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新人教高三数学第一轮复习单元测试(七)—三角

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普通高中课程标准实验教科书——数学[人教版]

新课标高三数学第一轮复习单元测试( ) 新课标高三数学第一轮复习单元测试(7)—三角
说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分;答题时间 150 分钟.

第Ⅰ卷
一,选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的 括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分). 1.使 f ( x ) = sin( 2 x + θ ) + 3 cos(2 x + θ ) 为奇函数,且在 [0, 是 A.

π
4

] 上是减函数的 θ 的一个值
( )

π
3

B.

π
6

C.

2π 3

D.

5π 6
( )

2.果 A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则 A. A1 B1C1 和 A2 B2C2 都是锐角三角形 B. A1 B1C1 和 A2 B2C2 都是钝角三角形 C. A1 B1C1 是钝角三角形, A2 B2C2 是锐角三角形 D. A1 B1C1 是锐角三角形, A2 B2C2 是钝角三角形 3.设函数 f ( x) = sin 3x + | sin 3x |, 则f ( x) 为 A.周期函数,最小正周期为

( B.周期函数,最小正周期为 D.非周期函数 (

)

2π 3

π
3

C.周期函数,数小正周期为 2π

4. ABC 中,若 cos A + cos B = sin C ,则 ABC 的形状是 A.等腰三角形 5.函数 f(x)= B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形

)

sin x cos x 的值域是 1 + sin x + cos x

(

)

A.[- 2 -1,1]∪[-1,

2 -1]

B.[-

2 +1 2 1 , ] 2 2 2 +1 ,-1 ) ∪(-1, 2
2 1 ] 2
( )

C.[-

2 -1, 2

2 -1] 2

D.[-

6.对任意的锐角 α,β,下列不等关系中正确的是 A.sin(α+β)>sinα+sinβ B.sin(α+β)>cosα+cosβ

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C.cos(α+β)<sinα+sinβ D.cos(α+β)<cosα+cosβ ( ) 7.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=a:(a+1):2a,则 a 的取值范围是 A.a>2 B.a>

1 2

C.a>0

D.a>1 )

8.已知函数 f(x)=2sin x( >0)在区间[ A.

π π
3 4
,

]上的最小值是-2,则 的最小值等于( D.3

2 3

B.

3 2

C.2

9.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为 m,则 m 的范 围是 A. (1,2) B. (2,+∞) C.[3,+∞ ) D. (3,+∞) ) ( )

10.函数 y=A(sinωx+)(ω>0, | |< A. y = 4 sin( B. y = 4 sin(

π
2

,x∈R)的部分图象如图所示,则函数表达式为(

π
8

x+

π
4 ) 4 )

)

π
8

x 8

π
4

4 -2 o -4

y

C. y = 4 sin( D. y = 4 sin(

π

x

π

)

6

x

π
8

x+

π
4

11.设 a,b>0,且 2a+b=1,则 2 ab -4a2-b2 的最大值是 A. 2 +1 B.

( D. 2 -1

)

2 +1 2

C.

2 1 2

12.已知 f ( x) = a cos x b sin x cos x
2

a 1 π 3 π 的最大值是 ,且 f ( ) = ,则 f ( ) = 2 2 3 4 3
( )

A.

1 2

B.

3 4

C.

1 3 或 2 4

D. 0或

3 4

第Ⅱ卷
二,填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分). 13. 已知 sin θ cosθ =

1 π π ,且 < θ < ,则 cosθ sin θ的值为 8 4 2

14.某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45° 距离为 10 海里的 C 处,此时得知,该渔船沿北偏东 105° 方 向,以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速 21 海里,则舰艇到达渔船的最短时间是
___________.

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15.已知向量 a = (2 cos α , 2sin α ), b = (3cos β , 3sin β ) ,其夹角为 60 ,则直线 x cos α y sin α +
o

r

r

1 =0 2

与圆 ( x cos β ) + ( y + sin β ) =
2 2

1 的位置关系是_____ 2

__

_ .

16 . 已 知 f (θ ) = sin

2

θ + sin 2 (θ + α ) + sin 2 (θ + β ) , 其 中 α , β 为 参 数 , 且 0 ≤ α < β ≤ π , 当
时, f (θ ) 是一个与 θ 无关的定值.

