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随机变量及其分布试卷2


命题人:罗老师

第( )单元检测题 2011/12/7 学号________. 姓名________.

1.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回 地每次摸取一个球,定义数列 {an } : ...
??1 第n次摸取红球 ,如果 S 为数列 {a } 的前 n 项和,那么 S ? 3 的概率为 an ? ? 7 n n ?1 第n次摸取白球
2 5 1 2 A. C7 ( ) ? ( )5 3 3

B. C72 ( 2 ) 2 ? ( 1 )5
3 3

1 5 1 2 C. C7 ( ) ? ( )5 3 3

2 3 1 2 D. C7 ( ) ? ( )5 3 3

解答:B
? ?1,A发生, 2.设一随机试验的结果只有 A 和 A ,且 P(A)=m,令随机变量 ξ=? 则 ξ 的方 ?0,A不发生. ? 差 D(ξ)等于 A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m) 解答:D ξ 的分布列为 ξ 1 0 P m 1-m ∴E(ξ)=m, D(ξ)=(1-m)2× m+(0-m)2× (1-m)=m(1-m). 1 3.设随机变量 ξ~N(2,2),则 D( ξ)的值为 2 1 A.1 B.2 C. D.4 2 解答:C ∵ξ~N(2,2),∴D(ξ)=2. 1 1 1 1 ∴D( ξ)= 2D(ξ)= × 2= . 2 2 4 2

4.若 X~B(5,0.1),则 P(X≤2)等于 A.0.665 B.0.00856 C.0.91854 D.0.99144 解答:D P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) 0 2 =C0 0.95+C1 0.94+C2 0.93=0.99144. 50.1 × 50.1× 50.1 × 5.已知随机变量 X 和 Y,其中 Y=12X+7,且 E(Y)=34,若 X 的分布列如下表,则 m 的值 为 X 1 2 3 4 1 1 P m n 4 12 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 4 6 8 解答:A 9 1 1 由 Y=12X+7,则 E(Y)=12E(X)+7=34,从而 E(X)= ,∴E(X)=1× +2× m+3× n+4× = 4 4 12 9 1 1 1 ,又 m+n+ + =1,联立求解得 m= . 4 12 4 3 6.若事件 E 与 F 相互独立,且 P ? E ? ? P ? F ? ?

1 ,则 P ? E I F ? 的值等于 4

A. 0 解答:B

B.

1 16

C.

1 4

D.

1 2 1 1 1 ? = 4 4 16

【解析】 P ? E I F ? = P ? E ? ? P ? F ? ?

3 7.若随机变量 X1~B(n,0.2),X2~B(6,p),X3~B(n,p),且 E(X1)=2,D(X2)= ,则 σ(X3) 2 的值是 A.0.5 B. 1.5 C. 2.5 D.3.5 解答:C ∵X1~B(n,0.2), ∴E(X1)=0.2n=2,∴n=10. 又 X2~B(6,p), 3 1 ∴D(X2)=6p(1-p)= ,∴p= . 2 2 1 又 X3~B(n,p),∴X3~B(10, ), 2 ∴σ(X3)= D?X3?= 1 1 10× × = 2.5. 2 2

8.下列函数是正态分布密度函数的是 2 1 ?x-μ? 2π x2 A.f(x)= e ,μ,σ(σ>0)都是实数 B.f(x)= e- 2 2σ 2π 2 2πσ 2 2 ?x-1? 1 1 x C.f(x)= e- D.f(x)= e 4 2 2π 2π 2 解答:B 9.已知随机变量 ξ 只能取三个值 x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则该等差数列公差的 取值范围是 1 1 1 A.[0, ] B.[- , ] C.[-3,3] D.[0,1] 3 3 3 解答:B 10.若 P(ξ≤n)=1-a,P(ξ≥m)=1-b,其中 m<n,则 P(m≤ξ≤n)等于 A.(1-a)(1-b) B.1-a(1-b) C.1-(a+b) D.1-b(1-a) 解答:C 11.右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源 信号源 在同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接 收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三 组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所 有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器 能同时接收到信号的概率是 4 1 A. B. 45 36 4 8 C. D. 15 15 解答:D 12.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各 10 株的分蘖数据,计算出样本方差分别为 D(X 甲) =11,D(X 乙)=3.4.由此可以估计 A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐

