0 极小值 + ↗ 单调递增,…(3 分)f(x)有极小值 ,

单调递减,在

令 f′(x)=0,得 2ax2+2x﹣1=0,设 h(x)=2ax2+2x﹣1. 则 f′(x)在(0,1)有唯一的零点 x0 等价于 h(x)在(0,1)有唯一的零点 x0 当 a=0 时,方程的解为 ,满足题意;…(5 分) ,函数 h(x)在(0,1)上单调递增,

当 a>0 时,由函数 h(x)图象的对称轴

且 h(0)=﹣1,h(1)=2a+1>0,所以满足题意;…(6 分) 当 a<0,△=0 时, ,此时方程的解为 x=1,不符合题意;

当 a<0,△≠0 时,由 h(0)=﹣1, 只需 h(1)=2a+1>0,得 综上, .…(8 分) .…(7 分)

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(说明:△=0 未讨论扣 1 分) (Ⅲ) 设 t=1﹣x, 则 t∈ (0, 1) , p (t) =g (1﹣t) =at2+2t﹣3﹣lnt, … (9 分) 由 ,故由(Ⅱ)可知, ,

方程 2at2+2t﹣1=0 在(0,1)内有唯一的解 x0, 且当 t∈(0,x0)时,p′(t)<0,p(t)单调递减;t∈(x0,1)时,p′(t)>0,p(t)单调递增.…(11 分) 又 p(1)=a﹣1<0,所以 p(x0)<0.…(12 分) 取 t=e﹣3+2a∈(0,1), 则 p(e﹣3+2a)=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a(e﹣6+4a﹣2)+2e﹣3+2a>0, 从而当 t∈(0,x0)时,p(t)必存在唯一的零点 t1,且 0<t1<x0, 即 0<1﹣x1<x0,得 x1∈(0,1),且 x0+x1>1, 从而函数 g(x)在(0,1)内有唯一的零点 x1,满足 x0+x1>1.…(14 分) 解法二:(Ⅰ)同解法一;…(4 分) (Ⅱ) 令 f′(x)=0,由 2ax2+2x﹣1=0,得 设 ,则 m∈(1,+∞), , .…(5 分) ,…(6 分) 的图象在(1,+∞)恰有一个交点问题.

问题转化为直线 y=a 与函数 又当 m∈(1,+∞)时,h(m)单调递增,…(7 分)

故直线 y=a 与函数 h(m)的图象恰有一个交点,当且仅当 (Ⅲ)同解法一.

.…(8 分)

(说明:第(Ⅲ)问判断零点存在时,利用 t→0 时,p(t)→+∞进行证明,扣 1 分) 【点评】本题考查函数与导数等基本知识,考查推理论证能力和运算求解能力,考查函数与方程的思想、化归 与转化的思想、数形结合的思想,考查运用数学知识分析和解决问题的能力. 20.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识,意在考查逻辑 思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力.

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(2)当 a ? 0 时, f ? x ? ? bx ? ln x .

假设存在实数 b ,使 g ? x ? ? bx ? ln x x ? ? 0, e ? 有最小值 3,

?

?

f ?( x) ? b ?

1 bx ? 1 ? .………7 分 x x 4 (舍去).………8 分 e

①当 b ? 0 时, f ( x ) 在 ? 0,e? 上单调递减, f ( x) min ? f ? e ? ? be ? 1 ? 3, b ? ②当 0 ?

1 ? 1? ?1 ? ? e 时, f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? , e ? 上单调递增, b ? b? ?b ? ?1? 2 ∴ f ( x) min ? g ? ? ? 1 ? ln b ? 3, b ? e ,满足条件.……………………………10 分 ?b? 1 4 ③当 ? e 时, f ( x ) 在 ? 0,e? 上单调递减, f ( x) min ? g ? e ? ? be ? 1 ? 3, b ? (舍去),………11 分 b e 2 综上,存在实数 b ? e ,使得当 x ? ? 0,e? 时,函数 f ( x ) 最小值是 3.……………………………12 分
21.【答案】(本小题满分 12 分) 解:本题考查频率分布直方图,以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数. (Ⅰ)由 (0.005 ? 0.015 ? 0.02 ? 0.025 ? a) ?10 ? 1 得 a ? 0.035 (3 分)

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0.15 ? 10 ? 74.3 千克 (6 分) 0.35 (Ⅱ)若当天的销售量为 [50,60) ,则超市获利 55 ? 4 ? 20 ? 2 ? 180 元;
每天销售量的中位数为 70 ? 若当天的销售量为 [60,70) ,则超市获利 65 ? 4 ?10 ? 2 ? 240 元; 若当天的销售量为 [70,100) ,则超市获利 75 ? 4 ? 300 元, (10 分) ∴获利的平均值为 0.15 ?180 ? 0.2 ? 240 ? 0.65 ? 300 ? 270 元. (12 分) 22.【答案】
2 【解析】解:(1)由题意知:Sn= n ﹣ n,

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2, 当 n=1 时,a1=1,适合上式, 则 an=3n﹣2; bn= (2) 根据题意得: ﹣ =1﹣ , = = ﹣ Tn=b1+b2+…+bn=1﹣ + ﹣ +…+ ,

* ∴{Tn}在 n∈N 上是增函数,∴(Tn)min=T1= ,

要使 Tn>

对所有 n∈N 都成立,只需

*

< ,即 m<15,

则最大的正整数 m 为 14. 23.【答案】 【解析】解:(1)|x﹣m|≤3?﹣3≤x﹣m≤3?m﹣3≤x≤m+3,由题意得 (2)由(1)可得 a﹣2b+2c=2,
2 2 2 2 2 2 2 由柯西不等式可得(a +b +c )[1 +(﹣2) +2 ]≥(a﹣2b+2c) =4, 2 2 2 ∴a +b +c ≥

,解得 m=2;

当且仅当

,即 a= ,b=﹣ ,c= 时等号成立,

2 2 2 ∴a +b +c 的最小值为 .

【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用,属于基础题. 24.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 是奇函数,则 f(﹣x)=﹣f(x)

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∵a≠0,∴﹣x+b=﹣x﹣b,∴b=0(3 分) 又函数 f(x)的图象经过点(1,3), ∴f(1)=3,∴ ∴a=2(6 分) (2)由(1)知 当 x>0 时, 即 时取等号(10 分) ,∴ ,即 时取等号(13 分) (12 分) ,当且仅当 (7 分) , ,∵b=0,

当 x<0 时, 当且仅当

综上可知函数 f(x)的值域为

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用,转化函数研究性质是问题的关键.

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