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2015年全国卷1文科数学试题


2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。 (1) 已知集合 A ? {x | x ? 3n ? 2, n ? N}, B ? {6,8,12,14} ,则集合 A ? B 中元素的个数为 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2

(2)已知点 A(0,1) ,B(3,2) ,向量 AC =(-4,-3) ,则向量 BC = (A) (-7,-4) (B) (7,4) (C) (-1,4) (D) (1,4) (3)已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? i ? 1 ,则 z = (A)-2-i (B)-2+i (C)2-i (D)2+i (4)如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾 股数,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则 3 个数构成一组勾股数的 概率为 10 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 3 5 10 20 1 (5)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C:y?=8x 2 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个焦点,则|AB|= (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 (6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有 委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角 处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆 底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有

第 6 题图 A.14 斛 B.22 斛

C.36 斛

第 11 题图 D.66 斛

(7)已知 {an } 错误!未找到引用源。是公差为 1 的等差数列, Sn为{an }的前n项和

错误!未找到引用源。则 S8 ? 4S4 , a10 ?
(A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。
-1-

(C)10

(D)12 (8)函数 f ( x) ? cos(?x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x) 的单调递减区间为

1 3 (k? ? , k? ? ), k ? Z (A) 4 4 1 3 (2k? ? ,2k? ? ), k ? Z (B) 4 4 1 3 ( k ? , k ? ), k ? Z (C) 4 4 1 3 (2k ? ,2k ? ), k ? Z (D) 4 4

(9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01, 则输出的 n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

?2 x ?1 ? 2, x ? 1, f ( x) ? ? (10)已知函数 ,且 f (a) ? ?3, 则 ?? log2 ( x ? 1), x ? 1. 错误!未找到引用源。
f (6 ? a ) ?
7 5 3 1 (B)(C)(D)4 4 4 4 (11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何 体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16+20π ,则 r= (A)1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

(A)-

(12)设函数 y ? 2 x?a 的图像关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1,则 a= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)4

第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13) 在数列 {an } 中,a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn为{an }的前n项和,若Sn ? 126 ,则n ? .

( 14 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ax3 ? x ? 1 的 图 像 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 过 点 (2,7) , 则

a=

.
-2-

?x ? y ? 2 ? ?x ? 2 y ? 1 ? 0 (15) x, y 满足约束条件 ? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为

.

(16)已知 F 是双曲线

C : x2 ?

y2 ? 1的右焦点,P是C的左支上一点, A(0, 6 6 ). 8

当△ APF 周长最小时,该三角形的面积为

.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分 12 分)
2 已知a, b, c分别为?ABC内角A, B, C的对边, sin B ? 2s i n As i n C.

(Ⅰ) 若a ? b, 求 cos B; (Ⅱ) 设B ? 90? , 且a ? 2, 求?ABC的面积 .

(18) (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为菱形, G 为 AC 与 BD 的交点, BE ⊥平面 ABCD . (1)证明:平面 AEC ⊥平面 BED ;

?2?若?ABC ? 120?,AE ? EC, 三棱锥E ? ACD的体积为

6 ,求该三棱锥的侧面积 . 3

-3-

(19) (本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千 元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年 宣传费错误!未找到引用源。和年销售量错误!未找到引用源。 (i=1,2, · · · ,8) 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。

y

w
6.8

x
46.6 563

?
i ?1

8

(x1- x )2 289.8

?
i ?1

8

(w1- w )2 1.6

?
i ?1

8

(x1- x ) (y- y ) 1469

?
i ?1

8

(w1- w ) (y- y ) 108.8

表中 w1 = x 1,

, w =

1 8

?w1
i ?1

8

(1) 根据散点图判断, y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回
归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果回 答下列问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)??.. (un 的斜率和截距的最小二乘估计分别为: vn),其回归线 v= ? ? ? u

(20) (本小题满分 12 分)
-4-

已知过点A(0, 1)且斜率为k的直线l与圆C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1交于M , N两点 .
(1) 求 K 的取值范围; (2) 若 OM · ON =12,其中 0 为坐标原点,求︱MN︱.

(21).(本小题满分 12 分) a 设函数 f ( x ) ? e 2 x ? 。 x (Ⅰ)讨论 f ( x) 的导函数 f '( x ) 零点的个数;
2 (Ⅱ)证明:当 a ? 0 时, f ( x) ? 2a ? a ln 。 a

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则安所做的第一题计 分。作答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙ O 的直径,AC 是⊙ O 的切线,BC 交⊙ O 于点 E。 (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙ O 的切线; (Ⅱ)若 CA= 3 CE,求∠ACB 的大小。

-5-

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 :x= ?2 ,圆 C2 : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,以坐标原点 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求 C1

, C2 的极坐标方程。

(2)若直线 C3 的极坐标为 ? =

? (ρ ? R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面积 4

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,则 a>0. (1) 当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2) 若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

-6-

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