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无极县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

无极县高中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 如图,在正四棱锥 S﹣ABCD 中,E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点,动点 P 在线段 MN 上运动时, 下列四个结论:①EP∥BD;②EP⊥AC;③EP⊥面 SAC;④EP∥面 SBD 中恒成立的为( )

座号_____

姓名__________

分数__________

A.②④

B.③④

C.①②

D.①③ ) C. ?

2. 定义运算: a ? b ? ?

? a, a ? b .例如 1 ? 2 ? 1 ,则函数 f ? x ? ? sin x ? cos x 的值域为( ?b, a ? b
B . ? ?1,1?

2 2? , ? ? 2 2 ? ? 2? D. ? ?1, ? 2 ? ?
A . ?? )

?

? 2 ? ,1? ? 2 ?

3. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的

的值等于 126,则判断框中的①可以是(

A.i>4?

B.i>5?

C.i>6?

D.i>7?

  4. 天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为 40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中 恰有两天下雨的概率:先利用计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,用 1,2,3,4 表示下雨,用 5,6,

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7,8,9,0 表示不下雨 ; 再以每三个随机数作为一组,代表这三天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数: 907 966 431 257 191 393 925 027 271 556 932 488 812 730 458 113 ) 569 537 683 989

据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为( A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15

5. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数 f(x)=

被称为狄利克雷

函数,其中 R 为实数集,Q 为有理数集,则关于函数 f(x)有如下四个命题:①f(f(x))=1;②函数 f( x)是偶函数;③任取一个不为零的有理数 T,f(x+T)=f(x)对任意的 x=R 恒成立;④存在三个点 A(x1, f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC 为等边三角形.其中真命题的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个     6. 与﹣463°终边相同的角可以表示为(k∈Z)( A.k360°+463° ( A.2+ ) B.1+ C. D. ) B.k360°+103°

) D.k360°﹣257°

C.k360°+257°

7. 一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为 45°,腰和上底的长均为 1 的等腰梯形,那么原四边形的面积是

8. 已知直线 l1:(3+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5+m)y=8 平行,则实数 m 的值为( A.﹣7 B.﹣1 C.﹣1 或﹣7 D.
*

9. 已知集合 A ? ?1, 2,3, k ? , B ? 4, 7, a , a ? 3a ,且 a ? N , x ? A, y ? B 使 B 中元素 y ? 3 x ? 1 和 A 中的元素
4 2

?

?

x 对应,则 a, k 的值分别为(
A. 2,3 B. 3, 4 C. 3,5

) D. 2,5

10.已知直线 l 的参数方程为 ?

? ? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数, ? 为直线 l 的倾斜角),以原点 O 为极点, x 轴 ? ? y ? 3 ? t sin ?

正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ?

?

3

) ,直线 l 与圆 C 的两个交点为 A, B ,当
2? 3


| AB | 最小时, ? 的值为(
A. ? ?



?
4
B.﹣8

B. ? ?

?
3
D.﹣11

C. ? ?

3? 4

D. ? ?

11.已知数列{an}是等比数列前 n 项和是 Sn,若 a2=2,a3=﹣4,则 S5 等于( A.8 C.11

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12.随机变量 x1~N(2,1),x2~N(4,1),若 P(x1<3)=P(x2≥a),则 a=( A.1   B.2 C.3 D.4



二、填空题
13.直线 l 过原点且平分平行四边形 ABCD 的面积,若平行四边形的两个顶点为 B(1,4),D(5,0),则 直线 l 的方程为      . 14.如图所示,在三棱锥 C﹣ABD 中,E、F 分别是 AC 和 BD 的中点,若 CD=2AB=4,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角是      .

15.若 ( mx ? y ) 展开式中 x y 的系数为 ?160 ,则 m ? __________.
6 3 3

【命题意图】本题考查二项式定理的应用,意在考查逆向思维能力、方程思想. 16.三角形 ABC 中, AB ? 2 3, BC ? 2, ?C ? 60 ,则三角形 ABC 的面积为
?