C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较 解答:B ∵D(X 甲)>D(X 乙),∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐. 13.某次抽样 调查结果表明,考生的成 绩(百分制) 近似服从正态分布,平均成绩为 72 分,96 分以上的考生占考生总数的 2.3%, 则考生成绩在 60 至 84 分 之间的概率为________________. (参考数据: ??1? =0.8413, ??2? =0.9770, ??3? =0.9987) 解答:0.6826 14.一袋中装有 6 个同样大小的黑球,编号为 1,2,3,4,5,6.现从中随机取出 2 个球,以 ξ 表示 取出的球的最大号码,则 ξ=6 表示的试验结果是 ________________________________________________________________________. 解答:(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6) 15.在 8 件产品中,有 3 件次品,5 件正品,从中任取一件,取到次品就停止,抽取次数为 ξ,则 ξ=3 表示的试验结果是________. 解答:共抽取 3 次,前 2 次均是正品,第 3 次是次品 16.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为

3 4 和 ,且各次射击相互独立.若甲、乙 4 5

各射击一次,则甲命中但乙未命中目标的概率是_________;若按甲、乙、甲?的次序轮流 射击,直到有一人击中目标就停止射击,则停止射击时甲射击了两次的概率是_________. 解答:

3 19 ; 20 400

1 17.设随机变量 ξ 服从二项分布,即 ξ~B(n,p),且 E(ξ)=3,p= ,则 n=________,D(ξ) 7 =________. 18 解答:21 7 18.某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况,因此可以把统考成绩作为总体,设平 均成绩 ? ? 480 ,标准差 ? ? 100 ,总体服从正态分布,若全 市重点校录取率为 40%,那 么重点录取分数线可能划在(已知 φ(0.25)=0.6)___________分。 解答:505 19. 已知 y=2ξ 为离散型随机变量, y 的取值为 1,2, …, 10, 则 ξ 的取值为________________. 1 3 5 7 9 解答: ,1, ,2, ,3, ,4, ,5 2 2 2 2 2 20.若随机变量 ? 满足 ? ~ B(n, p) ,且 E? ? 4, D? ? 解答:10 ,0.4 21.事件 A . B . C 相互独立,如果 P ( A · B ) =

12 ,则 n=_______,p=__________ 5

1 1 , P ( B ·C ) = , P ( A · B ·C ) = 6 8

1 ,则 P ( A · B ) =_________, P ( A + B ) = _________. 8 1 5 解答: ; 3 6
22.有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷时,各自的成绩在 80 分、90 分、100 分的概率分布大致如下表所示: 甲: 80 90 100 分数 X 0.2 0.6 0.2 概率 P

乙: 分数 Y 概率 P 试分析两名学生的成绩水平. 80 0.4 90 0.2 100 0.4

解答:∵E(X)=80× 0.2+90× 0.6+100× 0.2=90, 2 2 D(X)=(80-90) × 0.2+(90-90) × 0.6+(100-90)2× 0.2=40, E(Y)=80× 0.4+90× 0.2+100× 0.4=90, D(Y)=(80-90)2× 0.4+(90-90)2× 0.2+(100-90)2× 0.4=80, ∴E(X)=E(Y),D(X)<D(Y), ∴甲生与乙生的成绩均值一样,甲的方差较小,因此甲生的学习成绩较稳定. 23.某灯泡厂生产的白炽灯寿命 ξ(单位:h)服从正态分布 N(1000,302),要使灯泡的平均寿命 为 1000 h 的概率为 99.7%,问灯泡的平均寿命应控制在多少小时以上?

解答: 因为灯泡寿命服从 ξ~N(1000,302), 故 ξ 在(1000-3× 30,1000+3× 30)内的概率为 99.7%, 即在(910,1090)内取值的概率为 99.7%,故灯泡的平均寿命应控制在 910 小时以上. 24.已知某运动员投篮命中率 p=0.6. (1)求一次投篮命中次数 ξ 的期望与方差; (2)求重复 5 次投篮时,命中次数 η 的期望与方差.

