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北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题:不等式(含答案)


北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:不等式
一、选择题

?x ? y ? 1 ? 2 x? y 1 . (2013 届北京丰台区一模理科)已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则 e 的最大值是 ( ?x ? y ? 1 ?
A. e
3



B. e

2

C.1

D. e

?4

2 . 2013 届北京丰台区一模理科) ( 已知 a ? Z , 关于 x 的一元二次不等式 x 2 ? 6 x ? a ? 0 的解集中有且仅有 3 个整数,

则所有符合条件的 a 的值之和是 A.13 B.18

( C.21 D.26



? x ? 1, ? 3 . (2013 届北京海滨一模理科)不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0, 表示面积为 1 的直角三角形区域,则 k 的值为 ?kx ? y ? 0 ?
A. ?2 B. ?1 C. 0 D. 1

4 (2013 届门头沟区一模理科) . 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是减函数, 且函数 y ? f ( x ? 2) 的图象关于点 (?2, 0)

成中心对称,若 s , t 满足不等式组 ?

? f (t ) ? f (s ? 2) ? 0 ,则当 2 ? s ? 3 时, 2s ? t 的取值范围是 ? f (t ? s) ? 0



) (B) [3,9] (C) [4, 6] D. [4,9]

A. [3, 4]

5 . (北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习(二)数学(理)试题 )已知 z ? 2 x ? y, x, y 满足

?y ? x ? ? x ? y ? 2 ,且z的最大值是最小值的4倍,则m的值是 ?x ? m ?
A.





1 4

B.

1 5

C.

1 6

D.

1 7
) 设 a ? 0, b ? 0. 若

6 .( 北 京 市 东 城 区 普 通 校 2013 届 高 三 3 月 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题

1 1 3是3a 与3b的等比中项,则 ? 的最小值为 a b
A.8 B.4 C.1 D.





1 4

? x ? 0, ? 7 . (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)已知 x , y 满足不等式组 ? y ? 0, 当 3 ? s ? 5 时, ? x ? y ? s, ? ? y ? 2 x ? 4. ?
目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是 A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]
2 2





8 .北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题) ( 已知 a , b 是正数, 且满足 2 ? a ? 2b ? 4 . 那么 a ? b

的取值范围是 A. ( ,

( B. ( ,16)



4 16 ) 5 5

4 5

C. (1,16)

D. (

16 , 4) 5

? x ? y ? 4, ? 9 . (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 设不等式组 ? y ? x ? 0, 表示的平面区域为 D . ) ?x ? 1 ? 0 ?
若圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? r 2
2 2

?r ? 0? 不经过区域 D 上的点,则 r 的取值范围是





? C. ?3

A. 2 2 ,2 5

2 ,2

? 5?

? ? D. ?0,2 2 ? ? ?2
B. 2 2 ,3 2

5 ,??

?
.

二、填空题 10. (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:

第一次提价 p% ,第二次提价 q % ;方案乙:每次都提价

p?q % ,若 p ? q ? 0 ,则提价多的方案是 2

11. (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学)已知点 P(2, t ) 在不等式组 ?

? x ? y ? 4 ? 0, 表示的 ?x ? y ? 3 ? 0

平面区域内,则点 P(2, t ) 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 距离的最大值为____________.

?x ? 0 ? (k为常数)若 , 12. (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学) 已知 x, y满足 ? y ? x ?2 x ? y ? k ? 0 ?
z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k=_____

? 2 x ? y ? 4, ? 13. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )已知 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4, 则 z ? x ? y ? x ? 0,y ? 0 ?

的最大值为
14. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )若 x ? 1 ? 0 ,则 x ?

1 的最小值为 x ?1



15. (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题

)已知直线 y ? x ? b 与平面区域 C: ?

?| x |? 2, 的边界 | y |? 2 ?

交于 A,B 两点,若 AB ? 2 2 ,则 b 的取值范围是________.