. 小时各

17.某慢性疾病患者,因病到医院就医,医生给他开了处方药(片剂),要求此患者每天早、晚间隔

服一次药,每次一片,每片 毫克.假设该患者的肾脏每 小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的 ,并且医生认为这种药在体内的残留量不超过 毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午点第一次 服药,则第二天上午 点服完药时,药在其体内的残留量是 毫克,若该患者坚持长期服用此药 明显副作用(此空填“有”或“无”) ?3x ? a ,x ? 1 ? 18.设函数 f ? x ? ? ? ,若 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数的取值范围是 . ? ?? ? x ? 3a ?? x ? 2a ? ,x ? 1

三、解答题
19.求函数 f(x)= ﹣4x+4 在[0,3]上的最大值与最小值.

20.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且满足 Sn=2an﹣n2+3n+2(n∈N*) (Ⅰ)求证:数列{an+2n}是等比数列;

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(Ⅱ)设 bn=ansin (Ⅲ)设 Cn=﹣  

π,求数列{bn}的前 n 项和; ,数列{Cn}的前 n 项和为 Pn,求证:Pn< .  

21.生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为次品.现随机抽 取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 元件 A 元件 B [70,76) 8 7 [76,82) 12 18 [82,88) 40 40 [88,94) 32 29 [94,100] 8 6

(Ⅰ)试分别估计元件 A,元件 B 为正品的概率; (Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件元件 B,若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元.在(Ⅰ)的前提下, (ⅰ)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学期望; (ⅱ)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元的概率.

22.求点 A(3,﹣2)关于直线 l:2x﹣y﹣1=0 的对称点 A′的坐标.

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23.如图的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出 (单位:cm). (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连结 BC′,证明:BC′∥面 EFG.

 

24.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药 量 y (毫克)与时间 t (小时)成正比;药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系式为 y ? ( 如图所示.据图中提供的信息,回答下列问题: (1)写出从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)之间的函数关系式; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室。那么药物释放开始,至 少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?

1 t ?a ) ( a 为常数), 16

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无极县高中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 A 【解析】解:如图所示,连接 AC、BD 相交于点 O,连接 EM,EN. 在①中:由异面直线的定义可知:EP 与 BD 是异面直线, 不可能 EP∥BD,因此不正确; 在②中:由正四棱锥 S﹣ABCD,可得 SO⊥底面 ABCD,AC⊥BD, ∴SO⊥AC. ∵SO∩BD=O,∴AC⊥平面 SBD, ∵E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点, ∴EM∥BD,MN∥SD,而 EM∩MN=M, ∴平面 EMN∥平面 SBD,∴AC⊥平面 EMN,∴AC⊥EP.故正确. 在③中:由①同理可得:EM⊥平面 SAC, 若 EP⊥平面 SAC,则 EP∥EM,与 EP∩EM=E 相矛盾, 因此当 P 与 M 不重合时,EP 与平面 SAC 不垂直.即不正确. 在④中:由②可知平面 EMN∥平面 SBD, ∴EP∥平面 SBD,因此正确. 故选:A.

【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.   2. 【答案】D 【解析】

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考 点:1、分段函数的解析式;2、三角函数的最值及新定义问题. 3. 【答案】 C 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 S=0,i=1 S=2,i=2 不满足条件,S=2+4=6,i=3 不满足条件,S=6+8=14,i=4 不满足条件,S=14+16=30,i=5 不满足条件,S=30+32=62,i=6 不满足条件,S=62+64=126,i=7 由题意,此时应该满足条件,退出循环,输出 S 的值为 126, 故判断框中的①可以是 i>6? 故选:C. 【点评】本小题主要考查循环结构、数列等基础知识.根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这 一模块最重要的题型,属于基本知识的考查.   4. 【答案】B 【解析】解:由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果,经随机模拟产生了如下 20 组随机数, 在 20 组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有:191、271、932、812、393,共 5 组随机数, ∴所求概率为 故选 B.   5. 【答案】 D 【解析】解:①∵当 x 为有理数时,f(x)=1;当 x 为无理数时,f(x)=0 .

