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数学奥林匹克高中训练题(36)(精编)


数学奥林匹克高中训练题(36)
第 一 试 一、选择题(满分 36 分,每小题 6 分) 1、给定三个二次三项式: P1(x)=x2+b1x+c1 , P2(x)=x2+b2x+c2 , P3(x)=x2+b3x+c3. 则方程 |P1(x)|+ P2(x)=| P3(x)| 至少有( )个根.

A.4

B.6
2 2

C.8

D.以上都不对

2、函数 f ( x) ? ? log 1 ( x ? ax ? a ) 在区间 ??,1 ? 3 上是减函数. 则 a 的取值范围是(

?

?



A.0≤a≤2 C.0≤a≤2 或 a≤-4

B. 2(1 ? 3) ≤a≤2 D. 2(1 ? 3) ≤a≤2 或 a≤-4

3、空间中有九个点,其中任四点不共面,在这九点间连接若干条线段,使图中不存在四面体. 则图中最多有 ( )个三角形

A.21

B.24

C.25

D.27

4、设 A={(x,y)| 0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)| x≤10,y≥2,y≤x-4}是直角坐标平面 xOy 上的点集. 则

?? x ? x y ? y ? ? C ? ?? 1 2 , 1 ? ( x1 , y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B ? 所成图形的面积是( 2 ? ?? 2 ?
A.6 B.6.5 C.2π D.7



5、a1,a2,…,a6 是和为 23 的六个两两不同的正整数. 那么 a1a2+ a2a3+…+ a5a6+ a6a1 的最小值为(



A.62
?

B.64

C.65
2 2

D.67

6、 设 a ? R , A ? ?( x, y ) ( x ? 1) ? ( y ? 2) ?

? ?

4? ? 与 B={(x, y)||x-1|+2|y-2|≤a}是直角坐标平面 xOy 内的点 5?

集. 则 A ? B 的充要条件是(



A.a≥2

B.a≥ 5

C.a≥ 6

D.a≥3

二、填空题(满分 54 分,每小题 9 分) 1、平坦的桌面上,放有半径分别 1,2,2 的三个木球,每球与桌面相切,且与其余两球外切. 另外,在桌面上 还有一个半径小于 1 的小木球在三球之间,与桌面相切,且与三木球都外切 . 那么,这个小木球的半径 为 .
k k ≥0 成 a1k ? a2 ? ? ? an

2、设 a 1 ≥ a 2 ≥ … ≥ a n 是 满 足 下 列 条 件 的 n 个 实 数 : 对 任 何 整 数 k > 0 , 有 立. 那么,p=max{|a1|, |a2|,…,|an|}= .

3、 m 个互不相同的正偶数与 n 个互不相同的正奇数的和为 117. 对于所有这样的 m 与 n, 3m+2n 的最大值



.
2 2

4 、已知点( a , b )在曲线 arcsinx = arccosy 上运动,且椭圆 ax 2 + by 2=1 在圆 x ? y ? 括两者相切的情形). 那么,arcsinb 的取值范围为 5、不等式 . 的一些不相交的区间的并集.

2 的外部(包 3

1 2 3 ? ? 的解集,是总长为 x ?1 x ? 2 2
个不同的三位数.

6、在四张卡片的正反面上分别写有 0 与 1,0 与 2,3 与 4,5 与 6,将其中任三张并排放在一起组成三位数, 总共可得

三、(本小题满分 20 分)证明: (1)对于任何 x,数|sinx|与|sin(x+1)|中至少有一个大于 (2)

1 ; 3

| sin10 | | sin11| | sin12 | | sin 29 | 1 ? ? ?? ? ? 10 11 12 29 6

四、(本小题满分 20 分)通过四面体 ABCD 的棱 AD 和 BC 的中点 K、N 作平面,交棱 CD 点 M,交棱 AB 于 点 L. 证明: (1)|DM|∶|MC|=|AL|∶|LB|; (2)面积 S△KLN=S△KMN.

五、 (本小题满分 20 分)在复平面上有三个点: c1=a+bi , c2= m+bi , c 3=a+ni ,其中 a > m , n>b,C1C2C3 (这里 Ci 表示复数 ci 对应的点)组成一个三角形. 证明:满足

1 1 1 ? ? ? 0 的复数 z 所代表的点 Z,位于这个三角形的内部. z ? c1 z ? c2 z ? c3

第 二 试 一、(本小题满分 50 分)Rt△CDF 中,∠D=90°,DO⊥CF,O 为垂足. 以 C 为圆心、CD 为半径作一圆,

AA ′ 为过 O 点的圆 C 的动弦, E 为直线 A ′ A 上一点,且 EF ⊥ CF.
证明:由 A 、 A ′ 至 EF 的距离的倒数和为定值 .

二、(本小题满分 50 分) (1)当 0≤x≤1 时,求函数 h( x) ? ( 1 ? x ? 1 ? x ? 2) ? ( 1 ? x 2 ? 1) 的取值范围; (2)证明:当 0≤x≤1 时,存在正数β,使得不等式 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 时的最小正数β.

xa

?

成立的最小正数α=2. 并求此

三、 (本小题满分 50 分) ( 1)对于三点 A1(x1, y 1), A2(x2, y2), A3(x3, y3)组成的三角形,有 x1<x2<x3. 证明:当 d 适当小时,点 (x2, y2- d)及点 (x2, y 2+d),一在形内,一在形外 . ( 2) S 是平面上 n(n≥3)个点 Ai 组成的集合, S 中任三点不共线 . 证明:平面上存在一个含有 2n- 5 个点的集合 P,使 S 中任意三点所组成的三角形内部至少有一个 P 集中的点 . 试问:对于怎样的 n 点,这样的 P 集的点数尚可减少?


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