解答:(1)投篮一次命中次数 ξ 的分布列为 ξ 0 1 P 0.4 0.6 则 E(ξ)=0× 0.4+1× 0.6=0.6, D(ξ)=(0-0.6)2× 0.4+(1-0.6)2× 0.6=0.24. (2)由题意,重复 5 次投篮,命中的次数 η 服从二项分布,即 η~B(5,0.6). 由二项分布期望与方差的计算结论,有 E(η)=5× 0.6=3, D(η)=5× 0.6× 0.4=1.2. 25. 甲、 乙两队员进行乒乓球单打比赛, 规定采用“七局四胜制”, 用 X 表示需要比赛的局数, 写出 X 所有可能的取值,并写出表示的试验结果.

解答:根据题意可知 X 的可能取值为 4,5,6,7. X=4 表示共打了 4 局,甲、乙两人有 1 人连胜 4 局. X=5 表示在前 4 局中有 1 人输了一局,最后一局此人胜出. X=6 表示在前 5 局中有 1 人输了 2 局,最后一局此人胜出. X=7 表示在前 6 局中,两人打平,最后一局有 1 人胜出. 26.(文)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束。 假设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (Ⅰ)求再赛 2 局结束这次比赛的概率; (Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率。 解答: (Ⅰ)设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A,则

A ? A3 ? A4 ? B3 ? B4 ,由于各局比赛结果相互独立,故 P( A) ? P( A3 ? A4 ? B3 ? B4 ) ? P( A3 ? A4 ) ? P( B3 ? B4 ) ? P( A3 ) P( A4 ) ? P( B3 ) P( B4 )
? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.52 。
(Ⅱ)记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B,因前两局中,甲、乙各胜 1 局,故甲获得这次 比赛胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜 2 局,从而

B ? A3 ? A4 ? B3 ? A4 ? A5 ? A3 ? B4 ? A5 ,由于各局比赛结果相互独立,故
P( B) ? P( A3 ? A4 ? B3 ? A4 ? A5 ? A3 ? B4 ? A5 )
? P ( A3 ? A4 ) ? P ( B3 ? A4 ? A5 ) ? P ( A3 ? B4 ? A5 ) ? P ( A3 ) P ( A4 ) ? P ( B3 ) P ( A4 ) P ( A5 ) ? P ( A3 ) P ( B4 ) P ( A5 ) . ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.648
27.某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随 机(即等可能)为你打开一个通道.若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、3 号通 道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到 过的通道,直至走出迷宫为止.令 ξ 表示走出迷宫所需的时间. (1)求 ξ 的分布列; (2)求 ξ 的数学期望.

解答:(1)ξ 的所有可能取值为 1,3,4,6. 1 1 1 1 P(ξ=1)= ,P(ξ=3)= ,P(ξ=4)= ,P(ξ=6)= ,所以 ξ 的分布列为 3 6 6 3 ξ 1 3 4 6 1 1 1 1 P 3 6 6 3 1 1 1 1 7 (2)E(ξ)=1× +3× +4× +6× = (小时). 3 6 6 3 2

28.在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N ?70,100? .已 知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 12 名. (Ⅰ)试问此次参赛的学生总数约为多少人? (Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生,试问设奖的分数线约为多少分? 可供查阅的(部分)标准正态分布表 ? ?x0 ? ? P?x ? x0 ?

x0
1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1

0 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821

1 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826

2 0.8888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830

3 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834

4 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838

5 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842

6 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846

7 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850

8 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854

9 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857

解答: (Ⅰ)设参赛学生的分数为 ? ,因为 ? ~N(70,100),由条件知, P( ? ≥90)=1-P( ? <90)=1-F(90)=1- ? (

90 ? 70 ) =1- ? (2)=1-0.9772=0.228. 10

这说明成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生人数约占全体参赛人数的 2.28%,因此, 参赛总人数约为

12 ≈526(人) 。 0.0228 x ? 70 50 )= =0.0951, 10 526

(Ⅱ)假定设奖的分数线为 x 分,则 P( ? ≥x)=1-P( ? <x)=1-F(x)=1- ? ( 即? (

x ? 70 x ? 70 ) =0.9049,查表得 ≈1.31,解得 x=83.1. 10 10

故设奖得分数线约为 83.1 分。 29.袋中有形状大小完全相同的 4 个红球,3 个黑球,从袋中随机取球,设取到一个红球得 2 分,取到一个黑球得 1 分,从袋中任取 4 个球. (1)求得分 X 的分布列; (2)求得分大于 6 分的概率.