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∴当 x 为有理数时,f(f(x))=f(1)=1; 当 x 为无理数时,f(f(x))=f(0)=1 即不管 x 是有理数还是无理数,均有 f(f(x))=1,故①正确; ②∵有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数, ∴对任意 x∈R,都有 f(﹣x)=f(x),故②正确; ③若 x 是有理数,则 x+T 也是有理数; 若 x 是无理数,则 x+T 也是无理数 ∴根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数 T,f(x+T)=f(x)对 x∈R 恒成立,故③正确 ; ④取 x1=﹣ ∴A( ,x2=0,x3= ,可得 f(x1)=0,f(x2)=1,f(x3)=0 ,0),恰好△ABC 为等边三角形,故④正确.

,0),B(0,1),C(﹣

故选:D. 【点评】本题给出特殊函数表达式,求函数的值并讨论它的奇偶性,着重考查了有理数、无理数的性质和函数 的奇偶性等知识,属于中档题.   6. 【答案】C 【解析】解:与﹣463°终边相同的角可以表示为:k360°﹣463°,(k∈Z) 即:k360°+257°,(k∈Z) 故选 C 【点评】本题考查终边相同的角,是基础题.   7. 【答案】A 【解析】解:∵四边形的斜二侧直观图是一个底角为 45°,腰和上底的长均为 1 的等腰梯形, ∴原四边形为直角梯形, 且 CD=C'D'=1,AB=O'B= ∴直角梯形 ABCD 的面积为 故选:A. ,高 AD=20'D'=2, ,

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  8. 【答案】A 【解析】解:因为两条直线 l1:(3+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5+m)y=8,l1 与 l2 平行. 所以 故选:A. 【点评】本题考查直线方程的应用,直线的平行条件的应用,考查计算能力.   9. 【答案】D 【解析】
4 4 ? ? ?a ? 3 ? 3 ? 1 ?a ? 3 ? k ? 1 试题分析 : 分析题意可知 : 对应法则为 y ? 3 x ? 1 ,则应有 ? (1)或 ? (2) , 2 2 ? ? ?a ? 3a ? 3 ? k ? 1 ?a ? 3a ? 3 ? 3 ? 1 ?a ? 2 * 由于 a ? N ,所以(1)式无解,解(2)式得: ? 。故选 D。 ?k ? 5

,解得 m=﹣7.

考点:映射。 10.【答案】A 【解析】解析 : 本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系.在直角坐标系中,圆 C 的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 ,直线 l 的普通方程为 y ? 3 ? tan ? ( x ? 1) ,直线 l 过定点 M (1, 3) ,∵
2 2

| MC |? 2 ,∴点 M 在圆 C 的内部.当 | AB | 最小时,直线 l ? 直线 MC , kMC ? ?1 ,∴直线 l 的斜率为 1 ,∴

??

?
4

,选 A.

11.【答案】D 【解析】解:设{an}是等比数列的公比为 q, 因为 a2=2,a3=﹣4,

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所以 q=

=

=﹣2,

所以 a1=﹣1, 根据 S5= 故选:D. 【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前 n 项的求和公式的能力,本题较易,属于基础题.   12.【答案】C 【解析】解:随机变量 x1~N(2,1),图象关于 x=2 对称,x2~N(4,1),图象关于 x=4 对称, 因为 P(x1<3)=P(x2≥a), 所以 3﹣2=4﹣a, 所以 a=3, 故选:C. 【点评】本题主要考查正态分布的图象,结合正态曲线,加深对正态密度函数的理解.   =﹣11.

二、填空题
13.【答案】   .

【解析】解:∵直线 l 过原点且平分平行四边形 ABCD 的面积,则直线过 BD 的中点(3,2), 故斜率为 = , ,

∴由斜截式可得直线 l 的方程为 故答案为 .