α=

,β =

三,解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 74 分). 17. (12 分)在△ABC 中, 已知 y = 2 + cos C cos( A B ) cos C .
2

(I)若任意交换 A, B, C 的位置, y 的值是否会发生变化?试证明你的结论; (Ⅱ)求 y 的最大值. 18.(12 分)已知函数 f ( x ) = 4 sin (
2

π
4

+ x) 2 3 cos 2 x 1且给定条件P :"

π
4

≤x≤

π
2

".

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值及最小值; (Ⅱ)若又给条件 q: "|f(x)-m|<2"且 P 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围 19.(12 分)为进行科学实验,观测小球 A,B 在两条相交成 60° 角的直线型轨道上运动的情 况,如图(乙)所示,运动开始前,A 和 B 分别距 O 点 3m 和 1m,后来它们同时以每 分钟 4m 的速度各沿轨道 l 1 ,l 2 按箭头的方向运动.问:
(I)运动开始前,A,B 的距离是多少米?(结果保留三位有效数字). (Ⅱ)几分钟后,两个小球的距离最小? l2 B' B

A

A' 图(乙)

O

l1

20. (12 分)已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角 A,B,C 的大小. 21. (12 分) .函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在 x∈(0,7π)内取到一个最大值和一个最小值,且当 x=π 时,y 有最大值 3,当 x=6π 时,y 有最小值-3. (I)求此函数解析式; (Ⅱ)是否存在实数 ω,满足 Asin(ω m + 2m + 3 +φ)>Asin(ω m + 4 +φ)?若 存在,求出 m.若不存在,说明理由.
2 2

22.(14 分)某人在一山坡 P 处观看对面山项上的一座铁塔 如图所示,塔及所在的山崖可视为图中的竖 线 OC,塔高 BC80(米),山高 OB220(米),OA200(米),图中所示的山坡可视为直线 l 且点 P 在
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奎屯

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直线 l 上, l 与水平地面的夹角为α, tan α = ∠BPC 最大(不计此人的身高)?

1 t 试问,此人距山崖的水平地面多高时,观看塔的视角 2
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参考答案
一,选择题 1.C;2.D;3.A;4.C;5.D;6.D;7.B;8.B;9.B;10.A;11.C;12.D; 二,填空题 13.

3 π 2 2 ;14. 小时;15.相离;16. α = , β = π ; 3 2 3 3

三,解答题 17.(I)∵ y = 2 + cos C cos( A B ) cos 2 C = 2 cos( A + B ) cos( A B ) cos 2 C
= 2

1 1 (cos 2 A + cos 2 B ) cos 2 C = 2 2 cos 2 A 1 + 2 cos 2 B 1 cos 2 C 2 2

(

)

= 3 cos 2 A cos 2 B cos 2 C = sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ,

∴ 任意交换 A, B, C 的位置, y 的值不会发生变化. (II)将 y 看作是关于 cos C 的二次函数. y = 2 + cos C cos( A B ) cos 2 C
1 1 = cos C cos( A B ) + cos 2 ( A B ) + 2 . 2 4
2

所以,当 cos C = 1 cos( A B ) ,且 cos 2 ( A B ) 取到最大值 1 时,也即 A = B = C = π 时, y 取得最大值 2 3

9 . 4
也可有如下简单解法:

y = 2 + cos C cos( A B ) cos 2 C

≤ 2 + cos C cos C = 9 cos C 1 ≤ 9 .
2

2

4

2

4

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18.解:(Ⅰ)∵ f ( x ) = 2[1 cos(

π
2

+ 2 x)] 2 3 cos 2 x 1 = 2 sin 2 x 2 3 cos 2 x + 1

= 4 sin(2 x ) + 1 3
又∵ 即

π

π

4

≤x≤

π

2



π
6

≤ 2x

π
3



3 ≤ 4 sin(2 x ) + 1 ≤ 5 3
ymin=3

π

2π 3

∴ymax=5,

(Ⅱ)∵ | f ( x) m |< 2 又∵P 为 q 的充分条件 ∴

∴ m 2 < f ( x) < m + 2

m 2 ≤ 3 m + 2 ≥ 5

解得 3 ≤ m ≤ 5

19.解:(1)小球开始运动前的距离为:
AB = 32 + 12 2 × 3 × 1 × cos 60° = 7 ≈ 2.65(m) (2)设 t 分钟后,小球 A,B 分别运动到 A',B'处,则 AA ' = 4 t,BB' = 4 t.