解答:(1)从袋中随机取 4 个球有 1 红 3 黑,2 红 2 黑,3 红 1 黑,4 红四种情况,分别得分 3 2 C1 4 C2 4C3 4C3 为 5 分,6 分,7 分,8 分,故 X 的可能取值为:5,6,7,8.P(X=5)= 4 = ,P(X=6)= 4 C7 35 C7 1 0 18 C3 12 C4 1 4C3 4C3 = ,P(X=7)= 4 = ,P(X=8)= 4 = .故所求分布列为: 35 C7 35 C7 35 X 5 6 7 8 4 18 12 1 P 35 35 35 35 (2)根据随机变量 X 的分布列,可以得到得分大于 6 分的概率为:P(X>6)=P(X=7)+P(X= 12 1 13 8)= + = . 35 35 35 30.据宜昌市气象部门统计,宜昌地区每年最低气温在 ? 2 C 以下的概率为
0

1 3

(1)设 ? 为宜昌地区从 2005 年到 2010 年最低气温在 ? 2 C 以下的年数,求 ? 的分布列。
0

(2)设 ? 为宜昌地区从 2005 年到 2010 年首次遇到最低气温在 ? 2 C 以下经过的年数, 求? 的 分布列。
0

(3)求宜昌地区从 2005 年到 2010 年至少遇到一次最低气温在 ? 2 C 以下的概率。
0

0 解答:(1)将每年的气温情况看做一次试验 ,则遇到最低气温在 ? 2 C 以下的概率 为

1 ,且 3

每次实验 结果是相互独立的。 故 ? ~ B? 6, ? ,以此为基础求 ? 的分布列

? ?

1? 3?

?1? ? 2? 所以 ? 的分布列为 P?? ? k ? ? C ? ? ? ? , k ? 0,1,2,3,4,5,6 ? 3? ? 3? (2)由于? 表示宜昌地区从 2005 年到 2010 年首次遇到最低气温在 ? 2 0 C 以下经过的年数, 显然? 是随机变量,其取值为 0,1,2,3,4,5, 其中 ? ? ? k?(k ? 0,1,2,3,4,5) 表示前 k 年没有遇到最低气温在 ? 2 0 C 以下的情况,但在第 k ? 1 年遇到了最低气温在 ? 2 0 C 以下的情况,故各概率应按独立事件同时发生计算。
k 6

k

6? k

?2? 1 P?? ? k ? ? ? ? , (k ? 0,1,2,3,4,5) ?3? 3 而? ? ? 6?表示这 6 年没有遇到最低气温在 ? 2 0 C 以下的情况,
故其概率为 P?? ? 6? ? ? ? ,因此? 的分布列为:

k

?
P

? 2? ? 3?

6

0

1

2

3
2

4
3 4

5
5

6
6

1 ?2? 1 ?2? ?2? ?? ? ?? ? ? ? 3 ?3? 3 ?3? ?3? 0 (3)宜昌地区从 2005 年到 20 10 年至少遇到一次最低气温在 ? 2 C 以下的事件为 ?? ? 1? ? ?? ? 1或? ? 2,?, ? ? 6? 665 ? 2? 所以 P?? ? 1? ? ? P?? ? k ? ? 1 ? P?? ? 0? ? 1 ? ? ? ? ? 0.9122 729 ? 3? i ?1
6 6

1 3

1 2 ? 3 3

1 ?2? ?? ? 3 ?3?

1 ?2? ?? ? 3 ?3?

31. (文)某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的, 遇到红灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. 3

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率. 解答: (Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等 于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯” ,所以事件 A 的概率为 P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ?

? ?