【点评】本题考查直线的斜率公式,直线方程的斜截式.   14.【答案】 30° . 【解析】解:取 AD 的中点 G,连接 EG,GF 则 EG 故∠GEF 即为 EF 与 CD 所成的角. 又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在 Rt△EFG 中 EG=2,GF=1 故∠GEF=30°. 故答案为:30° DC=2,GF AB=1,

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【点评】 此题的关键是作出 AD 的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解, 如果一味的想利用余弦定理 求解就出力不讨好了.   15.【答案】 ?2 【解析】由题意,得 C6 m ? ?160 ,即 m ? ?8 ,所以 m ? ?2 .
3 3
3

16.【答案】 2 3 【解析】 试题分析:因为 ?ABC 中, AB ? 2 3, BC ? 2, C ? 60? ,由正弦定理得

BC ? AB ,即 A ? C ,所以 C ? 30? ,∴ B ? 90? , AB ? BC , S ?ABC
考点:正弦定理,三角形的面积.

1 2 3 2 , sin A ? ,又 ? 2 3 sin A 2 1 ? ? AB ? BC ? 2 3 . 2

【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用,三角形的面积公式.在解三角形有关问题时,正弦定理、余弦定 理是两个主要依据,一般来说,当条件中同时出现 ab 及 b 、 a 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正 弦、余弦交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦,再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答.解三角形 时.三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式 17.【答案】 , 无. 毫克, =350. , 是一个等比数列,
2 2

1 1 1 abc ab sin C , ah , (a ? b ? c)r , 等等. 2 2 2 4R

【解析】【知识点】等比数列 【试题解析】设该病人第 n 次服药后,药在体内的残留量为 所以 由 所以 所以 所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用。 故答案为: , 无. )=300,

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?1 1 ? 18.【答案】 ? , ? ? [3 ,? ?) ?3 2?









考 点:1、分段函数;2、函数的零点. 【方法点晴】本题考查分段函数,函数的零点,以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论 的思想、数形结合思想和转化化归思想,综合性强,属于较难题型.首先利用分类讨论思想结合数学结合思想, 对 g ? x ? ? 3x ? a 于轴的交点个数进行分情况讨论,特别注意: 1. 在 x ? 1 时也轴有一个交点式,还需 3a ? 1 且

2a ? 1 ;2. 当 g ?1? ? 3 ? a ? 0 时, g ? x ? 与轴无交点,但 h ? x ? 中 x ? 3a 和 x ? 2a ,两交点横坐标均满足 x ? 1 .

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:∵ ,∴f′(x)=x2﹣4,

由 f′(x)=x2﹣4=0,得 x=2,或 x=﹣2, ∵x∈[0,3],∴x=2, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x 0 (0,2) 2 (2,3) f′(x) f(x) 4 ﹣ 单调递减 0 极小值 + 单调递增 1 3

由上表可知, 当 x=0 时,f(x)max=f(0)=4, 当 x=2 时,   20.【答案】 .

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【解析】(I)证明 : 由 Sn=2an﹣n2+3n+2(n∈N*) ,∴当 n≥2 时, an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣2n+4,



变形为 an+2n=2[an﹣1+2(n﹣1)],当 n=1 时,a1=S1=2a1﹣1+3+2,解得 a1=﹣4,∴a1+2=﹣2,∴数列{an+2n}是等比数 列,首项为﹣2,公比为 2; (II)解:由(I)可得 an=﹣2×2n﹣1﹣2n=﹣2n﹣2n. ∴bn=ansin π=﹣(2n+2n) ,∵ = =(﹣1)n,

∴bn=(﹣1)n+1(2n+2n). 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 当 n=2k(k∈N*)时,T2k=(2﹣22+23﹣24+…+22k﹣1﹣22k)+2(1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k) = 当 n=2k﹣1 时,T2k﹣1= (III)证明:Cn=﹣ = ﹣2k= ﹣n. ﹣2k﹣(﹣22k﹣4k)= ,当 n≥2 时,cn . +n+1+2n+1= +n+1.

∴数列{Cn}的前 n 项和为 Pn<

=

= ,

当 n=1 时,c1= 综上可得:?n∈N*,

成立. .