当0≤ t ≤ 当t>

3 2 2 2 时, (A ' B') = (3 4 t ) + (1 + 4 t ) 2 (3 4 t ) (1 + 4 t ) cos 60° = 48t 2 24 t + 7 4

3 2 2 2 时, (A ' B') = (4 t 3) + (1 + 4 t ) 2 (4 t 3) (1 + 4 t ) cos 120° = 48t 2 24 t + 7 4
2

故 (A ' B') = 48t 2 24 t + 7 (t ≥ 0)
1 2 Q ( A ' B') = 48 t + 4 (t ≥ 0) 4 ∴当 t = 故 1 , (A ' B') min = 2( m) 4
2

1 分钟后两个小球的距离最小. 4 由 sin A(sin B + cos B ) sin C = 0

20.解法一

得 sin A sin B + sin A cos B sin( A + B ) = 0. 所以 sin A sin B + sin A cos B sin A cos B cos A sin B = 0. 即 sin B (sin A cos A) = 0. 因为 B ∈ (0, π ), 所以 sin B ≠ 0 ,从而 cos A = sin A.

3 . 从而 B + C = π . 4 4 3 由 sin B + cos 2C = 0得 sin B + cos 2( π B ) = 0. 4
由 A ∈ (0, π ), 知 A =

π

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即 sin B sin 2 B = 0.亦即 sin B 2 sin B cos B = 0.

1 π 5π π π 5π , B = ,C = . 所以 A = , B = , C = . 2 3 12 4 3 12 3π 解法二:由 sin B + cos 2C = 0得 sin B = cos 2C = sin( 2C ). 2 3π π 由 0 < B , c < π ,所以 B = 2C或B = 2C . 2 2 3π π 即 B + 2C = 或2C B = . 2 2
由此得 cos B = 由 sin A(sin B + cos B ) sin C = 0 得 sin A sin B + sin A cos B sin( A + B ) = 0. 所以 sin A sin B + sin A cos B sin A cos B cos A sin B = 0. 即 sin B (sin A cos A) = 0. 由 A ∈ (0, π ), 知A = 因为 sin B ≠ 0 ,所以 cos A = sin A.

3 3π 不合要求. . 从而 B + C = π ,知 B+2C= 4 4 2 1 π 5π π π 5π 再由 2C B = π ,得 B = , C = . 所以 A = , B = , C = . 2 3 12 4 3 12 T 21.解:(1)∵A=3 =5π T=10π 2 2π 1 1 π 3π 1 3π ∴ω = = π + = = ∴ y = 3 sin( x + ) T 5 5 2 10 5 10
(2)∵ω m + 2m + 3 +φ
2

π

1 3π π (m 1) 2 + 4 + ∈ (0, ) 5 10 2 3π π ω (m 1) 2 + 4 + ∈ (0, ) 10 2

而 y=sint 在(0,
2

π

2

)上是增函数
2

∴ω m + 2m + 3 +φ>ω m + 4 +φ

m 2 + 2m + 3 > m 2 + 4

22.解:如图所示,建立平面直角坐标系,则 A( 200,0) , B (0,220) , C (0,300) .

x 200 C 直线 l 的方程为 y = ( x 200) tan α ,即 y = . 2 B x 200 设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则 P ( x, ) ( x > 200 ) 2
由经过两点的直线的斜率公式
o

y

P α
A

x

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x 200 300 x 800 2 k PC = = , x 2x x 200 220 x 640 2 = k PB = . x 2x 由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得
k k PC tan BPC = PB = 1 + k PB k PC 160 64 x 2x = 2 x 800 x 640 x 288 x + 160 × 640 1+ 2x 2x

=

64 ( x > 200 ) 160 × 640 x+ 288 x
160 × 640 288 达到最小. x

要使 tan BPC 达到最大,只须 x + 由均值不等式 x +

160 × 640 160 × 640 288 ≥ 2 160 × 640 288 . 当且仅当 x = 时上式取等号. 故 x x 当 x = 320 时 tan BPC 最大. 320 200 这时,点 P 的纵坐标 y 为 y = = 60 . 2
由此实际问题知, 0 < ∠BPC <

π

2

,所以 tan BPC 最大时, ∠BPC 最大.故当此人距水平地面 60

米高时,观看铁塔的视角 ∠BPC 最大.

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