1? ? 3? ?

1? 1 4 . ? 3 ? 3 27

(Ⅱ)设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B,这名学生在 上学路上遇到 k 次红灯的事件 Bk ? k ? 0,1, 2? .

? 2 ? 16 则由题意,得 P ? B0 ? ? ? ? ? , ? 3 ? 81 32 24 1?1? ? 2? 2 ?1? ? 2? P ? B1 ? ? C4 ? ? ? ? ? , P ? B2 ? ? C4 ? ? ? ? ? . 81 ? 3 ? ? 3 ? 81 ? 3? ? 3?
由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯” ,
1 3 2 2

4

∴事件 B 的概率为 P ? B ? ? P ? B0 ? ? P ? B1 ? ? P ? B2 ? ?

8 . 9

32.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准 是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时的收费标准为 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) 。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的 概率分别为

1 1 1 1 , ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 , ;两人租车时间都不 4 2 2 4

会超过四小时。 (1)求出甲、乙所付租车费用相同的概率; (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E? (文) (1)分别 求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率; (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率.

解答:(1)所付费用相同即为 0, 2, 4 元。

1 1 1 ? ? , 4 2 8 1 1 1 付 2 元的概率为 P2 ? ? ? , 2 4 8 1 1 1 付 4 元的概率为 P3 ? ? ? 4 4 16
付 0 元的概率为 P 1 ? 则所付费用相同的概率为 P ? P 1?P 2 ?P 3 ?

5 16

………………………………4 分

(2)设甲,乙两个所付的费用之和为 ? , ? 可能取的值有 0, 2, 4,6,8

P(? ? 0) ? P(? P(? P(? P(?

1 8 1 1 1 1 5 ? 2) ? ? ? ? ? 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 ? 4) ? ? ? ? ? ? ? 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 ? 6) ? ? ? ? ? 4 4 2 4 16 1 1 1 ? 8) ? ? ? 4 4 16

甲、乙两人所付的租车费用之和 ? 的分布列为:

?
P

0

2

4

6

8

5 5 3 1 16 16 16 16 1 5 5 3 1 5 5 9 1 7 ? ? ? ? ? 所以随机变量 ? 的期望 E? =0 ? +2 ? +4 ? +6 ? +8 ? 8 16 16 16 16 8 4 8 2 2
………………………………………………12 分 (Ⅰ)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件 A、B,则 1 1 1 1 1 1 P( A) ? 1 ? ? ? , P( A) ? 1 ? ? ? . 4 2 4 2 4 4 1 1 答:甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 、 . 4 4 (Ⅱ)记甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元为事件 C,则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 P(C) ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? ? ) ? . 4 2 4 4 2 2 2 4 4 2 4 4 4 3 答:甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率为 4 33.袋中有 1 个白球和 4 个黑球,每次从中任取 1 个球,每次取出的黑球不再放回,直到取 出白球为止,求取球次数 X 的分布列.

1 8

解答:X 的可能取值为 1,2,3,4,5,则第 1 次取到白球的概率为 1 P(X=1)= , 5 第 2 次取到白球的概率为 4 1 1 P(X=2)= × = , 5 4 5 第 3 次取到白球的概率为 4 3 1 1 P(X=3)= × × = , 5 4 3 5 第 4 次取到白球的概率为

4 3 2 1 1 P(X=4)= × × × = , 5 4 3 2 5 第 5 次取到白球的概率为 4 3 2 1 1 1 P(X=5)= × × × × = , 5 4 3 2 1 5 所以 X 的分布列为 X P 1 1 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5

34.抛掷一颗正方体骰子,用随机变量 ξ 表示出现的点数,求: (1)ξ 的分布列; (2)P(ξ>4)及 P(2≤ξ<5).

解答:(1)ξ 所有可能的取值为 1,2,3,4,5,6.因为骰子是均匀的,所以出现每一点数的概率均为 1 ,故 ξ 的分布列为: 6 ξ P 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6

1 (2)P(ξ>4)=P(ξ=5)+P(ξ=6)= . 3 P(2≤ξ<5)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4) 1 1 1 1 = + + = . 6 6 6 2


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