? x …0, ? 16.【解析】北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )若关于 x , y 的不等式组 ? y …x, ( (k ? kx ? y ? 1 …0 ?
是常数)所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,则 k ? .

? x ? 0, ? 17.【解析】北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )点 P ( x, y ) 在不等式组 ? x ? y ? 3, 表示的平 ( ? y ? x ?1 ?
面区域内,若点 P ( x, y ) 到直线 y ? kx ? 1 的最大距离为 2 2 ,则 k ? ___.

? y ? x, ? 18.【解析】北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知不等式组 ? y ? ? x, ( 表示的平面区域 S ? x?a ?
的面积为 4 ,则 a ? ; .

若点 P( x, y) ? S ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为

19. (北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入运营,
* 据市场分析每辆客车运营前 n (n ? N ) 年的总利润 S n(单位: 万元) n 之间的关系为 S n ? ?(n ? 6) ? 11 . 与

2

当每辆客车运营的平均利润最大时, n 的值为
三、解答题

.

20. (2013 届北京市延庆县一模数学理) A 是由定义在 [ 2,4] 上且满足如下条件的函数 ? (x) 组成的集合:

(1)对任意 x ? [1,2] ,都有 ? (2 x) ? (1,2) ; (2)存在常数 L(0 ? L ? 1) ,使得对任意的 x1 , x 2 ? [1,2] ,都有 | ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |

? L | x1 ? x2 | .
(Ⅰ)设 ? ( x) ? 3 1 ? x , x ? [2,4] ,证明: ? ( x) ? A ; (Ⅱ)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1,2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x0 是唯一的;

(Ⅲ)设 ? ( x) ? A ,任取 xn ? (1,2) ,令 x n ?1 ? ? (2 x n ), n ? 1,2,? ? ?, 证明:给定正整数 k ,对任意的正整数 p , 不等式 | xk ? p ? xk |?

Lk ?1 | x2 ? x1 | 成立. 1? L

北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:不等式参考答案 一、选择题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

B C D D A B 【答案】D

解: 当 s ? 3 时,对应的平面区域为阴影部分, ,

由 z ? 3x ? 2 y 得

3 z 3 z ? x ? y ? 3, y ?? x? , 平移直线由图象可知当直线经过点 C 时, 直线 y ? ? x ? 的截距最大, 此时 ? 解 2 2 2 2 y ? 2x ? 4 ?
得?

?x ? 1 ,即 C (1, 2),代入 z ? 3x ? 2 y 得 z ? 7 。当 s ? 5 时,对应的平面区域为阴影部分 ODE,由 ?y ? 2

3 z 3 z z ? 3x ? 2 y 得 y ? ? x ? ,平移直线由图象可知当直线经过点 E 时,直线 y ? ? x ? 的截距最大,此 2 2 2 2

?x ? 0 ?x ? 0 时? 解得 ? ,即 E (0, 4) ,代入 z ? 3x ? 2 y 得 ?y ? 4 ? y ? 2x ? 4
值的变化范围是 7 ? z ? 8 ,即 [7,8] ,选 D.

z ? 8 。所以目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大


8.

【答案】B

解:原不等式组等价为 ?

?2 ? a ? 2b ,做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分, ?a ? 2b ? 4

,a ? b 表示区域内的动点 P (a, b) 到原点距离的平方, 由图象可知当 P 在 D
2 2
2 2 2 2 2 点时,a ? b 最大, 此时 a ? b ? 4 ? 16 , 原点到直线 a ? 2b ? 2 ? 0 的距离最小, d ? 即

?2 1 ? 22

?

2 , 5

所以 a 2 ? b 2 ? d 2 ?

4 4 2 2 ,即 a ? b 的取值范围是 ? a 2 ? b 2 ? 16 ,选 B. 5 5

9.