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递 推式的应用,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.   21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)元件 A 为正品的概率约为 元件 B 为正品的概率约为 次 B 次. ∴随机变量 X 的所有取值为 90,45,30,﹣15. ∵P(X=90)= = ;P(X=45)= = ;P(X=30)= = ; . .

(Ⅱ)(ⅰ)∵生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 可以分为以下四种情况:两件正品,A 次 B 正,A 正 B 次,A

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P(X=﹣15)= ∴随机变量 X 的分布列为: EX=

=





(ⅱ)设生产的 5 件元件 B 中正品有 n 件,则次品有 5﹣n 件. 依题意得 50n﹣10(5﹣n)≥140,解得 所以 n=4 或 n=5. 设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元”为事件 A, 则 P(A)=   22.【答案】 【解析】解:设点 A(3,﹣2)关于直线 l:2x﹣y﹣1=0 的对称点 A′的坐标为(m,n), 则线段 A′A 的中点 B( , ), ﹣ ﹣1=0 ①. × =﹣1 ②, = . .

由题意得 B 在直线 l:2x﹣y﹣1=0 上,故 2×

再由线段 A′A 和直线 l 垂直,斜率之积等于﹣1 得 解①②做成的方程组可得: m=﹣ ,n= , , ).

故点 A′的坐标为(﹣

【点评】 本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法, 注意利用垂直及中点在轴上两个条件.   23.【答案】 【解析】解:(1)如图 (2)它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥, 设长方体体积为 V1,小三棱锥的体积为 V2,则根据图中所给条件得:V1=6×4×4=96cm3, V2= ? ?2?2?2= cm3, ∴V=v1﹣v2= cm3

(3)证明:如图,

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在长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,连接 AD′,则 AD′∥BC′ 因为 E,G 分别为 AA′,A′D′中点,所以 AD′∥EG,从而 EG∥BC′, 又 EG?平面 EFG,所以 BC′∥平面 EFG;

  2016 年 4 月 26 日

?10t , 0 ? t ? 0.1 ? 24.【答案】(1) y ? ? 1 t ? 0.1 ;(2)至少经过 0.6 小时才能回到教室。 ( ) , x ? 0.1 ? ? 16
【解析】 试题分析:(1)由题意:当 0 ? t ? 0.1 时,y 与 t 成正比,观察图象过点 ? 0, 0 ? , (0.1,1) ,所以可以求出解析

1 1 t ?a 1 1 0.1? a 时,y 与 t 的函数关系为 y ? ( ) ,观察图象过点 ( ,1) ,代入得: 1 ? ( ) , 10 16 10 16 ?10t , 0 ? t ? 0.1 1 t ?0.1 ? 所以 a ? 0.1 ,则解析式为 y ? ( ) ,所以含药量 y 与 t 的函数关系为: y ? ? 1 t ? 0.1 ;(2)观 16 ( ) , x ? 0.1 ? ? 16
式为 y ? 10t ,当 t ? 察图象可知,药物含量在 ? 0, 0.1? 段时间内逐渐递增,在 t ? 0.1 时刻达到最大值 1 毫克,在 t ? 0.1 时刻后,药

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物含量开始逐渐减少,当药物含量到 0.25 毫克时,有 ( 所以至少要经过 0.6 小时,才能回到教室。 试题解析:(1)依题意,当 易求得 k=10,∴ y=10t,

1 t ?0.1 1 ) ? 0.25 ? ,所以 t ? 0.1 ? 0.5 ,所以 t ? 0.6 , 16 4

,可设 y 与 t 的函数关系式为 y=kt,

∴ 含药量 y 与时间 t 的函数关系式为

(2)由图像可知 y 与 t 的关系是先增后减的,在 然后 时,y 从 1 开始递减。 ∴

时,y 从 0 增加到 1; ,解得 t=0.6,

∴至少经过 0.6 小时,学生才能回到教室 考点:1.分段函数;2.指数函数;3.函数的实际应用。

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