答案 D 不等式对应的区域为 ABE.圆心为 (?1, ?1) ,区域中,A 到圆心的距离最小,B 到圆心的距离最大,所以要 使圆不经过区域 D,则有 0 ? r ? AC 或 r ? BC .由 ?

?x ? 1 ?x ? 1 ?x ? 1 ?x ? 1 得? ,即 A(1,1) .由 ? ,得 ? , ? y ? ?x ? 4 ?y ? 3 ?y ? x ?y ?1
2或 r ? 2 5 , 即 r 的 取 值 范 围 是

即 B(1,3) . 所 以 AC ? 2 2 , BC ? 2 5 , 所 以 0 ? r ? 2

(0, 2 2) ? (2 5, ??) ,选 D.

二、填空题 10. 【答案】乙

解 : 设 原 价 为 1 , 则 提 价 后 的 价 格 : 方 案 甲 : (1 ? p%)(1 ? q%) , 乙 : ( 1?

p?q 2 % ), 因 为 2


( 1? p % ) ?1 (q ( ?p 1
11. 【答案】4

1? p % 1 q % ? p q ? %) ? ? ? ? 1 % p?q?0 , 因 为 , 所 2 2 2 p?q p?q 2 ? q% ? ) ? ( 1 ,即 (1% p%)(1 ? q%) ? (1 ? ? ) 1 % ,所以提价多的方案是乙。 %) 2 2

【解析】 因为点 P(2, t ) 可行域内, 所以做出可行域, 由图象可知当当点 P 位于直线 x ? y ? 3 ? 0 时, P(2,1) , 即 此时点 P 到直线的距离最大为 d ?

3 ? 2 ? 4 ?1 ? 10 3 ?4
2 2

?

20 ? 4。 5

12. 【答案】 ?6

?x ? 0 ? y ? x 的图象。因为 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,所以此时 x ? 3 y ? 8 ,说明此时直线经过区域 【解析】做出 ?

内截距做大的点,

?y ? x ? x ? 3 y ? 8 ,解得 ,即直线 2 x ? y ? k ? 0 也经过点 B 。由 ?

?x ? 2 ? ? y ? 2 ,即 B(2, 2) ,代入直线 2 x ? y ? k ? 0 得, k ? ?6 。
8 13. 【答案】 3

【 解析】作出不等式组对应的可行域

,由 z ? x ? y 得 y ? ? x ? z ,平

移直线 y ? ? x ? z ,由图象可知当直线 y ? ? x ? z 经过点 B 时,直线 y ? ? x ? z 的截距最大,此时 z 最大。

4 ? ?x ? 3 4 4 8 ?2 x ? y ? 4, 4 4 ? 由? 解得 ? ,即 B ( , ) ,代入 z ? x ? y 得 z ? ? ? 。 3 3 3 3 3 ? x ? 2 y ? 4, ? y ? 4 ? 3 ?
14. 【答案】



解析】由 x?

1 1 1 ? x ?1? ?1 得 , 因 为 x ? 1 ? 0 , 所 以 ?0 ,根据均值定理得 x ?1 x ?1 x ?1

x?

1 1 1 1 2 ? x ?1? ? 1 ? 2 ( x ? 1) ? ?1 ? 1 , 当 且 仅 当 x ? 1 ? , 即 ( x ? 1 )? , 即 1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
1 的最小值为 1. x ?1

x ? 1 ? 1x ? 时取等号,所以 x ? , 0
15. 【答案】 [?2, 2]

解:不等式 ?

?| x |? 2, 对应的区域为 ?| y |? 2

,因为直线 y ? x ? b 的斜率为 1,由图象

可知 CD ? EF ? 2 2 ,要使 AB ? 2 2 ,则 ?2 ? b ? 2 ,即 b 的取值范围是 [?2, 2] 。

16. 【答案】 ?1 或 0

解:先做出不等式 ?

? x …0 对 应 的 区 域 , 阴 影 部 分 。 因 为 直 线 kx ? y ? 1 ? 0 过 定 点 (0, 1), 且 不 等 式 y …x ?

kx ? y ? 1 ? 0 表示的区域在直线 kx ? y ? 1 ? 0 的下方,所以要使所表示的平面区域是直角三角形,所以有
k ? 0 或直线 kx ? y ? 1 ? 0 与 y ? x 垂直,所以 k ? ?1 ,综上 k ? 0 或 k ? ?1 。
17. 【答案】 ?1

解:做出不等式组对应的区域为三角形 BCD,直线 y ? kx ? 1 过定点 (0, ?1) ,由图象可知点 D (0,3) 到直线

kx ? y ? 1 ? 0

的 距 离 最 大 , 此 时

d?

?3 ? 1 k ?1
2

?

4 k 2 ?1

? 2 2 , 解 得 k ? ?1 。

18. 【答案】2;6

解: 如图不等式组对应的平面区域为三角形 OBC , 由图象知 a ? 0 。 其中 B(a, a), C (a, ?a) , 所以 BC ? 2a, 所以三角形的面积为

1 ? a ? 2a ? a 2 ? 4 , a ? 2 。 z ? 2 x ? y 得 y ? ?2 x ? z , 所以 由 平移直线 y ? ?2 x ? z , 2

由图象可知当直线 y ? ?2 x ? z 经过点 B 时,直线截距最大,此时 z 也最大,把 B (2, 2) 代入 z ? 2 x ? y 得

z ? 2? 2 ? 2 ? 6。
19. 5 三、解答题 20.解:(Ⅰ)对任意 x ? [1,2] , ? ( 2 x) ? 3 1 ? 2 x , x ? [1,2] ,
3

3 ? ? (2 x) ? 3 5 , 1 ? 3 3 ? 3 5 ? 2 ,所以 ? (2 x) ? (1,2) .

对任意的 x1 , x 2 ? [1,2] ,

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x 2 ) |?| x1 ? x 2 |

2
3

?1 ? 2 x1 ?2

?

3

?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ?

2



3?

3

?1 ? 2 x1 ?2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? ,

所以 0<
3

2

?1 ? 2 x1 ?2
2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? 2
2

2

?

2 , 3


3

?1 ? 2 x1 ?

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ?

= L , 0 ? L ? 1,

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x 2 ) |? L | x1 ? x 2 | ,所以 ? ( x) ? A .

………5 分

? ? ? ? (Ⅱ)反证法:设存在两个 x0 , x0 ? (1,2), x0 ? x0 使得 x0 ? ? (2 x0 ) , x0 ? ? (2 x0 ) 则
由 | ? ( 2 x 0 ) ? ? ( 2 x 0 ) |? L | x 0 ? x 0 | ,得 | x 0 ? x 0 |? L | x 0 ? x 0 | ,所以 L ? 1 ,矛盾,故结论成
/ /

/

/

立. (Ⅲ) x3 ? x 2 ?

………8 分

? (2 x 2 ) ? ? (2 x1 ) ? L x 2 ? x1 ,

所以 | xn ?1 ? xn |?| ? (2 xn ) ? ? (2 xn ?1 |

? L | xn ? xn?1 | ? L2 | xn?1 ? xn?2 | …… ? Ln?1 | x2 ? x1 |
| xk ? p ? xk |?| ( xk ? p ? xk ? p ?1 ) ? ( xk ? p ?1 ? xk ? p ?2 ) ? …… ? ( xk ?1 ? xk ) |

? x k ? p ? x k ? p ?1 ? x k ? p ?1 ? x k ? p ? 2 ? ? x k ?1 ? x k

? Lk ? p ? 2 x 2 ? x1 ? Lk ? p ?3 x 2 ? x1 +…+ Lk ?1 x 2 ? x1
Lk ?1 (1 ? Lp ) Lk ?1 ? | x2 ? x1 | ? | x2 ? x1 | . 1? L 1? L
………13 分


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